Conjunts separats

En topología i branques relacionades de les matemàtiques, els conjunts separats són parells de subconjunts d'un espai topològic ya que estan relacionats entre sí de certa manera: que en cert modo no es solopan ni es toquen. En la noció de quàn dos conjunts estan separats o no i important la noció d'espais conexos (i els seus components conexas) aixina com els axioma de separació per a espais topològics.

Els conjunts separats no es deuen confondre en els espais separats, que estan en certa manera relacionats pero són un concepte diferent. De la mateixa forma, els espais separables són un concepte topològic completament diferent.

Definicions

Existixen vàries formes en les que es pot considerar que dos subconjunts d'un espai topològic X estan separats.

• A i B són disjuntos si la seua intersecció és el conjunt buit. Esta propietat no té res a vore en la topología com a tal, sino en la teoria de conjunts; s'inclou ací ya que és la més dèbil en la seqüència de nocions de separació.
• A i B són separats en X si cada u és disjunto de la clausura de l'atre. Les clausura en sí no tenen per qué ser disjuntas entre sí; per eixemple, els intervals [0,1) i (1,2] són separats en la recta real R, encara que el punt 1 pertany a abdós clausura. De forma més general en qualsevol espai mètric, dos boles obertes B_r(x₁) = {i:d(x₁,i)<r} i B_s(x₂) = {i:d(x₂,i)<s} són separades sempre que d(x₁,x₂) ≥ r+s. Note's dos conjunts separats qualssevol automàticament han de ser disjuntos.
• A i B són separats per entorns si existixen entorns O de A i V de B tals que O i V són disjuntos. En ocasions es definix en el requeriment de que O i V siguen entorns oberts, lo que no canvia el concepte. Per a l'eixemple A = [0,1) i B = (1,2], es pot prendre O = (-1,1) i V = (1,3). Note's que si dos conjunts qualssevol estan separats per entorns, llavors necessàriament són separats. Si A i B són oberts i disjuntos, llavors han de ser separats per entorns, simplement prenent O := A i V := B. Per este motiu, el concepte de separació se sol usar en conjunts tancats (com en l'axioma de separació normal).
• A i B són separats per entorns tancats si existix un entorn tancat O de A i un entorn tancat V de B tals que O i V són disjuntos. En l'eixemple anterior, [0,1) i (1,2], no són separats per entorns disjuntos. Es pot convertir a O o V en tancat afegint-li el punt 1, pero no es poden fer els dos tancats mantenint-los disjuntos. Note's que si dos conjunts qualssevol són separats per entorns tancats, llavors són separats per entorns.
• A i B són separats per una funció si existix una funció contínua f de l'espai X en la recta real R tal que f(A) = {0} i f(B) = {1}. En ocasions s'usa que la funció vaja en l'interval unitat [0,1] en lloc d'en R, la qual cosa no canvia la definició. En l'eixemple, [0,1) i (1,2] no estan separats per una funció, ya que existix cap forma de definir de forma contínua f en el punt 1. Note's que si dos conjunts qualssevol són separats per una funció, llavors són separats per entorns tancats, prenent els entorns com preimagen de f de la forma O := f⁻¹[-i,i] i V := f⁻¹[1-i,1+i], en i un número real positiu menor que 1/2.

• A i B són separats precisament per una funció si existix una funció contínua f de X en R tal que f⁻¹(0) = A i f⁻¹(1) = B. Note's que si dos conjunts són separats precisament per una funció, llavors són separats per una funció. Ya que {0} i {1} són tancats en R, solament els conjunts tancats poden ser separats precisament per una funció, encara que simplement perque dos conjunts són tancats i separats per una funció no implica que siguen automàticament separats precisament per una funció (inclús per una funció diferent).

Relació en els axioma de separació i espais separats

Els axioma de separació són vàries condicions que en ocasions s'imponen als espais topològics que poden ser descrits en térmens de varis tipos de conjunts separats. Com a eixemple, definirem l'axioma T₂, que és la condició dels espais separats. En particular, un espai topològic és separat si, daus dos punts distints x i i, els conjunts unitaris {x} i {i} són separats per entorns.

Els espais separats es diuen també espais de Hausdorff o espais T₂.

Bibliografia

• Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).