Grup d'homologia persistent

En la homologia persistent, un grup d'homologia persistent és un anàlec multiescala d'un grup d'homologia que captura informació sobre l'evolució de la característiques topològiques a través d'una filtració d'espais. Mentres que el grup d'homologia ordinari representa classes d'homologia no trivials d'un espai topològic individual, el grup d'homologia persistent rastreja solament aquelles classes que seguixen sent no trivials a través de múltiples paràmetros en la filtració subjacent. De manera anàloga al número de Betti ordinari, els rancs dels grups d'homologia persistent es coneixen com números de Betti persistents. Els grups d'homologia persistent varen ser introduïts per primera volta per Herbert Edelsbrunner, David Letscher i Afra Zomorodian en un artícul de 2002 Topological Persistence and Simplification, un dels artículs fonamentals en els camps de l'homologia persistent i l'anàlisis de senyes topològiques, basat en gran mida en els còdics de barres persistent i l'algoritme de persistència, que varen ser descrits per primera volta per Serguei Barannikov en l'artícul de 1994. Des de llavors, l'estudi dels grups d'homologia persistent ha donat lloc a aplicacions en ciència de senyes, aprenentage automàtic, ciència dels materials, biologia, i economia.

Definició

Deixar $K$ siga un complex simplicial, i siga $f:K\to ℝ$ siga una funció monòtona de valor real. Llavors, per a alguns valors $a_0<a_1<\cdots <a_n\in ℝ$ els conjunts de subniveles $K(a):=f^{-1}(-\mathrm{\infty },a]$ produir una seqüència de subcomplejos anidados $\mathrm{\varnothing }=K_0\subseteq K_1\subseteq \cdots \subseteq K_n=K$ conegut com a filtració de $K$.

Aplicant $p^{th}$ L'homologia en cada complex produïx una seqüència de grups d'homologia. $0=H_p(K_0)\to H_p(K_1)\to \cdots \to H_p(K_n)=H_p(K)$ conectats per homomorfismes induïts pels mapes d'inclusió de la filtració subjacent. Quan es pren l'homologia sobre un camp, obtenim una seqüència d'espais vectorials i mapes llineals coneguda com mòdul de persistència.

Deixar $f_p^{i,j}:H_p(K_i)\to H_p(K_j)$ siga l'homomorfisme induït per l'inclusió $K_i\hookrightarrow K_j$. Llavors el $p^{th}$ Els grups d'homologia persistent es definixen com les imàgens $H_p^{i,j}:=\mathrm{im}{f}_p^{i,j}$ a pesar de $1\le i\le j\le n$. En particular, el grup d'homologia persistent $H_p^{i,i}=H_p(K_i)$.

Més precisament, la $p^{th}$ El grup d'homologia persistent es pot definir com $H_p^{i,j}=Z_p(K_i)/(B_p(K_j)\cap Z_p(K_i))$, on $Z_p(K_{\bullet })$ i $B_p(K_{\bullet })$ són els grups estàndar de cicle p i de llímit p, respectivament.

Naiximent i mort de les classes d'homologia

A voltes els elements de $H_p^{i,j}$ es descriuen com les classes d'homologia que "naixen" en o abans $K_i$ i que encara no han "mort" entrant $K_j$ . Estes nocions poden precisar-se de la següent manera: Una classe d'homologia $\gamma \in H_p(K_i)$ Es diu que va nàixer en $K_i$ si no està contingut en l'image del grup d'homologia persistent anterior, és dir, $\gamma \notin H_p^{i-1,i}$ . En canvi, $\gamma$ Es diu que mor entrant $K_j$ si $\gamma$ es subsume (és dir, es fusiona en) una atra classe més antiga a mida que la seqüència procedix des de $K_{j-1}\to K_j$. És dir, $f_p^{i,j-1}(\gamma )\notin H_p^{i-1,j-1}$ pero $f_p^{i,j}(\gamma )\in H_p^{i-1,j}$ . La determinació de que una classe més antiga persistix si es fusiona en una classe més jove, en lloc de lo contrari, a voltes es coneix com la Regla dels Vells.

Els índexs $i,j$ en el que una classe d'homologia $\gamma$ naix i mor entrant es coneixen com a índexs de naiximent i mort de $\gamma$. La diferència $j-i$ es coneix com el índex de persistència de $\gamma$, mentres que la diferència corresponent $a_j-a_i$ En funció dels valors corresponents a eixos índexs es coneix com a persistència de $\gamma$. Si no existix cap índex en el que $\gamma$ mor, se li assigna un índex de mort infinit. Aixina, la persistència de cada classe es pot representar com un interval en la llínea real estesa. $ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$ de qualsevol de les formes $[a_i,a_j)$ o $[{a_i}^{\prime },\mathrm{\infty })$. Ya que, en el cas d'un camp infinit, el número infinit de classes sempre té la mateixa persistència, la colecció de totes les classes de dits intervals no dona multiplicitat significatives per a un multiconjunto d'intervals. En canvi, tals multiplicitat i un multiconjunto d'intervals en la llínea real estesa estan donats per la teorema d'estructura d'homologia de persistència. Este conjunt múltiple es coneix com còdic de barres de persistència.