Tricorni (matemàtiques)

Un tricorni, creat en una computadora en Kalles Fraktaler

En matemàtiques, el tricorni, a voltes cridat el conjunt de Mandelbar, és un fractal definit de manera similar al conjunt de Mandelbrot, pero usant l'aplicació $z\mapsto {\overline{z}}^2+c$ en lloc de $z\mapsto z^2+c$ usat per al conjunt de Mandelbrot. Va ser presentat per W. D. Crowe, R. Hasson, P. J. Rippon i P. E. D. Strain-Clark. John Milnor va trobar conjunts de tipo tricorni com una configuració prototípica en l'espai de paràmetros de polinomis cúbics reals i en vàries atres famílies de mapes racionals.

La característica forma de tres cantons creada per este fractal es repetix en variacions a diferents escales, mostrant el mateix tipo d'autosimilitud que el conjunt de Mandelbrot. Ademés dels tricornis més menuts, versions en chicotet del conjunt de Mandelbrot també estan contingudes dins del fractal tricorni.

Definició formal

Multicornios en potències de 2 a 6

El tricorni $T$ està definit per una família de polinomis antiholomórficos quadràtics

$f_c:ℂ\to ℂ$

donada per

$f_c:z\mapsto {\overline{z}}^2+c,$

a on $c$ és un paràmetro complex. Per a cada $c$, s'observa l'òrbita davantera

$(0,f_c(0),f_c(f_c(0)),f_c(f_c(f_c(0))),\dots )$

del punt crític $0$ del polinomi antiholomorfo $p_c$. En analogia en el conjunt de Mandelbrot, el tricorni es definix com el conjunt de tots els paràmetros $c$ per als quals està llimitada l'òrbita d'alvanç del punt crític. Açò equival a dir que el tricorni és el lloc de conexió de la família de polinomis antiholomórficos quadràtics; és dir, el conjunt de tots els paràmetros $c$ per als que el conjunt de Julia $J(f_c)$ és conexo.

Els anàlecs de grau superior del tricorni es coneixen com multicornios. Estos són els llocs geomètrics de conectivitat de la família de polinomis antiholomórficos $f_c:z\mapsto {\overline{z}}^d+c$.

Propietats bàsiques

• El tricorni és compacte i conexo. De fet, Nakane va modificar la prova de Douady i Hubbard de la conectivitat del conjunt de Mandelbrot per a construir un difeomorfismo real analític definit dinàmicament des de l'exterior del tricorni cap a l'exterior del disc unitat tancat en el pla complex. Es poden definir els rajos externs paramètrics del tricorni com les imàgens inverses en coordenades cilíndriques baix este difeomorfismo.

• Cada component hiperbòlic del tricorni és simplement conexo.
• El llímit de cada component hiperbòlic del periodo impar del tricorni conté arcs analítics reals que consistixen en paràmetros parabòlics cuasi-conformemente equivalents pero conformemente distints. Este arc es denomina arc parabòlic del tricorni, en marcat contrast en la situació corresponent per al conjunt de Mandelbrot, a on se sap que els paràmetros parabòlics d'un periodo donat estan aïllats.
• El llímit de cada component hiperbòlic de periodo impar consta solament de paràmetros parabòlics. Més precisament, el llímit de cada component hiperbòlic del periodo impar del tricorni és una simple curva tancada que consta d'exactament tres punts de cim parabòlic, aixina com de tres arcs parabòlics, cada u dels quals conecta dos cims parabòlics.
• Tot arc parabòlic de periodo k té, en abdós extrems, un interval de llongitut positiva a través del com es produïx el forcall d'un component hiperbòlic de periodo impar k a un component hiperbòlic de periodo 2k.