Continu llineal

En el camp matemàtic de la teoria de l'orde, un continu o continu llineal és una generalisació de la recta real.^[1]

Formalment, un continu llineal és un orde total S de més d'un element que està densament ordenat, és dir, entre dos elements distints sempre hi ha un atre (i per lo tant, hi ha infinits atres), i complet, és dir, que "carix d'espais" en el sentit de que tot subconjunt no buit en un llímit superior té un llímit superior mínim. Expressat de forma simbòlica:^[2]

S té un llímit superior mínim
Per a cada x en S i cada i en S en x < i, existix z en S tal que x < z < i

Un conjunt té la propietat del llímit superior mínim, si cada subconjunt no buit del conjunt que està acotat superiormente té un llímit superior mínim en el conjunt. Els continus llineals són particularment importants en el camp de la topología, a on es poden usar per a verificar si un conjunt ordenat donada la topología de l'orde és conexo o no.^[3]

A diferència de la recta real estàndart, un continu llineal pot estar acotat en qualsevol costat: per eixemple, qualsevol interval (real) és un continu llineal.

Eixemples

El conjunt ordenat dels número real, R, en la seua orde habitual és un continu llineal i és l'eixemple arquetípico. La propietat b) és trivial i la propietat a) és simplement una reformulación del axioma del suprem.

Atres eixemples ademés dels número real: Conjunts que són orde isomòrfics sobre el conjunt dels número real, com per eixemple, un interval real, i lo mateix en espais semiabiertos (tinga's en conte que estos no són espais en el sentit mencionat anteriorment) La recta real estesa i els conjunts d'orde isomorfos, com per eixemple l'interval unitat El conjunt d'número real en sol +∞ o solament −∞ agregats, i els conjunts d'orde isomorfos, com per eixemple un interval La recta llarga

El conjunt I × I (a on × denota el producte cartesiano i I= [0, 1]) en orde lexicogràfic és un continu llineal. La propietat b) és trivial. Per a verificar la propietat a), es definix una aplicació, π₁ : I × I → I per

π₁ (x, i)= x

Esta aplicació es coneix com proyecció. L'aplicació de proyecció és contínua (sobre la topología producte en I × I) i és sobreyectiva.^[4] Siga A un subconjunt no buit de I × I que està acotat superiorment. Considere's π₁(A). Ya que A està superiormente acotat, π₁(A) també deu estar superiormente acotat. Ya que π₁(A) és un subconjunt de I, deu tindre un llímit superior mínim (ya que I té la propietat del llímit superior mínim). Per lo tant, es pot deixar que b siga el llímit superior mínim de π₁(A). Si b pertany a π₁(A), llavors b × I intersecará a A en, pose's per cas, b × c per a algun c ∈ I. Observe's que ya que b × I té el mateix tipo d'orde que I, el conjunt (b × I) ∩ A de fet tindrà un llímit superior mínim b × c', que és el llímit superior mínim buscat para A.

Si b no pertany a π₁(A), llavors b × 0 és el llímit superior mínim de A, perque si d < b, i d × i és un llímit superior de A, llavors d seria un llímit superior més chicotet de π ₁(A) que b, lo que contradiu la propietat única de b.

Casos que no són continus llineals

El conjunt ordenat Q dels número racional no és un continu llineal. Encara que la propietat b) es complix, la propietat a) no. Considere's el subconjunt

A= {x ∈ Q|x < Plantilla:Raïl}

del conjunt dels número racional. Encara que este conjunt està acotat superiormente per qualsevol número racional major que Plantilla:Raïl (per eixemple 3), no té llímit superior mínim en els número racional.^[5] Específicament, per a qualsevol llímit superior racional r > Plantilla:Raïl, r/2 + 1/r és un llímit superior racional més propenc (vegen-se els detalls en la secció dedicada al método de Herón).

El conjunt ordenat dels número entero no negatius en la seua orde habitual no és un continu llineal. La propietat a) es complix (siga A un subconjunt del conjunt de sancers no negatius acotat superiorment. Llavors, A és finito, per lo que té un màxim, i este màxim és el mínim superior buscat, llímit de A). En canvi, no complix la propietat b). De fet, 5 és un número entero no negatiu i també ho és 6, pero no existix cap número entero no negatiu que es trobe estrictament entre abdós.

El conjunt ordenat A dels número real distints de zero

A= (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

no és un continu llineal. La propietat b) se satisfà trivialment. No obstant, si B és el conjunt dels número real negatius:

B= (−∞, 0)

llavors B és un subconjunt de A que està llimitat superiormente (per qualsevol element de A major que 0; per eixemple 1), pero no té un llímit superior mínim en B. Observe's que 0 no és un llímit de B ya que per definició 0 no és un element de A.

Siga Z₋ el conjunt dels número entero negatius i siga A= (0, 5) ∪ (5, +∞). Ara, considere's que

S= Z₋ ∪ A.

Llavors, S no satisfà ni la propietat a) ni la propietat b). La prova és similar als eixemples anteriors.

Propietats topològiques

Encara que els continus llineals són importants en l'estudi de conjunts ordenats, també tenen aplicacions en el camp matemàtic de la topología. De fet, es demostra que un conjunt ordenat segons una topología de l'orde és conexo si i solament si és un continu llineal. Es demostra una implicació i es deixa l'atra com a eixercici (Munkres explica la segona part de la prova en la seua obra Topology).^[6]

Teorema

Siga X un conjunt ordenat segons una topología d'orde. Si X és conexo, llavors X és un continu llineal.

Demostració:

Suponga's que x i i són elements de X en x < i. Si no existix un z en X tal que x < z < i, consideren-se els conjunts:

A= (−∞, i)

B= (x, +∞)

Estos conjunts són disjuntos (Si a està en A, a < i, de modo que si a està en B, a > x i a < i, la qual cosa és impossible per hipòtesis), no buits (x està en A i i està en B) i són oberts (en la topología d'orde), i el seu unió és X. Açò contradiu que X siga conexo.

Ara es demostra la propietat del llímit superior mínim. Si C és un subconjunt de X que està acotat superiormente i no té llímit superior mínim, siga D l'unió de tots els rajos oberts de la forma (b, +∞ ) a on b és un llímit superior per a C. Llavors, D és obert (ya que és l'unió de conjunts oberts) i tancat (si a no està en D, llavors a < b per a tots els llímits superiors b de C, de modo que es pot elegir q > a tal que q estiga en C (si tal q no existix, a és el llímit superior mínim de C), llavors es pot elegir un interval obert que continga a a i que no interseque a D). Ya que D no està buit (hi ha més d'un llímit superior de D, perque si hi havia exactament un llímit superior s, seria el llímit superior mínim. Llavors, si b₁ i b₂ són dos llímits superiors de D en b₁ < b₂, b₂ pertanydrà a D ), D i el seu complement són conjunts separats en X, lo que contradiu la conexió de X.

Aplicacions de la teorema

Ya que el conjunt ordenat A= (−∞, 0) O (0,+∞) no és un continu llineal, està desconectat.
En aplicar la teorema recent demostrada, es deduïx que R és conexo. De fet, qualsevol interval (o raig) en R també és conexo.
El conjunt dels número entero no és un continu llineal, i per lo tant, no es pot conectar.
De fet, si un conjunt ordenat en la topología de l'orde és un continu llineal, deu ser conexo. Ya que qualsevol interval en este conjunt és també un continu llineal, es deduïx que este espai és localment conexo, ya que té una base que consta enterament de conjunts conexos.
Per a vore un eixemple d'espai topològic que és un continu llineal, consulte's recta llarga.

Vore també

Referències

↑ Abhijit Dasgupta (2013). Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets, Springer Science & Business Media, pp. 53 de 444. ISBN 9781461488545.
↑ George Jaroszkiewicz (2014). Principles of Discrete Clave Mechanics, Cambridge University Press, pp. 12 de 365. ISBN 9781107034297.
↑ Munkres, James (2000). Topology, 2nd ed., Pearson Education, pp. 31,153. ISBN 0-13-181629-2.
↑ C. Wayne Patty (2009). Foundations of Topology, Jones & Bartlett Learning, pp. 82 de 380. ISBN 9780763742348.
↑ Hardy, G.H. (1952). A Course of Pure Mathematics, 10th ed., Cambridge University Press, pp. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2.
↑ Munkres, James (2000). Topology, 2nd ed., Pearson Education, pp. 153–154. ISBN 0-13-181629-2.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Continuo lineal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[AD-1] Abhijit Dasgupta (2013). Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets, Springer Science & Business Media, pp. 53 de 444. ISBN 9781461488545.

[GJ-2] George Jaroszkiewicz (2014). Principles of Discrete Clave Mechanics, Cambridge University Press, pp. 12 de 365. ISBN 9781107034297.

[3] Munkres, James (2000). Topology, 2nd ed., Pearson Education, pp. 31,153. ISBN 0-13-181629-2.

[CWP-4] C. Wayne Patty (2009). Foundations of Topology, Jones & Bartlett Learning, pp. 82 de 380. ISBN 9780763742348.

[5] Hardy, G.H. (1952). A Course of Pure Mathematics, 10th ed., Cambridge University Press, pp. 11–15, 24–31. ISBN 0-521-09227-2.

[6] Munkres, James (2000). Topology, 2nd ed., Pearson Education, pp. 153–154. ISBN 0-13-181629-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]