Teorema d'unicitat de Aleksándrov

La teorema d'unicitat de Aleksándrov és un teorema de rigidea matemàtic, que descriu poliedres convexos tridimensionals en térmens de les distàncies entre punts de les seues superfícies. Implica que els poliedres convexos en formes distintes entre sí també tenen distints espais mètrics de distàncies superficials, i caracterisa els espais mètrics que provenen de les distàncies superficials en els poliedres. Du el nom del matemàtic soviètic Aleksandr Danílovich Aleksándrov, qui ho va publicar en la década de 1940.

Enunciat de la teorema

La superfície de qualsevol poliedre convexo en un espai euclídeo forma un espai mètric, en el que la distància entre dos punts es medix per la llongitut del camí més curt d'un punt a un atre en la superfície. Dins d'un determinat camí més curt, les distàncies entre els seus parells de punts equivalen a les distàncies entre els punts corresponents del segment que els unix. Una ruta en esta propietat es coneix com una llínea geodèsica.

Esta propietat de les superfícies polièdriques, que cada parell de punts està conectat per una geodèsica, no és certa per a molts atres espais mètrics, i quan és certa, l'espai es diu espai geodèsic. L'espai geodèsic format a partir de la superfície d'un poliedre es denomina desenroll.

Es poden doblar i pegar quatre hexàgons regulars per a formar la superfície d'un octaedre regular. Pero en este eixemple, les arestes dels hexàgons no se situen a lo llarc de les arestes de l'octaedre

Es pot pensar que el poliedre s'ha format plegant un full de paper (és dir, a partir del desenroll d'un poliedre) i hereta la mateixa geometria que el paper: per cada punt p dins d'una cara del poliedre, un entorn obert suficientment chicotet de p tindrà les mateixes distàncies que un subconjunt del pla. Lo mateix és cert inclús per als punts en les arestes del poliedre: es poden modelar localment com un pla euclidiano plegat en una llínea i incrustat en un espai tridimensional, pero el plec no canvia l'estructura dels camins més curts en la superfície. No obstant, els vèrtiços del poliedre tenen una estructura de distància diferent: la geometria local d'un vèrtiç de poliedre és la mateixa que la geometria local en el vèrtiç d'un con. Qualsevol con es pot formar a partir d'un full pla de paper a la que se li lleva una falca pegant les vores tallades a on es va llevar la falca. L'àngul de la falca que es va eliminar es diu defecte angular del vèrtiç; i és un número positiu menor que  2Π. El defecte d'un vèrtiç de poliedre es pot medir restant els ànguls de les cares en eixe vèrtiç de 2Π. Per eixemple, en un tetraedre regular, cada àngul de cara és Π/3, i hi ha tres d'ells en cada vèrtiç, per lo que restar-los de 2Π deixa un defecte de Π en cada u dels quatre vèrtiços.

De manera similar, una gaveta té un defecte de Π/2 en cada u dels seus huit vèrtiços. Una propietat del defecte angular (segons el teorema de Gauss-Bonnet) establix que la suma dels defectes angulars de tots els vèrtiços és sempre exactament 4Π. En resum, el desenroll d'un poliedre convexo és geodèsic, homeomorfo (topológicamente equivalent) a una esfera, i localment euclídeo llevat per un número finito de vèrtiços cònics el defecte angular dels quals suma 4Π.

La teorema de Aleksándrov planteja una proposició inversa a esta propietat. Establix que si un espai mètric és geodèsic, homeomorfo a una esfera i localment euclídeo llevat per un número finito de punts cònics de defecte angular positiu (que necessàriament sumen 4Π), llavors existix un poliedre convexo el desenroll del qual és l'espai donat. Ademés, este poliedre es definix de forma única a partir de la mètrica: dos poliedres convexos qualssevol en la mateixa mètrica de superfície deuen ser congruents entre sí com a conjunts tridimensionals.

Llimitacions

El poliedre que representa l'espai mètric dau pot ser degenerado, prenent la forma d'un polígon convexo bidimensional doblement recobert (un diedro) en lloc d'un poliedre completament tridimensional. En este cas, la seua superfície mètrica consta de dos còpies del polígon (els seus dos costats) pegades entre sí en les vores corresponents.

L'icosaedre regular té la mateixa mètrica de superfície que un deltaedro no convexo en el que una de les seues piràmides de cinc triànguls es espenta cap a dins en lloc de descollar

Encara que la teorema de Aleksándrov establix que existix un únic poliedre convexo la superfície del qual té una mètrica determinada, també és possible que existixquen poliedres no convexos en la mateixa mètrica. l'icosaedre regular permet obtindre un eixemple: si s'eliminen cinc dels seus triànguls i es reemplacen per cinc triànguls congruents que formen un clavill en el poliedre, la mètrica de la superfície resultant permaneix sense canvis.

El desenroll de qualsevol poliedre es pot descriure concretament per mig d'una colecció de polígons bidimensionales junt en instruccions per a pegar-los en les seues vores per a formar un espai mètric, i les condicions de la teorema de Aleksándrov per a espais descrits d'esta manera es verifiquen fàcilment. No obstant, les arestes a on es peguen dos polígons podrien aplanarse i quedar en l'interior de les cares del poliedre resultant, en lloc de convertir-se en arestes del poliedre (per a vore un eixemple d'este fenomen, vore l'ilustració en els quatre hexàgons pegats per a formar un octaedre). Per lo tant, inclús quan el desenroll es descriu d'esta manera, pugues no estar clar quina forma té el poliedre resultant, quines formes tenen les seues cares, o inclús quantes cares té. La demostració original de Aleksándrov no conduïx a un algoritme per a construir el poliedre (per eixemple donant les coordenades dels seus vèrtiços) a partir de l'espai mètric dau. En 2008, Bobenko i Izmestiev varen proporcionar dit algoritme. El seu algoritme pot aproximar les coordenades en precisió arbitrària, en temps seudopolinómico.