Efecte geodèsic

Est artícul tracta sobre precesió de cossos en òrbita. Per a l'observació d'estreles binarias vore experiment de l'estrela binaria de De Sitter.

El efecte geodèsic (també conegut com precesión geodèsica, precesión de De Sitter o efecte de De Sitter) representa l'efecte de la curvatura del espai-temps, predit per la relativitat general, en un vector transportat junt en un cos en òrbita. Per eixemple, el vector podria ser el moment angular d'un giroscopi que orbita la Terra, com es va realisar en l'experiment Gravity Probe B. L'efecte geodèsic va ser predit per primera volta per Willem de Sitter en 1916, qui va incorporar correccions relativistes al moviment del sistema Terra-Lluna. El treball de De Sitter va ser ampliat en 1918 per Jan Schouten i en 1920 per Adriaan Fokker.^[1] També es pot aplicar a la precesió secular particular d'òrbites astronòmiques, equivalent a la rotació del vector de Runge-Lenz.^[2]

El terme efecte geodèsic té dos significats llaugerament diferents, ya que el cos en moviment pot estar girant o no. Els cossos que no giren es mouen segons llínees geodèsiques, mentres que els cossos que giren es mouen en òrbites llaugerament diferents.^[3]

La diferència entre la precesió de De Sitter i la precesió de Lense-Thirring (arrastre de sistemes de referència) és que l'efecte de De Sitter es deu simplement a la presència d'una massa central, mentres que la precesió de Lense-Thirring es deu a la rotació de la massa central. La precesió total es calcula combinant la precesió de De Sitter en la precesió de Lense-Thirring.

Confirmació experimental

L'efecte geodèsic va ser verificat en una precisió superior al 0,5% per l'ensaig Gravity Probe B, un experiment que medix l'inclinament de l'eix de gir d'un giróscopo en òrbita al voltant de la Terra.^[4] Els primers resultats varen ser anunciats el 14 d'abril de 2007 en la reunió de la Societat Nortamericana de Física.^[5]

Fòrmules

Per a deduir la precesió geodèsica, deu supondre's que el sistema està en rotació segons una mètrica de Schwarzschild. La mètrica no rotativa és:

d s^{2} = d t^{2} (1 - \frac{2 m}{r}) - d r^{2} {(1 - \frac{2 m}{r})}^{- 1} - r^{2} (d θ^{2} + \sin^{2} θ d ϕ'^{2}),

a on c = G = 1.

S'introduïx ara un sistema de coordenades giratori, en una velocitat angular $ω$ , tal que un satèlit en una òrbita circular en el pla θ=π/2 permaneix en repòs, d'a on s'obté que

d ϕ = d ϕ^{'} - ω d t .

En este sistema de coordenades, un observador en la posició radial r veu un vector colocat en r girant en una freqüència angular ω. Este observador, no obstant, veu un vector posicionat en algun atre valor de r girant a una velocitat diferent, per la dilatació relativista del temps. Transformant la mètrica de Schwarzschild al marc giratori i suponent que $θ$ és una constant, llavors

\begin{matrix} d s^{2} & = (1 - \frac{2 m}{r} - r^{2} β ω^{2}) {(d t - \frac{r^{2} β ω}{1 - 2 m / r - r^{2} β ω^{2}} d ϕ)}^{2} - \\ - d r^{2} {(1 - \frac{2 m}{r})}^{- 1} - \frac{r^{2} β - 2 m r β}{1 - 2 m / r - r^{2} β ω^{2}} d ϕ^{2}, \end{matrix}

en $β = \sin^{2} (θ)$ . Per a un cos que orbita en el pla θ=π/2, es té que ß= 1, i la llínea mundial del cos mantindrà coordenades espacials constants durant tot el temps. Ara, la mètrica està en la forma canònica:

d s^{2} = e^{2 Φ} {(d t - w_{i} d x^{i})}^{2} - k_{i j} d x^{i} d x^{j} .

A partir d'esta forma canònica, es pot determinar fàcilment la velocitat de rotació d'un giroscopi en el temps propi:

\begin{matrix} Ω & = \frac{\sqrt{2}}{4} e^{Φ} [k^{i k} k^{j l} (ω_{i, j} - ω_{j, i}) (ω_{k, l} - ω_{l, k})]^{1 / 2} = \\ = \frac{\sqrt{β} ω (r - 3 m)}{r - 2 m - β ω^{2} r^{3}} = \sqrt{β} ω . \end{matrix}

a on l'última igualtat és verdadera solament per a observadors en caiguda lliure per als quals no hi ha acceleració i, per lo tant, $Φ,_{i} = 0$ . Açò du a

Φ,_{i} = \frac{2 m / r^{2} - 2 r β ω^{2}}{2 (1 - 2 m / r - r^{2} β ω^{2})} = 0.

Resoldre esta equació para ω produïx

ω^{2} = \frac{m}{r^{3} β} .

Esta expressió és essencialment la llei dels periodos de Kepler, que resulta ser relativistament exacta quan s'expressa en térmens de la coordenada temporal t d'este sistema de coordenades giratori en particular. En el sistema giratori, el satèlit permaneix en repòs, pero un observador a bordo del satèlit veu el vector de moment angular del giroscopi descrivint un moviment de precesió a una velocitat ω. Este observador també veu les estreles distants girant, pero giren un ritme llaugerament diferent per la dilatació del temps. Siga t el temps propi del giroscopi. Llavors:

Δ τ = {(1 - \frac{2 m}{r} - r^{2} β ω^{2})}^{1 / 2} d t = {(1 - \frac{3 m}{r})}^{1 / 2} d t .

El terme -2m/r s'interpreta com la dilatació del temps gravitacional, mentres que el terme -m/r adicional es deu a la rotació d'este marc de referència. Siga α' la precesió acumulada en el sistema giratori. Des de $α^{'} = Ω Δ τ$ , la precesió en el transcurs d'una òrbita, en relació en les estreles distants, ve donada per:

α = α^{'} + 2 π = - 2 π \sqrt{β} ({(1 - \frac{3 m}{r})}^{1 / 2} - 1) .

En una série de Taylor de primer orde, s'obté

α \approx \frac{3 π m}{r} \sqrt{β} = \frac{3 π m}{r} \sin (θ) .

Vore també

Referències

↑ (1988) Studies in the History of General Relativity, Birkhäuser, p. 42. ISBN 0-8176-3479-7.
↑ de Sitter, W (1916). “On Einstein's Theory of Gravitation and its Astronomical Consequences”. Mon. Not. R. Astron. Soc. 77: 155–184. doi:10.1093/mnras/77.2.155. Bibcode: 1916MNRAS..77..155D.
↑ Rindler, p. 254.
↑ «Gravity Probe B Science Results—NASA Final Report» (2009).
↑ Kahn, Bob (14 de abril 2007). Was Einstein right? Scientists provide first public peek at Gravity Probe B results, Stanford News.

Bibliografia

Wolfgang Rindler (2006) Relativitat: especial, general i cosmológica (2.ª ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Efecto geodésico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Eisenstaedt-1] (1988) Studies in the History of General Relativity, Birkhäuser, p. 42. ISBN 0-8176-3479-7.

[2] Sitter, W (1916). “On Einstein's Theory of Gravitation and its Astronomical Consequences”. Mon. Not. R. Astron. Soc. 77: 155–184. doi:10.1093/mnras/77.2.155. Bibcode: 1916MNRAS..77..155D.

[3] Rindler, p. 254.

[4] «Gravity Probe B Science Results—NASA Final Report» (2009).

[5] Kahn, Bob (14 de abril 2007). Was Einstein right? Scientists provide first public peek at Gravity Probe B results, Stanford News.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]