Subespacio complementat

En la branca matemàtica del anàlisis funcional, un subespacio complementat d'un espai vectorial topològic $X,$ és un subespacio vectorial $M$ per al qual existix algun atre subespacio vectorial $N$ de $X,$ cridat el seu complement (topològic) en $X,$ de modo que $X$ siga la suma directa $M\oplus N$ en la categoria d'espais vectorials topològics. Formalment, les sumes topològiques directes enfortixen la suma directa algebraica en requerir que certes aplicacions siguen contínues. El resultat conserva moltes propietats interessants de l'operació de suma directa en espais vectorials de dimensió finita.

Cada subespacio de dimensió finita d'un espai de Banach és complementable, pero també existixen atres subespacios que no ho són. En general, classificar tots els subespacios complementats és un problema difícil, que s'ha resolt solament para alguns espais de Banach coneguts.

El concepte de subespacio complementat és anàlec, pero distint, al de complement d'un conjunt. El complement de la teoria de conjunts d'un subespacio vectorial mai és un subespacio complementat.

Preliminars: definicions i notació

Si $X$ és un espai vectorial i $M$ i $N$ són subespacios vectorials de $X$, llavors existix una aplicació de suma ben definida

$\begin{array}{cccccc}S:& & M\times N& & \to & X\\ & & (m,n)& & \mapsto & m+n\\ \end{array}$

L'aplicació $S$ és un morfismo en la categoria d'espais vectorials; és dir es tracta d'una aplicació llineal.

Suma directa algebraica

Artícul principal → Suma directa.

Es diu que l'espai vectorial $X$ és la suma directa algebraica (o suma directa en la categoria d'espais vectorials) $M\oplus N$ quan es complix qualsevol de les següents condicions equivalents:

1. L'aplicació suma $S:M\times N\to X$ és una aplicació llineal.
2. L'aplicació suma és biyectiva.
3. $M\cap N=\{0\}$ i $M+N=X$; en este cas, $N$ es denomina complement algebraic' o suplement de $M$ en $X$ i es diu que els dos subespacios són complementaris o suplementaris.

Quan es complixen estes condicions, l'invers $S^{-1}:X\to M\times N$ està ben definit i pot escriure's en térmens de coordenades com:$S^{-1}=(P_M,P_N)\text{.}$ La primera coordenada $P_M:X\to M$ es denomina proyecció canònica de $X$ sobre $M$. Aixina mateix, la segona coordenada és la proyecció canònica sobre $N.$.

De manera equivalent, $P_M(x)$ i $P_N(x)$ són els vectores únics en $M$ i $N,$ respectivament, que satisfan

$x=P_M(x)+P_N(x)\text{.}$

Com a aplicacions, :$P_M+P_N={\mathrm{Id}}_X,\text{ nuc }{P}_M=N,\text{ y }\text{ nuc }{P}_N=M,$ a on ${\mathrm{Id}}_X$ denota la funció identitat en $X$.

Motivació

Vore també: Coproducto, Suma directa, i Suma directa de grups topològics

Suponga's que l'espai vectorial $X$ és la suma directa algebraica de $M\oplus N$. En la categoria d'espais vectorials, els productes i coproductos finitos coincidixen: algebraicament, $M\oplus N$ i $M\times N$ són indistinguibles. Donat un problema que involucra elements de $X$, es poden dividir els elements en els seus components en $M$ i $N$, perque les aplicacions de proyecció definides anteriorment actuen com a inverses a l'inclusió natural de $M$ i $N$ en $X$. Llavors es pot resoldre el problema en els subespacios vectorials i recombinarlos per a formar un element de $X$.

En la categoria dels espais vectorials topològics, eixa descomposició algebraica es torna menys útil. La definició d'un espai vectorial topològic requerix que l'aplicació suma $S$ siga contínua, encara que la seua inversa, $S^{-1}:X\to M\times N$, pugues no ser-ho. No obstant, la definició en la teoria categories de la de suma directa requerix que $P_M$ i $P_N$ siguen morfismos, és dir, aplicacions llineals "contínues".

L'espai $X$ és la suma directa topològica de $M$ i $N$ si (i solament si) es complix alguna de les següents condicions equivalents:

1. L'aplicació suma $S:M\times N\to X$ és un espai vectorial topològic (és dir, una aplicació llineal sobreyectiva i homeomorfa).
2. $X$ és la suma directa algebraica de $M$ i $N$ i també qualsevol de les següents condicions equivalents:

a. L'inversa de l'aplicació suma $S^{-1}:X\to M\times N$ és contínua.

b.

Abdós proyeccions canòniques $P_M:X\to M$ i $P_N:X\to N$ són contínues.

C. A lo manco una de les proyeccions canòniques $P_M$ i $P_N$ és contínua.

d. La classe d'equivalència canònica $p:N\to X/M;p(n)=n+M$ és un isomorfisme d'espais vectorials topològics (és dir, un homeomorfisme llineal).}}

3. $X$ és la suma directa de $M$ i $N$ en la categoria d'espais vectorials topològics.
4. L'aplicació $S$ és biyectiva i oberta.
5. Quan es consideren grups topològics aditius, $X$ és la suma topològica directa dels subgrups $M$ i $N.$

La suma directa topològica també s'escriu $X=M\oplus N$; si la suma és en sentit topològic o algebraic generalment s'aclarix a través del context.

Definició

Tota suma directa topològica és una suma directa algebraica $X=M\oplus N$, pero ho contrarie no sempre és aixina. Inclús si tant $M$ com $N$ estan tancats en $X$, és possible que $S^{-1}$ "encara" no siga continu. $N$ és un complement (topològic) o un suplement de $M$ si evita esta patologia, és dir, si, topológicament, $X=M\oplus N$. Llavors, $M$ és igualment complementari de $N$. La condició 1(d) que figura dalt, implica que qualsevol complement topològic de $M$ és isomorfo, com a espai vectorial topològic, al espai vectorial cocient $X/M$.

$M$ es denomina complementat si té un complement topològic $N$ (i no complementat si no ho té). L'elecció de $N$ pot ser molt important: cada subespacio vectorial complementat $M$ té complements algebraics que no complementen topológicamente a $M$.

Degut a que una aplicació llineal entre dos espais normados (o de Banach) està acotat si i solament si és continu, la definició en les categories d'espais normados (respectivament, de Banach) és la mateixa que en els espais vectorials topològics.

Caracterisació equivalents

El subespacio vectorial $M$ es complementa en $X$ si i solament si es complix alguna de les següents condicions: Existix una aplicació llineal continu $P_M:X\to X$ en image $P_M(X)=M$ tal que $P\circ P=P$;

• Existix una proyecció llineal contínua $P_M:X\to X$ en image $P_M(X)=M$ tal que $X=M\oplus \text{ nuc }P$.
• Per a cada TVS $Y,$ l'aplicació restrictiva $R:L(X;Y)\to L(M;Y);R(u)=u{|}_M$ és sobreyectiva.

Si ademés $X$ és un espai de Banach, llavors una condició equivalent és que:

• $M$ és tancat en $X$, existix un atre subespacio tancat $N\subseteq X$ i $S$ és un isomorfisme de la suma directa abstracta $M\oplus N$ a $X$.

Eixemples

• Si $Y$ és un espai de mida i $X\subseteq Y$ té mida positiva, llavors $L^p(X)$ es complementa en $L^p(Y)$.
• $c_0$, l'espai de successions convergents a $0$, es complementa en $c$, l'espai de successions convergents.

Per la descomposició de Lebesgue, $L^1([0,1])$ es complementa en $\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{a}([0,1])\cong C([0,1]{)}^{*}$.

Vore també

• Suma directa
• Suma directa de mòduls
• Suma directa de grups topològics

Bibliografia

• (2000) Functional Analysis, Second edició, Mineola, New York: Dover Publications. OCLC 829157984. ISBN 978-0486402512.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces, New York: Gordon and Breach Science Publishers. OCLC 886098. ISBN 978-0-677-30020-7.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8), New York, NY: McGraw Hill Education. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces, Mineola, New York: Dover Publications, Inc. OCLC 849801114. ISBN 978-0-486-49353-4.