Teorema de Coleman-Mandula

La teorema de Coleman–Mandula (per Sidney Coleman i Jeffrey Mandula) és un teorema d'impossibilitat en física teòrica. Declara que "les simetria espaciotemporales i les simetria internes no poden ser combinades, salve de manera trivial" en aquelles teories de camp que complixen certes suposicions. En este cas, (que inclou les teories que podem considerar realistes), les úniques cantitats conservades possibles són escalares de Lorentz.

Descripció

Siga g l'àlgebra de Lie de simetria de la matriu de dispersió d'una teoria de camp quàntica que satisfà les següents suposicions (ademés de les de la mecànica quàntica relativista, com unitaridad i Invarianza de Lorentz):

1. (Finitud de l'espectre de partícules) Existix una partícula més llaugera; per a qualsevol escala de massa M, hi ha un número finito de partícules en massa menor a M.
2. (Analiticidad elàstica dèbil) Les amplitut de dispersió elàstica de dos cossos són funcions analítiques de l'energia en el centre de massa i l'energia transferida a casi totes les energies.
3. (Ocurrència de la dispersió) Qualsevol estat de dos partícules experimenta alguna reacció a casi totes les energies (ometent com a màxim un conjunt aïllat).

Llavors g només pot ser la suma directa de l'àlgebra del grup inhomogeneo de Lorentz i un àlgebra de simetria internes que commuten en la part espaciotemporal. La conseqüència més important d'esta teorema és que no permet l'existència de simetria mixtes, que generarien cantitats conservades que no són escalares, sino unes atres representacions de l'àlgebra de Lorentz. És important notar que les suposicions de la teorema es complixen en el Modele Estàndart de Partícules.

Llimitacions

Atres simetria de l'espai-temps

Si l'àlgebra de la teoria de camp no conté a l'àlgebra de Poincaré, sino que està definida per a un espaciotiempo en una atra simetria, la teorema no és vàlit. Per un atre costat, si cap de les partícules de la teoria té massa, la simetria del espaciotiempo no és Poincaré, sino el corresponent grup de transformacions conformes; en este cas, és possible tindre una combinació no trivial de simetria internes i espaciotemporales.

Ruptura espontànea de la simetria

Esta teorema solament restringix les simetria de la matriu de dispersió; no diu res sobre les simetria espontàneament trencades que no apareixen directament en la matriu de dispersió. De fet, és fàcil de construir simetria espontàneament trencades que unifiquen simetria espacials i internes.

Simetria discretes

La teorema s'aplica al àlgebra de Lie de simetria, no al grups de Lie . Per este motiu, no restringix les simetria discretes o globals.

Supersimetría i grups quàntics

La Supersimetría proveïx una atra possibilitat per a evadir la teorema: és una extensió de la simetria de Lorentz que inclou càrregues espinoriales i per lo tant forma no un àlgebra de Lie sino una súper àlgebra. La teorema corresponent per a teories supersimétricas és el teorema de Haag–Łopuszański–Sohnius, que prova que la superálgebra de Lie més general per a una teoria de camp anàloga és una suma directa de l'àlgebra de Súper Poincaré i un àlgebra de simetria interna. Alguna cosa similar ocorre si s'admeten deformacions de l'àlgebra per a tindre grups quàntics.