Teorema de Nachbin

En matemàtiques, dins de l'àmbit del anàlisis complex, la teorema de Nachbin, que du el nom de Leopoldo Nachbin), és un resultat que s'utilisa per a establir llímits en les taxes de creiximent de les funcions analítiques. En particular, la teorema de Nachbin pot utilisar-se per a determinar el domini de convergència de la transformada de Borel generalisada, també cridada sumixca de Nachbin.

Este artícul oferix una breu revisió de les taxes de creiximent, incloent l'idea d'una «funció de tipo exponencial». La classificació de les taxes de creiximent basada en el tipo ajuda a proporcionar una ferramenta més precisa que la «notació O gran» o la «notació de Landau», ya que permet enunciar una série de teoremes sobre l'estructura analítica de la funció acotada i les seues «transformades integrals».

Tipo exponencial

Artícul principal → Tipo exponencial.

Es diu que una funció $f(z)$ definida en el pla complex és de tipo exponencial si existixen constants $M$ i $\alpha$ tals que

$|f(r{e}^{i\theta })|\le M{e}^{\alpha r}$

en el llímit de $r\to \mathrm{\infty }$. Ací, la variable complexa $z$ s'ha escrit com $z=r{e}^{i\theta }$ per a emfatisar que el llímit deu complir-se en totes les direccions $\theta$. Si es pren $\alpha$ com l'ínfim de tots els $\alpha$ d'este tipo, es diu llavors que la funció $f$ és de «tipo exponencial $\alpha$».

Per eixemple, siga $f(z)=\sin (\pi z)$. Llavors es diu que $\sin (\pi z)$ és de tipo exponencial $\pi$, ya que $\pi$ és el número més chicotet que llimita el creiximent de $\sin (\pi z)$ a lo llarc de l'eix imaginari. Per lo tant, en este eixemple, el teorema de Carlson no es pot aplicar, ya que requerix funcions de tipo exponencial menors que $\pi$.

Tipo Ψ

Es poden definir atres tipos de funcions de comparació ademés de la funció exponencial. En general, una funció $\Psi (t)$ és una «funció de comparació» si té una série

$\Psi (t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\Psi }_n{t}^n$

en ${\Psi }_n>0$ para tot $n$, i

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\Psi }_{n+1}}{{\Psi }_n}=0.$

Les funcions de comparació són necessàriament sanceres, la qual cosa es deduïx de la prova de la raó. Si $\Psi (t)$ és una funció de comparació d'este tipo, es diu llavors que $f$ és de tipo $\Psi$ si existixen constants $M$ i $\tau$ tals que

$\left|f\left(r{e}^{i\theta }\right)\right|\le M\Psi (\tau r)$

quan $r\to \mathrm{\infty }$. Si $\tau$ és l'ínfim de tots eixos $\tau$, es diu que $f$ és de tipo $\Psi$ $\tau$.

La teorema de Nachbin establix que una funció $f(z)$ en la série

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n{z}^n$

és de tipo $\Psi$ $\tau$ si i solament si

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\left|\frac{f_n}{{\Psi }_n}\right|}^{1/n}=\tau .$

Açò està naturalment relacionat en la prova de la raïl i pot considerar-se un parent del teorema de Cauchy-Hadamard.

Vore també

• Série divergent
• Sumación de Borel
• Sumación de Euler
• Sumación de Cesàro
• Sumación de Lambert
• Sumación de Mittag-Leffler
• Principi de Phragmén–Lindelöf
• Teoremes d'Abel i Tauber
• Transformació de Van Wijngaarden

Referències

• L. Nachbin, "An extension of the notion of integral functions of the finite exponential type", Anais Acad. Brasil. Ciències. 16 (1944) 143–147.
• Ralph P. Boes, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263. (Provides a statement and proof of Nachbin's theorem, as well as a general review of this topic.)
• Plantilla:Springer
• Plantilla:Springer