Topología de l'orde

En matemàtiques, una topología de l'orde és un tipo de topología específic que es pot definir en qualsevol orde total. És una generalisació natural de la topología dels número real a conjunts arbitraris totalment ordenats.

Si X és un conjunt totalment ordenat, la topología de l'orde en X és generada per la subbase de "rajos oberts"

$\{x\mid a<x\}$

$\{x\mid x<b\}$

per a tot a, b en X. Sempre que X tinga a lo manco dos elements, açò equival a dir que els intervals oberts

$(a,b)=\{x\mid a<x<b\}$

junt en els rajos anteriors formen una base per a la topología de l'orde. Els conjunts oberts en X són els conjunts que són unions (que poden ser infinites) de tals intervals i rajos oberts.

Un espai topològic X es diu ordenable o ordenable linealmente si existix un orde total en els seus elements tal que la topología de l'orde induïda per eixe orde i la topología donada en X coincidixen. La topología de l'orde convertix a X en un espai de Hausdorff completament normal.

Les topología estàndar en els conjunts de números R, Q, Z i N són denominades topología de l'orde.

Topología de l'orde induïda

Si I és un subconjunt de X, X és un conjunt totalment ordenat, llavors I hereta un orde total de X. El conjunt I té per tant una topología de l'orde, la topología de l'orde induïda. Com a subconjunt de X, I també té una topología traça. La topología subespacial és sempre a lo manco tan fina com la topología d'orde induïda, pero en general no són iguals.

Per eixemple, considere's el subconjunt I = {−1} ∪ {1/n }_n∈N dels número racional. Baixe la topología subespacial, el conjunt unitari {−1} està obert en I, pero baixe la topología de l'orde induïda, qualsevol conjunt obert que continga a −1 deu contindre tots menys un número finito de membres de l'espai.

Eixemple d'un subespacio d'un espai linealmente ordenat la topología del qual no és una topología de l'orde

Encara que la topología del subespacio de I = {−1} ∪ {1/n } _n∈N analisada en la secció anterior no és generada per l'orde induït en I. No obstant, és una topología de l'orde en I. De fet, en la topología del subespacio cada punt està aïllat (és dir, el conjunt unitari {i} està obert en I per a cada i en I), per lo que la topología del subespacio és l'espai discret en I (la topología en la que cada subconjunt de I està obert), i la topología discreta en qualsevol conjunt és una topología de l'orde. Per a definir un orde total en I que genere la topología discreta en I, simplement n'hi ha prou en modificar l'orde induït en I definint −1 com el major element de I, i de lo contrari, es manté el mateix orde per als demés punts, de modo que en este nou orde (cride's, per eixemple, <₁) es tinga que 1/n <₁ −1 per a tots els n ∈ N. Per lo tant, en la topología de l'orde en I generada per <₁, cada punt de I està aïllat en I.

Es desija definir ací un subconjunt Z d'un espai topològic linealmente ordenat X tal que cap orde total en Z genere la topología del subespacio en Z, de modo que la topología del subespacio no serà una topología de l'orde encara que siga la topología del subespacio d'un espai la topología del qual és una topología de l'orde.

Siga $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ en el recta real. El mateix argument anterior mostra que la topología subespacial en Z no és igual a la topología de l'orde induït en Z, pero es pot demostrar que la topología subespacial en Z no pot ser igual a cap topología de l'orde en Z.

Seguix un argument. Supongam a modo de contradicció que hi ha algun strict total order < en Z tal que la topología de l'orde generada per < és igual a la topología subespacial en Z (tinga en conte que no estem assumint que < siga l'orde induït en Z, sino més be un orde total dau arbitrariamente en Z que genera la topología subespacial).

Siga M = Z  {−1} = (0,1), llavors M és conexo, i ademés és dens en sí mateix i no té espais pel que fa a la relació <. Si −1 no és l'element més chicotet ni el més gran de Z, llavors $(-\mathrm{\infty },-1)$ i $(-1,\mathrm{\infty })$ separen M, lo que implicaria una contradicció. Suponga's sense pèrdua de generalitat que −1 és l'element més chicotet de Z. Com {−1} està obert en Z, hi ha algun punt p en M tal que l'interval (−1,p) està buit, per lo que p és el mínim de M. Llavors, M  {p} = (0,p) ∪ (p,1) no està conectat sobre la topología del subespacio heretada de R. Per un atre costat, la topología del subespacio de M  {p} heretada de la topología de l'orde de Z coincidix en la topología de l'orde de M   {p} induïda per <, que és conexo, ya que no hi ha espais en M  {p} i és dens. Açò és una contradicció.

Vore també

• Anex:Topología
• Topología del llímit inferior
• Recta llarga (topología)
• Continu llineal
• Topología de l'orde (anàlisis funcional)
• Espai parcialment ordenat

Bibliografia

• Steen, Lynn A. i Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart i Winston (1970). Plantilla:Isbn.
• Stephen Willard, Topología general, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Plantilla:PlanetMath attribution