Espinor de Pauli

Un espinor de Pauli o espinor per a tres dimensions és un tipo d'espinor, element d'un espai vectorial $({ℂ}^2,\cdot )$ dotat d'un producte intern que li dona estructura d'espai de Hilbert, usat per a representar de manera matemàticament convenient els vectores físics del espai euclídeo tridimensional. Els espinores de Pauli prenen el seu nom del físic austríac Wolfgang Pauli que va usar este tipo de representació per a introduir l'operador moment angular en mecànica quàntica prerrelativista. Este treball va ser posteriorment generalisat, en la forma d'espinores de Weyl usats en mecànica quàntica relativiste.

Introducció

Existix una correspondència vectores tridimensionals i certes matrius hermítcas expressables com a combinació de matrius de Pauli. Per a construir dita relació primer representem vectores tridimensionals $𝐫=(x,y,z)$ com a matrius, de la següent forma:

Formalment esta matriu és un element del àlgebra de Lie del grup SU(2) que és un espai vectorial real de dimensió 3, per tant, isomorofo a l'espai ${ℝ}^3$ i el conjunt d'estes matrius de la seua(2) es coneixen informalment com "vectores de Pauli" i són combinacions llineals de les famoses matrius de Pauli (${𝝈}_k$):

Inicialment Wolfgang Pauli va usar esta representació per a representar el vector moment angular com a operador matricial. L'espai vectorial sobre el que actuaven estos "vectores de Pauli" és un espai vectorial complex de dos dimensions, per tant, isomorofo a ${ℂ}^3$.

Lo interessant d'esta forma de representar els vectores tridimensionals com "vectores de Pauli" o matrius unitàries, és que les rotacions tridimensionals admeten una representació més simple en térmens d'estes matrius. Considerem una rotació del grup de rotacions tridimensionals SO(3), $𝐑\in \text{SO}(3)$ i considerem la seua actuació sobre el vector $𝐫$:

Resulta que es pot alguna matriu $𝐔\in \text{SU}(2)$ tal que el resultat de la rotació pot calcular-se com:

a on es té també ${\widehat{𝐫}}^{\prime }=\widehat{𝐑𝐫}$. De fet, ya que SU(2) és el grup topològic que és el recubridor universal de SO(3), sent com espai recubridor un espai que recobrix dos voltes la matriu $𝐔$ no és única, de fet tant $𝐔$ com la seua oposta $-𝐔$ satisfan la relació anterior.Una atra propietat notòria és que el determinant de la matriu que representa a un vector, canviat de signe, coincidix numèricament en la norma del vector :

Definició d'espai de espinores de Pauli

L'espai de espinores de Pauli $S_P=({ℂ}^2,\cdot )$ està format per parells de número complejo $({\xi }_1,{\xi }_2)\in S_P$ el producte intern dels quals es definix com:

a on la barra indica el complex conjugat d'un número complejo. El producte tensorial de dos espinores es transforma com un vector tridimensional, és dir, la combinació:

Eixa representació no és un a un, ya que en particular el "vector de Pauli" nul (en $x^2+y^2+z^2=0$) es pot expressar com a producte, prenent ${\xi }^1={\zeta }_2=\sqrt{x-yi}$ i ${\xi }^2=-{\zeta }_1=\sqrt{-x-yi}$. Igualment es pot demostrar que certs productes en un número par de espinores de Pauli donen lloc a una mangitud que baix rotacions es transforma com una magnitut tensorial ordinària. Per eixemple, qualsevol vector tridimensional $𝑾=(W_1,W_2,W_3)$ es pot representar per una combinació de productes tensoriales de espinores de Pauli, en particular si es té una base per als espinores de Pauli $\{{\widehat{𝒆}}_1,{\widehat{𝒆}}_2\}$ junt en el seu base dual $\{{\widehat{𝒆}}_1^{*},{\widehat{𝒆}}_2^{*}\}$, tenim que:

No obstant, els productes d'un número impar de espinores de Pauli, són pròpiament magnituts espinoriales, i per tant, baix una rotació $2\pi$ al voltant d'un eix fix canvien de signe i, per tant, no poden ser interpretats com a magnituts tensoriales.