Teorema dels tres quadrats de Legendre

En matemàtiques, la teorema dels tres quadrats de Legendre establix que un número natural es pot representar com la suma de tres quadrats d'número entero, és dir, de la forma

$n=x^2+y^2+z^2$

si i només si $n$ no és de la forma $n=4^a(8b+7)$ per a sancers no negatius $a$ i $b$.

Les distàncies entre els vèrtiços d'un gaveta unitària doble són raïls quadrades dels primers sis número natural pel teorema de Pitágoras (√7 no és possible per la teorema dels tres quadrats de Legendre).

Els primers números que no es poden expressar com la suma de tres quadrats (és dir, números que es poden expressar com $n=4^a(8b+7)$) són: 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71... Plantilla:OEIS

a b !0	1	2
0	7	28	112
1	15	60	240
2	23	92	368
3	31	124	496
4	39	156	624
5	47	188	752
6	55	220	880
7	63	252	1008
8	71	284	1136
9	79	316	1264
10	87	348	1392
11	95	380	1520
12	103	412	1648
Unexpressible values up to 100 llaure in bold |} Història Pierre de Fermat va afirmar que els números de la forma 8 a + 1 i 8a + 3 són sumes d'un quadrat més el doble d'un atre quadrat, pero no va proporcionar una prova. N. Beguelin va observar en 1774 que tot número entero positiu que no tinga la forma 8 n + 7, ni la forma 4n, és la suma de tres quadrats, pero tampoc va proporcionar una prova satisfactòria. En 1796, Gauss es va pujar al tren del mame i va demostrar el seu teorema de Eureka de que tot sancer positiu n és la suma de 3 números triangulars ; açò és equivalent al fet de que 8 n + 3 és la suma de tres quadrats. En 1797 o 1798 Legendre va obtindre la primera demostració de la seua teorema dels 3 quadrats. En 1813, Cauchy va senyalar que la teorema de Legendre és equivalent a l'afirmació de l'introducció anterior. Anteriorment, en 1801, Gauss havia obtingut un resultat més general, que contenia com a corolari la teorema de Legendre de 1797-8. En particular, Gauss va contar el número de solucions de l'expressió d'un número entero com la suma de tres quadrats, lo que és una generalisació del resultat de Legendre, la demostració del qual era incompleta. Este últim fet sembla ser la raó d'afirmacions incorrectes posteriors que dien que la demostració de la teorema dels tres quadrats de Legendre era defectuosa i que va tindre que ser completada per Gauss. En el teorema dels quatre quadrats de Lagrange i el teorema dels dos quadrats de Girard, Fermat i Euler, el problema de Waring para $k=2$ està completament resolt. Demostracions La part de el "només si" de la teorema és senzilla, ya que qualsevol quadrat mòdul 8 és congruent en 0, 1 o 4 i, en fer la suma de tres d'ells no podem obtindre un número de la forma $4^a(8b+7)$ Del recíproc hi ha vàries demostracions (ademés de la de Legendre). Una d'elles va ser publicada en 1850 per Dirichlet, i s'ha convertit en clàssic. Requerix tres lemes principals: la llei de reciprocitat quadràtica , el teorema de Dirichlet sobre progressions aritmètiques, i la classe d'equivalència de la forma quadràtica ternaria trivial. Vore també Teorema dels dos quadrats de Fermat Teorema dels quatre quadrats de Lagrange Notes Referències