Conjunt absorbent

En anàlisis funcional i àrees relacionades de matemàtiques, un conjunt absorbent en un espai vectorial és aquell conjunt $S$ que pot ampliar-se per a finalment incloure sempre qualsevol punt donat de l'espai vectorial. Un terme alternatiu és conjunt radial. Cada entorn de l'orige en cada espai vectorial topològic és un subconjunt absorbent.

Definició

Notació para escalares

Suponga's que $X$ és un espai vectorial sobre el cos $𝕂$ dels número real $ℝ$ o dels número complejo $ℂ$, i per a qualsevol $-\mathrm{\infty }\le r\le \mathrm{\infty }$, siga

$B_r=\{a\in 𝕂:|a|<r\}\text{y }{B}_{\le r}=\{a\in 𝕂:|a|\le r\}$

denota la bola oberta (respectivament, la bola tancada) de radi $r$ en $𝕂$ centrada en $0$.

Ara, es definix el producte d'un conjunt $K\subseteq 𝕂$ d'escalares sobre un conjunt $A$ de vectores com $KA=\{ka:k\in K,a\in A\}$, i es definix el producte de $K\subseteq 𝕂$ en un sol vector $x$ com $Kx=\{kx:k\in K\}$.

Preliminars

Núcleu equilibrat i envolvente equilibrada

Es diu que un subconjunt $S$ de $X$ és [[conjunt equilibrat|Plantilla:Anclavis]] si $as\in S$ per a tots els $s\in S$ i tots els escalares $a$ que satisfan que $|a|\le 1$. Esta condició es pot escriure de forma més sucinta com $B_{\le 1}S\subseteq S$, i es complix si i solament si $B_{\le 1}S=S$.

Donat un conjunt $T$, el conjunt equilibrat més chicotet que conté a $T$, denotat per $\mathrm{equil}T$, es denomina de $T$, mentres que el conjunt equilibrat més gran contingut dins de $T$, denotat per $\mathrm{nuequil}T$, es denomina de $T$. Estos conjunts estan donats per les fòrmules

$\mathrm{equil}T=\bigcup _{|c|\le 1}cT=B_{\le 1}T$

i

$\mathrm{nuequil}T=\{\begin{array}{cc}\bigcap _{|c|\ge 1}cT& \text{si }0\in T\\ \varnothing & \text{si }0\in ̸T,\end{array}$

(estes fòrmules mostren que la envolvente equilibrada i el núcleu equilibrat sempre existixen i són únics). Un conjunt $T$ està equilibrat si i solament si és igual al seu envolvente equilibrada ($T=\mathrm{equil}T$) o al seu núcleu equilibrat ($T=\mathrm{nuequil}T$), en el cas del qual els tres conjunts són iguals: $T=\mathrm{equil}T=\mathrm{nuequil}T$.

Si $c$ és qualsevol escalar, llavors

$\mathrm{equil}(cT)=c\mathrm{equil}T=|c|\mathrm{equil}T$

mentres que si $c\ne 0$ és distint de zero o si $0\in T$, llavors també

$\mathrm{nuequil}(cT)=c\mathrm{nuequil}T=|c|\mathrm{nuequil}T$.

Absorció d'un conjunt per un atre

Si $S$ i $A$ són subconjunts de $X$, llavors es diu que $A$ Plantilla:Anclavis a $S$ si satisfà qualsevol de les següents condicions equivalents:

1. Definició: Existix un $r>0$ real tal que $S\subseteq cA$ per a cada $c$ escalar que satisfaça $|c|\ge r$. O dit de manera més sucinta, $S\subseteq \bigcap _{|c|\ge r}cA$ per a algun $r>0$.
   • Si el cos escalar és $ℝ$, llavors intuitivament, "$A$ absorbix a $S$" significa que si $A$ es "aumenta" o "estén" indefinidament (referint-se a $tA$ com $t\to \mathrm{\infty }$), llavors (para tots els $t>0$ positius lo suficientment grans), tots els $tA$ queden continguts en $S$; i de manera semblant, $tA$ també deu contindre finalment a $S$ per a tots els $t<0$ negatius de magnitut suficientment gran.
   • Esta definició depén de la norma canònica del cos escalar subjacent (és dir, del valor absolut $|\cdot |$), lo que vincula esta definició a la topología euclídea habitual en el cos escalar. En conseqüència, la definició de conjunt absorbent (que es proporciona a continuació) també està lligada a esta topología.

1. Existix un $r>0$ real tal que $cS\subseteq A$ per a cada escalar $c\ne 0$ distint de zero que satisfaça que $|c|\le r$. O dit de manera més sucinta, $\bigcup _{0<|c|\le r}cS\subseteq A$ per a algun $r>0$.
   • Degut a que esta unió és igual a $(B_{\le r}\setminus \{0\})S$, a on $B_{\le r}\setminus \{0\}=\{c\in 𝕂:0<|c|\le r\}$ és la bola tancada en l'orige eliminat, esta condició pot reformular-se com: $(B_{\le r}\setminus \{0\})S\subseteq A$ per a alguns $r>0$.
   • La desigualtat no estricta $\le$, es pot reemplaçar en la desigualtat estricta $<$, que és la següent caracterisació.
2. Existix un $r>0$ real tal que $cS\subseteq A$ per a cada escalar $c\ne 0$ distint de zero que satisfaça $|c|<r$. O dit de manera més sucinta, $(B_r\setminus \{0\})S\subseteq A$ per a algun $r>0$.
   • Ací $B_r\setminus \{0\}=\{c\in 𝕂:0<|c|<r\}$ és la bola oberta en l'orige eliminat i $(B_r\setminus \{0\})S=\bigcup _{0<|c|<r}cS$.

Si $A$ és un conjunt equilibrat, esta llista es pot ampliar per a incloure:

4. Existix un $c\ne 0$ escalar distint de zero tal que $S\subseteq cA$.
   • Si $0\in A$, llavors es pot eliminar el requisit $c\ne 0$.
5. Existix un escalar distint de zero $c\ne 0$ tal que $cS\subseteq A$.

Si $0\in A$ (una condició necessària per a que $A$ siga un conjunt absorbent o siga un entorn de l'orige en una topología), llavors esta llista es pot ampliar per a incloure:

6. Existix $r>0$ tal que $cS\subseteq A$ per a cada $c$ escalar que satisfaça $|c|<r$. O dit de manera més sucinta, $B_{r}S\subseteq A$.
7. Existix $r>0$ tal que $cS\subseteq A$ per a cada $c$ escalar que satisfaça $|c|\le r$. O dit de manera més sucinta, $B_{\le r}S\subseteq A$.
   • L'inclusió $B_{\le r}S\subseteq A$ equival a $B_{\le 1}S\subseteq \frac{1}{r}A$ (des de $B_{\le r}=r{B}_{\le 1}$). Per $B_{\le 1}S=\mathrm{equil}S$, açò es pot reescriure com $\mathrm{equil}S\subseteq \frac{1}{r}A$, lo que dona la següent declaració.
8. Existix $r>0$ tal que $\mathrm{equil}S\subseteq rA$.
9. Existix $r>0$ tal que $\mathrm{equil}S\subseteq \mathrm{nuequil}(rA)$.
10. Existix $r>0$ tal que $S\subseteq \mathrm{nuequil}(rA)$.
    • Les següents caracterisació es deriven de les anteriors i del fet de que para cada escalar $c$, l'envolvente equilibrada de $A$ satisfà que $\mathrm{equil}(cA)=c\mathrm{equil}A=|c|\mathrm{equil}A$ i (des de $0\in A$) el seu núcleu equilibrat satisfà que $\mathrm{nuequil}(cA)=c\mathrm{nuequil}A=|c|\mathrm{nuequil}A$.
11. Existix $r>0$ tal que $S\subseteq r\mathrm{nuequil}A$. En atres paraules, un conjunt és absorbit per $A$ si està contingut en algun múltiple escalar positiu del núcleu equilibrat de $A$.
12. Existix $r>0$ tal que $rS\subseteq \mathrm{nuequil}A$.
13. Existix un $c$ escalar tal que $\mathrm{equil}S\subseteq cA$. En atres paraules, $A$ es pot escalar per a contindre l'envolvente equilibrada de $S$.
14. Existix un $c$ escalar tal que $\mathrm{equil}S\subseteq \mathrm{nuequil}(cA)$.
15. Existix un $c$ escalar tal que $S\subseteq \mathrm{nuequil}(cA)$. En atres paraules, $A$ es pot escalar per a que la seua núcleu equilibrat continga a $S$.
16. Existix un $c$ escalar tal que $S\subseteq c\mathrm{nuequil}A$.
17. Existix un escalar distint de zero $c\ne 0$ tal que $cS\subseteq \mathrm{nuequil}A$. En atres paraules, el núcleu equilibrat de $A$ conté algun múltiple escalar distint de zero de $S$.

Si és $0\in ̸S$ o $0\in A$, esta llista es pot ampliar per a incloure:

18. $A\cup \{0\}$ absorbix $S$ (d'acort en qualsevol condició definitoria de "absorbir" distinta d'esta).
    • En atres paraules, $A$ pot ser reemplaçat per $A\cup \{0\}$ en les caracterisació anteriors si és $0\in ̸S$ (o trivialment, si es dona el cas de que $0\in A$).

Absorció d'un punt per un conjunt

Es diu que un conjunt absorbix un punt $x$ si absorbix el conjunt unitari $\{x\}$. Un conjunt $A$ absorbix l'orige si i solament si conté l'orige; és dir, si i solament si $0\in A$. Com es detalla a continuació, es diu que un conjunt és si absorbix tots els punts de $X$.

Esta noció de que un conjunt absorbix a un atre també s'utilisa en atres definicions: Un subconjunt d'un espai vectorial topològic $X$ es diu si és absorbit per tots els entorns de l'orige. Un conjunt es diu si absorbix a tots els subconjunts acotats.

Primers eixemples

Cada conjunt absorbix el conjunt buit, pero el conjunt buit no absorbix cap conjunt que no estiga buit. El conjunt d'un sol punt $\{\mathrm{𝟎}\}$ que conté l'orige és l'únic subconjunt d'un punt que s'absorbix a sí mateixa.

Suponga's que $X$ és igual a ${ℝ}^2$ o $ℂ$. Si $A:=S^1\cup \{\mathrm{𝟎}\}$ és la circumferència unitat (centrada en l'orige $\mathrm{𝟎}$) junt en l'orige, llavors $\{\mathrm{𝟎}\}$ és l'únic conjunt no buit que absorbix $A$. Ademés, existix un subconjunt no buit de $X$ que siga absorbit per la circumferència unitària $S^1$. En contrast, cada entorn de l'orige absorbix cada subconjunt acotat de $X$ (i, per lo tant, en particular, absorbix cada subconjunt format per un únic punt).

Conjunt absorbent

Un subconjunt $A$ d'un espai vectorial $X$ sobre un cos $𝕂$ es denomina Plantilla:Anclavisde $X$ i es diu que és absorbent en $X$ si satisfà qualsevol de les següents condicions equivalents (ací ordenades de modo que cada condició siga una conseqüència senzilla de l'anterior, escomençant per la definició):

1. Definició: $A$ absorbix cada punt de $X;$ és dir, per a cada $x\in X$, $A$ absorbix $\{x\}$. Llavors, en particular, $A$ no pot ser absorbent si $0\in ̸A$. Tot conjunt absorbent deu contindre l'orige.
2. $A$ absorbix cada subconjunt finito de $X$.
3. Per a cada $x\in X$, existix un $r>0$ real tal que $x\in cA$ per a qualsevol $c\in 𝕂$ escalar que satisfaça $|c|\ge r$.
4. Per a cada $x\in X$, existix un $r>0$ real tal que $cx\in A$ per a qualsevol $c\in 𝕂$ escalar que satisfaça $|c|\le r$.
5. Per a cada $x\in X$, existix un $r>0$ real tal que $B_{r}x\subseteq A$.
   • Ací $B_r=\{c\in 𝕂:|c|<r\}$ és la bola oberta de radi $r$ en el cos escalar centrada en l'orige i $B_{r}x=\{cx:c\in B_r\}=\{cx:c\in 𝕂\text{y }|c|<r\}$.
   • Es pot utilisar la bola tancada en lloc de la bola oberta.
   • Per $B_{r}x\subseteq 𝕂x=\mathrm{expan}\{x\}$, l'inclusió $B_{r}x\subseteq A$ es complix si i solament si $B_{r}x\subseteq A\cap 𝕂x$. Açò prova la següent afirmació:
6. Per a cada $x\in X$, existix un $r>0$ real tal que $B_{r}x\subseteq A\cap 𝕂x$, a on $𝕂x=\mathrm{expan}\{x\}$.
   • Conexió a la topología: Si a $𝕂x$ se li dona el seu habitual topología euclídea de Hausdorff, llavors el conjunt $B_{r}x$ és un entorn de l'orige en $𝕂x;$, per lo tant, existix un $r>0$ real tal que $B_{r}x\subseteq A\cap 𝕂x$ si i solament si $A\cap 𝕂x$ és un entorn de l'orige en $𝕂x$. En conseqüència, $A$ satisfà esta condició si i solament si per a cada $x\in X$, $A\cap \mathrm{expan}\{x\}$ és un entorn de $0$ en $\mathrm{expan}\{x\}=𝕂x$ quan a $\mathrm{expan}\{x\}$ se li dona la topología euclídea. De lo anterior s'obté la següent caracterisació:
   • Les úniques topología EVT en un espai vectorial unidimensional són la topología trivial (no de Hausdorff) i la topología euclídea de Hausdorff. Cada subespacio vectorial unidimensional de $X$ té la forma $𝕂x=\mathrm{expan}\{x\}$ per a algun $x\in X$ i si este espai unidimensional $𝕂x$ està dotat de la (única) topología vectorial de Hausdorff, llavors l'aplicació $𝕂\to 𝕂x$ definida per $c\mapsto cx$ és necessàriament un espai vectorial topològic (a on, com de costum, $𝕂$ està dotat de la seua topología euclídea estàndar induïda per la distància euclídea).
7. $A$ conté l'orige i per a cada subespacio vectorial unidimensional $Y$ de $X$, $A\cap Y$ és un entorn de l'orige en $Y$ quan a $Y$ se li dona el seu topología vectorial única de Hausdorff.
   • Conexió en les topología dels espais vectorials: Esta condició dona una idea de per qué cada entorn de l'orige en cada espai vectorial topològic (EVT) és necessàriament absorbent: si $U$ és un entorn de l'orige en un EVT $X$, llavors per cada subespacio vectorial 1-dimensional $Y$, $U\cap Y$ és un entorn de l'orige en $Y$ quan $Y$ està dotat de la topología del subespacio induïda en ell per $X$. Esta topología de l subespacio és sempre una topología vectorial i degut a que $Y$ és unidimensional, les úniques topología vectorials que conté són la topología euclídea de Hausdorff i la topología trivial, que és un subconjunt de la topología euclídea. Llavors, independentment de quin d'estes topología vectorials estiga en $Y$, el conjunt $U\cap Y$ serà un entorn de l'orige en $Y$ sobre la seua topología vectorial única de Hausdorff (la topología euclídea). Per lo tant, $U$ és absorbent.
     • La raó per la que es distinguix la topología euclídea en esta caracterisació es deu en última instància al requisit definitorio de les topología EVT de que la multiplicació escalar $𝕂\times X\to X$ siga contínua quan al cos escalar $𝕂$ se li dona esta topología (euclídea).
8. $A$ conté l'orige i per a cada subespacio vectorial unidimensional $Y$ de $X$, $A\cap Y$ és absorbent en $Y$.
   • Ací absorbir es pot considerar segons qualsevol condició definitoria distinta d'esta.
   • Esta caracterisació mostra que la propietat de ser absorbent en $X$ depén de cóm es comporta $A$ sobre subespacios vectorials d'1 (o 0) dimensions de $X$. Pel contrari, si un subespacio vectorial de dimensió finita $Z$ de $X$ té dimensió $n>1$ i està dotat de la seua topología EVT única de Hausdorff, llavors $A\cap Z$ ya no és absorbent en $Z$, condició suficient per a garantisar que $A\cap Z$ siga un entorn de l'orige en $Z$ (encara que seguirà sent una condició necessària). Per a que açò succeïxca, n'hi ha prou en que $A\cap Z$ siga un conjunt absorbent que també siga convexo, equilibrat i tancat en $Z$ (dit conjunt es diu i serà un entorn de l'orige en $Z$ perque com tot espai euclídeo de dimensió finita, $Z$ és un espai abarrilado).

Si $𝕂=ℝ$ llavors a esta llista es pot agregar:

9. l'interior algebraic de $A$ conté l'orige (açò és, $0\in {}^{i}A$).

Si $A$ és equilibrat, es pot agregar a esta llista:

10. Per a cada $x\in X$, existix un escalar $c\ne 0$ tal que $x\in cA$ (o equivalentement, tal que $cx\in A$).
11. Per a cada $x\in X$, existix un $c$ escalar tal que $x\in cA$.

Si $A$ és convexo o equilibrat, llavors a esta llista es pot agregar:

12. Per a cada $x\in X$, existix un $r>0$ real positiu tal que $rx\in A$.
    • La prova de que un conjunt equilibrat $A$ que satisfà esta condició és necessàriament absorbent en $X$ se seguix immediatament de la condició (10) anterior i del fet de que $cA=|c|A$ per a tots els escalares $c\ne 0$ (a on $r:=|c|>0$ és real).

1. • La prova de que un conjunt convexo $A$ que satisfà esta condició és necessàriament absorbent en $X$ és menys trivial (pero no difícil). En esta nota al peu es proporciona una prova detallada, i ademés a continuació s'oferix un resum.

• Resum de la demostració: Per suposició, per a $0\ne y\in X$ distint de zero, és possible elegir $r>0$ i $R>0$ reals positius de modo que $Ry\in A$ i $r(-y)\in A$ de modo que el conjunt convexo $A\cap ℝy$ continga el subintervalo obert $(-r,R)y\stackrel{\text{def}}{=}\{ty:-r<t<R,t\in ℝ\}$, que conté l'orige ($A\cap ℝy$ es diu interval, ya que s'identifica $ℝy$ en $ℝ$ i cada subconjunt convexo no buit de $ℝ$ és un interval). Daus $𝕂y$ el seu topología vectorial única de Hausdorff, queda per demostrar que $A\cap 𝕂y$ és un entorn de l'orige en $𝕂y$. Si és $𝕂=ℝ$, llavors s'ha terminat, aixina que suponga's que $𝕂=ℂ$. El conjunt $S\stackrel{\text{def}}{=}(A\cap ℝy)\cup (A\cap ℝ(iy))\subseteq A\cap (ℂy)$ és una unió de dos intervals, cada u dels quals conté un subintervalo obert que a la seua volta conté l'orige. Ademés, l'intersecció d'estos dos intervals és precisament l'orige. Llavors, la envolvente convexa de $S$, que està continguda en el conjunt convexo $A\cap ℂy$, conté clarament una bola oberta al voltant de l'orige. $◼$

13. Per a cada $x\in X$, existix un $r>0$ real positiu tal que $x\in rA$.
    • Esta condició equival a que: tot $x\in X$ pertany al conjunt $\bigcup _{0<r<\mathrm{\infty }}rA=\{ra:0<r<\mathrm{\infty },a\in A\}=(0,\mathrm{\infty })A$. Açò succeïx si i solament si $X=(0,\mathrm{\infty })A$, que dona la següent caracterisació:
14. $(0,\mathrm{\infty })A=X$.
    • Es pot demostrar que per a qualsevol subconjunt $T$ de $X$, $(0,\mathrm{\infty })T=X$ si i solament si $T\cap (0,\mathrm{\infty })x\ne \varnothing$ per a cada $x\in X$, a on $(0,\mathrm{\infty })x\stackrel{\text{def}}{=}\{rx:0<r<\mathrm{\infty }\}.$
15. Per cada $x\in X$, $A\cap (0,\mathrm{\infty })x\ne \varnothing$.

Si $0\in A$ (lo que és necessari per a que $A$ siga absorbent), llavors és suficient verificar qualsevol de les condicions anteriors per a tots els $x\in X$, distints de zero en lloc de para tots els $x\in X$.

Eixemples i condicions suficients

Per a que un conjunt puga absorbir a un atre

Siga $F:X\to Y$ una aplicació llineal entre espais vectorials i siguen $B\subseteq X$ i $C\subseteq Y$ conjunts equilibrats. Llavors $C$ absorbix $F(B)$ si i solament si $F^{-1}(C)$ absorbix $B$.

Si un conjunt $A$ absorbix un atre conjunt $B$, llavors qualsevol superconjunto de $A$ també absorbix a $B$. Un conjunt $A$ absorbix l'orige si i solament si l'orige és un element de $A$.

Un conjunt $A$ absorbix una unió finita $B_1\cup \cdots \cup B_n$ de conjunts si i solament absorbix cada element individual del conjunt (és dir, si i solament si $A$ absorbix $B_i$ per a cada $i=1,\dots ,n$). En particular, un conjunt $A$ és un subconjunt absorbent de $X$ si i solament si absorbix cada subconjunt finito de $X$.

Per a que un conjunt siga absorbible

La 1-esfera de qualsevol espai vectorial normado (o espai vectorial seminormado) és absorbent. De manera més general, si $X$ és un espai vectorial topològic (EVT), llavors qualsevol entorn de l'orige en $X$ és absorbent en $X$. Este fet és una de les principals motivacions per a definir la propietat "absorbible en $X$".

Cada superconjunto d'un conjunt absorbent és absorbent. En conseqüència, l'unió de qualsevol família de (un o més) conjunts absorbents és absorbent. L'intersecció d'un número finito de subconjunts absorbents és una volta més un subconjunt absorbent. No obstant, les boles obertes $(-r_n,-r_n)$ de radi $r_n=1,1/2,1/3,\dots$ són totes absorbents en $X:=ℝ$ encara que la seua intersecció $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}(-1/n,1/n)=\{0\}$ no és absorbent.

Si $D\ne \varnothing$ és un disc (un subconjunt convexo i equilibrat), llavors $\mathrm{expan}D=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}nD;$ i, per lo tant, en particular, un disc $D\ne \varnothing$ és sempre un subconjunt absorbent de $\mathrm{span}D$.. Per lo tant, si $D$ és un disc en $X$, llavors $D$ està absorbit en $X$ si i solament si $\mathrm{span}D=X$. Esta conclusió no està garantisada si el conjunt $D\ne \varnothing$ és equilibrat pero no convexo. Per eixemple, l'unió $D$ dels eixos $x$ i $y$ en $X={ℝ}^2$ és un conjunt equilibrat no convexo que no és absorbent en $\mathrm{span}D={ℝ}^2$.

L'image d'un conjunt absorbible baix un operador llineal sobreyectivo torna a ser absorbible. L'image inversa d'un subconjunt absorbible (del codominio) baix un operador llineal és novament absorbible (en el domini). Si $A$ és absorbent, lo mateixa ocorre en el seu conjunt simètric $\bigcap _{|u|=1}uA\subseteq A$.

Espais normados auxiliars

Si $W$ és convexo i absorbible en $X$, llavors el conjunt simètric $D:=\bigcap _{|u|=1}uW$ serà convexo i equilibrat (també conegut com o ) ademés de ser absorbible en $X$. Açò garantisa que el funcional de Minkowski $p_D:X\to ℝ$ de $D$ siga un seminorma en $X$, convertint aixina a $(X,p_D)$ en una seminorma que du la seua topología canònica pseudometrisable. El conjunt de múltiples escalares $rD$ com $r$ s'estén sobre $\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \}$ (o sobre qualsevol atre conjunt d'escalares distints de zero que tinga $0$ com a punt llímit) forma una base d'entorns de discs absorbents en l'orige d'esta topología localment convexa. Si $X$ és un espai vectorial topològic i si este subconjunt absorbent convexo $W$ també és un subconjunt acotat de $X$, llavors tot açò també serà cert per al disc absorbent $D:=\bigcap _{|u|=1}uW;$. Si ademés $D$ no conté cap subespacio vectorial no trivial, llavors $p_D$ serà una norma i $(X,p_D)$ formarà lo que es coneix com un espai normado auxiliar. Si este espai normado és un espai de Banach, llavors $D$ es diu .

Vore també

• Interior algebraic
• Conjunt absolutament convexo
• Conjunt equilibrat
• Conjunt bornívoro
• Conjunt acotat (espai vectorial topològic)
• Convexidad
• Espai localment convexo
• Conjunt radial
• Domini en estrela
• Conjunt simètric
• Espai vectorial topològic

Notes

Demostracions

Bibliografia

• (1974) Lectures in Functional Analysis and Operator Theory (vol. 15), New York: Springer. OCLC 878109401. ISBN 978-0-387-90081-0.
• Bourbaki, Nicolas (1987). Topological Vector Spaces: Chapters 1–5, Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 17499190. ISBN 3-540-13627-4.

• Nicolas (2003). Topological vector spaces Chapter 1-5 (English Translation), New York: Springer-Verlag, p. I.7. ISBN 3-540-42338-9.
• Conway, John (1990). A course in functional analysis, 2nd edició (vol. 96), New York: Springer-Verlag. OCLC 21195908. ISBN 978-0-387-97245-9.
• Diestel, Joe (2008). The Metric Theory of Tensor Products: Grothendieck's Résumé Revisited (vol. 16), Providence, R.I.: American Mathematical Society. OCLC 185095773. ISBN 9781470424831.
• Dineen, Seán (1981). Complex Analysis in Locally Convex Spaces (vol. 57), Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co., Elsevier Science Pub. Co. OCLC 16549589. ISBN 978-0-08-087168-4.
• (1988) Linear Operators (vol. 1), New York: John Wiley & Sons. OCLC 18412261. ISBN 978-0-471-60848-6.
• Edwards (1995). Functional Analysis: Theory and Applications, New York: Dover Publications. OCLC 30593138. ISBN 978-0-486-68143-6.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces, New York: Gordon and Breach Science Publishers. OCLC 886098. ISBN 978-0-677-30020-7.
• (1977) Bornologies and Functional Analysis: Introductory Course on the Theory of Duality Topology-Bornology and its use in Functional Analysis (vol. 26), Amsterdam New York New York: North Holland. OCLC 316549583. ISBN 978-0-08-087137-0.
• (1981) Nuclear and Conuclear Spaces: Introductory Course on Nuclear and Conuclear Spaces in the Light of the Duality "topology-bornology" (vol. 52), Amsterdam New York New York: North Holland. OCLC 316564345. ISBN 978-0-08-087163-9.
• (1978) Barrelledness in Topological and Ordered Vector Spaces (vol. 692), Berlin, New York, Heidelberg: Springer Science+Business Mija. OCLC 4493665. ISBN 978-3-540-09096-0.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Keller, Hans (1974). Differential Calculus in Locally Convex Spaces (vol. 417), Berlin New York: Springer Science+Business Mija. OCLC 1103033. ISBN 978-3-540-06962-1.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces (vol. 936), Berlin, Heidelberg, New York: Springer Science+Business Mija. OCLC 8588370. ISBN 978-3-540-11565-6.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.

• Köthe, Gottfried (1983). Topological Vector Spaces I (vol. 159), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 840293704. ISBN 978-3-642-64988-2.
• Köthe, Gottfried (1979). Topological Vector Spaces II (vol. 237), New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 180577972. ISBN 978-0-387-90400-9.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Pietsch, Albrecht (1979). Nuclear Locally Convex Spaces, Second edició (vol. 66), Berlin, New York: Springer-Verlag. OCLC 539541. ISBN 978-0-387-05644-9.
• (1980) Topological Vector Spaces (vol. 53), Cambridge England: Cambridge University Press. OCLC 589250. ISBN 978-0-521-29882-7.
• Robertson, A.P. (1964). Topological vector spaces (vol. 53), Cambridge University Press, p. 4.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8), New York, NY: McGraw Hill Education. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
• (1996) Minkowski Geometry, Cambridge University Press. ISBN 0-521-40472-X.
• Schaefer, Helmut H. (1971). Topological vector spaces (vol. 3), New York: Springer-Verlag, p. 11. ISBN 0-387-98726-6.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• (1996) Handbook of Analysis and Its Foundations, Sant Diego, CA: Academic Press. OCLC 175294365. ISBN 978-0-12-622760-4.
• Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces, New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Swartz, Charres (1992). An introduction to Functional Analysis, New York: M. Dekker. OCLC 24909067. ISBN 978-0-8247-8643-4.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces, Mineola, New York: Dover Publications, Inc. OCLC 849801114. ISBN 978-0-486-49353-4.

• Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products (vol. 726), Berlin New York: Springer-Verlag. OCLC 5126158. ISBN 978-3-540-09513-2.