Navegació astronòmica

La navegació astronòmica engloba les tècniques que utilisen els astres per a conéixer la posició sobre el globo terrestre, en contraposició al de la navegació per estima, amprat principalment a la navegació de cabotaje, que no els usa. Els polinesios varen ser capaços de poblar illes que, als europeus, els va costar moltíssim trobar. S'han descobert mapes del cel fets en canyes i nucs, amprats pels polinesios per a representar les estreles.

Durant sigles, els europeus i els àraps havien navegat al voltant de les seues costes utilisant com a referència els punts visibles de les costes i el seu coneiximent de les profunditats (sondes) en diferents llocs. Quan, en els sigles XIV i XV, els catalans i portuguesos escomencen els seus viages d'exploració i descobriment, els seus instruments de navegació eren:

• Corredera i ampolleta, per a determinar la velocitat del barco en la navegació d'estima.
• Sonda, per a determinar la profunditat i naturalea del fondo.
• Brúixola molt rústica per a determinar el nort (magnètic).
• Vara de Jacob, astrolabio i quadrant, per a medir l'altura d'un astre sobre l'horisó.

Coneixien les llimitacions i els errors de la navegació per estima. Cristóbal Colón va descobrir que la declinació magnètica no era constant, sino que variava en el lloc i en el temps. Sabien que l'estrela polar no estava situada exactament sobre el pol celest i sabien cóm corregir l'error que introduïa en la medició de la latitut per mig de l'observació de les estreles propenques (les "guardes").

Observacions sense cronómetro

El astrolabio és invenció dels antics grecs, pero es va oblidar en Europa i varen anar els àraps els qui ho van reintroducir en la península Ibèrica cap al sigle XI. Des d'ací, es va estendre al restant d'Europa i, a finals de l'edat mijana i durant la renaixença estava molt estés. Per a prendre una observació, requeria tres persones i donava una precisió prou baixa, de l'orde de dos a quatre graus d'arc. S'utilisava per a determinar la latitut per mig de l'observació de l'estrela polar o l'observació del pas meridiano del sol.

La ballestilla és d'invenció medieval, i podia ser usada per una sola persona, pero era molt poc pràctica perque necessitava visualisar i alinear simultàneament un extrem de la creu en l'horisó, i l'atre extrem en l'astre. Açò és molt difícil de fer.

Un atre instrument àrap medieval és el kamal, que està basat en el mateix principi que la ballestilla. En el kamal, la creueta es veu reduïda a una mesita en un cordel en nucs. L'observador subjectava un nuc determinat entre les dents, la qual cosa fixava la distància de la mesita als seus ulls i, per lo tant, l'àngul format per l'ull i les vores de la mesita. Els nucs es feyen de manera que correspongueren en la latitut de varis ports o llocs, i l'observació permetia saber la latitut de l'observador.

El 1590, Davis va inventar el quadrant que du el seu nom. Este permetia a una sola persona prendre l'altura del sol en una miqueta més de precisió que un astrolabio. L'observador, d'esquenes al sol, alinea l'ombra del sol sobre el visor en l'horisó, cosa que es fa en una sola llínea recta de visió i evita el problema principal de la ballestilla, a on l'observador necessita visualisar dos llínees simultàneament. El quadrant de Davis va sofrir varis canvis i millores a lo llarc de la seua existència, de manera que els últims models eren prou diferents de l'original.

Aixina que, fins a mediats de sigle XVIII, la latitut es determinava per mig de l'observació de l'altura de l'estrela polar o de l'observació meridiana del sol utilisant el astrolabio, i més vesprada, el quadrant de Davis. Els marins tenien taules quadrienales que donaven la declinació del sol per a cada dia de l'any i, en esta informació i l'observació de l'altura del sol en el seu pas meridiano, és molt senzill determinar la latitut. Per la simplicitat d'este método, que no requerix cronómetro, s'ha utilisat tradicionalment fins als nostres dies, tot i l'existència de métodos molt més versàtils.

En aquella época, a finals del sigle XV, no hi havia manera pràctica de determinar la llongitut geogràfica, aixina que el procediment seguit era lo de navegar en un punt de la mateixa latitut que el destí, per a despuix anar navegant mantenint la latitut fins a trobar el destí. Podríem pensar que açò era molt ineficiente, pero és el millor que podien fer i no és tan ineficiente com pot semblar a primera vista. De fet, per a les naus que anaven al Carib, açò era molt pràctic per la configuració de les corrents i dels vents alisios del oceà Atlàntic. Des de la península anaven cap al sur, en les illes Canàries, i des d'ací creuaven l'Atlàntic. En el viage de tornada, pujaven junt a Florida i despuix creuaven l'Atlàntic cap a Espanya. Tenint en conte les corrents i els vents, açò és lo més eficient. Desafortunadament per als pilots —i per sòrt per als buscadors de tesors de hui—, la flota espanyola retornava del mar Carib en el moment de més activitat d'huracans, i molts barcos es varen anar a pique prop de les costes de Florida.

Al voltant del 1750, es va inventar el sextant, que permetia una observació molt més precisa de l'altura dels astres. En algunes millores i #perfeccionament menors, ha restat fonamentalment igual fins als nostres dies. De totes maneres, els pilots varen tardar algun temps en rebujar els quadrants de Davis i en utilisar els sextants, que eren més complicats i cars.

El sextant permetia més precisió en l'observació de l'altura dels astres, la qual cosa redundava en una determinació de la latitut més precisa, pero els marins seguien sense tindre un mig per a determinar la seua llongitut geogràfica per mig d'observacions astronòmiques.

L'invenció del telescopi i les #bestreta en la astronomia varen permetre que, a finals del sigle XVIII, es poguera predir la posició dels astres en suficient exactitut i, a finals del sigle XVIII, el Real Observatori Britànic de Greenwich va escomençar a publicar el almanac nàutic, que ha continuat sent una de les ferramentes bàsiques de la navegació astronòmica fins als nostres dies.

Desenroll del cronómetro

Durant el XVIII, s'havia fet tot l'estudi teòric necessari que permetria la determinació de la llongitut geogràfica, condicionat al fet de que l'observador sabera en certa precisió l'hora en el meridiano de referència en el moment de l'observació o, #lo que és el mateix, la diferència horària entre el punt de l'observació i el meridiano de referència (comunament Greenwich). Fins a este moment, el temps a bordo es media per mig d'ampolletas d'arena, que els grumetes giraven cada mija hora. Este sistema era, evidentment, poc precís i totalment inadequat per a la navegació astronòmica, que requerix molta més precisió. El problema de la determinació de la llongitut geogràfica es llimitava, per lo tant, al problema de poder saber en precisió l'hora en el meridiano de referència.

Es varen desenrollar sistemes de navegació que permetien determinar l'hora per mig d'observacions astronòmiques, pero eren molt complexos i inexactos. Entre estos, hi havia el método de les distàncies llunars, basat en l'observació del moviment relativament ràpit de la Lluna i el método de l'observació dels satèlits de Júpiter. Hui, a sabiendas de l'hora, l'almanac nos dona el àngul horari de la Lluna. El método de les distàncies llunars es basava en el procés invers: observant la posició de la Lluna respecte a les estreles, i aplicant les corresponents correccions per paralaje, semi-diàmetro, etc., l'observador deduïa l'hora. El método de l'observació de les #ocultació dels satèlits de Júpiter requeria l'us d'un telescopi, i feya impossible l'us d'este método a bordo.

A pesar de que estos métodos eren una millora sobre els métodos existents fins a este moment, eren molt molests de calcular i molt subjectes a inexactitudes i errors, per la qual cosa no varen guanyar molta difusió. Clarament, se sentia la necessitat d'una màquina que permetera saber a bordo del barco l'hora del meridiano de referència.

Espanya i atres països havien oferit recompenses a qui inventara i construïra un cronómetro, pero ni tan sols açò va produir la desijada invenció. A mitan de sigle XVIII, Anglaterra va oferir una gran recompensa a qui "descobrira la llongitut geogràfica en la mar en una precisió de 60 milles despuix d'un viage de sis semanes per mar". Esta precisió pot interessar molt poc hui en dia pero, en efecte, supon saber l'hora en una precisió de quatre minuts de temps despuix del pas de sis semanes. En aquella época, era el màxim que es podia demanar.

Al contrari d'atres invencions de l'Edat Moderna que varen fer us de tecnologia existent donant nous usos, l'invenció del cronómetro va ser un producte de la necessitat i la tecnologia necessària va tindre que ser inventada i desenrollada per a eixe propòsit.

Des de que Galileo va descobrir el ritme constant de la péndola de gravetat, els inventors havien tractat d'inventar un rellonge basat en este principi, pero els resultats eren imperfectes en terra ferma i estos cronómetros no podien funcionar en un barco en moviment. Tot el sigle XVIII va ser dedicat a l'invenció del cronómetro, pero els pilots varen tindre que esperar a la segona mitat del XIX i orientar-se sense rellonge, en les distàncies llunars.

Com a resposta de l'oferta anglesa, John Harrison va acoplar el péndola en un moviment d'escape de la seua invenció i va produir els primers cronómetros "transportables" durant el sigle XVIII. El primer pesava 30 quilos i necessitava uns enormes respals en cardán per a mantindre el mateix àngul respecte a l'horisontal, cosa impossible en cas de temporal, només el "Harrison IV" era efectiu en l'mar. Anys de treball i millores varen produir, finalment, cronómetros pràctics i que podien ser produïts en massa.

Només, a partir de mitat del sigle XIX, es varen escomençar a fabricar cronómetros útils i eren molt cars; és per eixe motiu que, durant la primera mitat del sigle, molts barcos encara navegaven per les distàncies llunars.

Una volta que el cronómetro va estar disponible a principis del sigle XIX, el pilot tenia a la seua disposició per a la navegació astronòmica les mateixes ferramentes que utilisa hui en dia, dos sigles despuix: sextant, cronómetro i almanac nàutic. Des de llavors, les #bestreta en la navegació astronòmica han raer, no en els instruments mecànics, sino en la teoria de métodos i càlculs usats en la reducció de les observacions.

Observacions en cronómetro

En l'arribada del cronómetro es va poder determinar la llongitut geogràfica. Açò es feya, generalment, de la següent manera: el pilot determinava la seua latitut pel procediment que sempre havia usat: per l'observació meridiana del sol. Esta observació es dia observació meridiana, i no requeria l'us del cronómetro. Despuix, feya una observació d'un astre que tinguera un azimut molt propenc a 90° o 270°, és dir, I o W. Esta observació es dia observació cronometrada o temporal, perque s'anotava l'hora de l'observació. En este moment, estimava la seua latitut alvançant la meridiana per mig de càlculs d'estima. Utilisant la nova latitut en els seus càlculs i les senyes de l'observació cronometrada obtenia la seua llongitut geogràfica. El procés matemàtic de càlculs que se seguix en una observació per a aplegar a un resultat en forma de posició es diu reducció de l'observació.

En este cas, el navegant té com a senyes la posició de l'astre en el moment de l'observació, és dir, el seu àngul horari referit a Greenwich GHA i la seua declinació dec. Ademés de l'altura observada Ho. Llavors, assumix una latitut donada per a la seua navegació d'estima i calcula la llongitut geogràfica resultant lon. Primer determina l'àngul horari local LHA, és dir, l'àngul horari entre la seua posició i la posició de l'astre:

Sense (Ho) - Sense (lat) * Sense (dec) Sense (Ho)
Cos (LHA) = ----------------------------- = --------------- ---- - Tan (lat) * Tan (dec)
Cos (lat) * Cos (dec) Cos (lat) * Cos (dec)

Una volta determinat LHA, és fàcil determinar la longitud lon, ya que:

Lon (W) = GHA - LHA 

Cóm es pot vore, la fòrmula principal és complexa si té que resoldre només en l'ajuda de taules.

Geomètricament, el problema consistix a determinar el círcul d'igual altura que talla al paralel de latitut corresponent. Es pot vore que estarà en dos punts i, aixina, l'equació matemàtica també tindrà dos solucions, de les quals una es rebuja per no ser, òbviament, la solució buscada.

L'observació cronometrada complementava l'observació meridiana i era el següent pas més llògic. Va ser més fàcilment acceptat pels pilots que fora un sistema radicalment nou i diferent, i es va convertir en el método usual d'aquella época.

Una forma senzilla de calcular la situació del navegant és, tenint un cronómetro que marque l'hora de LA TEUA, quan el Sol estiga en la seua màxima altura sobre l'horisó davant el navegant —dirigint el sextant en la direcció en que es troba més pròxim l'equador—, s'anota la seua altura angular sobre l'horisó, l'hora que marca el cronómetro i la declinació que té el Sol en eixe moment —les senyes per a trobar el valor de la declinació apareixen al almanac nàutic—. L'hora anotada és la del pas del Sol pel meridiano del navegant. D'esta hora, es resta l'hora de UT en la qual el Sol ha passat sobre el meridiano de Greenwich —que també ve en l'Almanac Nàutic, i que sol ser cap a les 12 h de l'EL TEU—, en la qual cosa obtenim el temps que ha tardat el Sol des de que va passar pel meridiano 0° fins que ha passat pel meridiano del navegant. Ya que, en una hora, el Sol recorre 15°, s'obté que el temps transcorregut en minuts d'hora dividit per 4, nos dona el valor en graus de la llongitut en la que es troba el navegant. Els decimals d'esta llongitut es transformen en minuts de grau multiplicant per 60. Aixina tenim, aproximadament, la llongitut en graus, minuts i decimals de minut en que es troba el navegant.

La latitut a la que es troba el navegant quan passa el Sol pel seu meridiano es pot conéixer calculant la latitut en que, en este moment, es troba el zenit del navegant, ya que són del mateix valor. Tal latitut del zenit s'obté sumant la co-altura del Sol (= 90°-altura) a la declinació del Sol quan este astre està passant pel meridiano del navegant -la co-altura és la distància angular que hi ha entre el zenit del navegant i l'astre, i la declinació és la distància angular entre l'astre i l'Equador celest, i la variació de l'altura del Sol és mínima quan l'astre està pròxim al meridiano del navegant, per la qual cosa es recorre a estratagemas per a detectar el seu pas per tal meridiano com, per eixemple, anar tirant preses seriades —cada cinc o dèu minuts— de l'altura del Sol quan està prop del migdia del navegant i anotant el valor d'estes altures i les hores de UT corresponents. En estes senyes, es fa una gràfica en que les coordenades són lo UT i l'altura de l'astre: la curva resultant d'unir estes altures successives, es pot calcular per aproximació quan el sol ha estat en la seua màxima altura, com era el valor d'esta i qué era l'hora de UT en quina açò passava.

Correccions

A mida que els sextants, en la seua fabricació i maneig, s'anaven fent més precisos, es varen ser tenint en conte i corregint en els càlculs errors que abans s'havien ignorat. Entre estos, es poden contar:

• Error instrumental (propi de l'instrument).
• Refracció atmosfèrica (notable, especialment, en observacions de baixa altura, menor a 10 graus).
• Depressió de l'horisó (posat que l'horisó està situat per baix de l'observador).
• Paralaje (notable en el cas de la Lluna i astres propencs a la Terra).
• Semi-diàmetro (en el cas de cossos en diàmetro aparent, Sol i Lluna, en observar els #llim).
• Aument (el semi-diàmetro de la Lluna s'estandardisa per la distància des del centre de la Terra, pero quan s'observa en certa altura sobre l'horisó, la distància des de l'observador és menor i el semidiàmetro aparent aumenta).

Comparació en la topografia

Llaugerament aparte del tòpic central que nos ocupa, que és la navegació astronòmica per mar, és interessant notar que els fabricants de mapes i els topògrafs terrestres de l'época s'enfrontaven al mateix problema: determinar la seua posició per mig d'observacions astronòmiques, pero varen aplegar a solucions molt diferents. El pilot marí té una visió clara de l'horisó al seu cercant i pot determinar l'altura H de l'astre sobre l'horisó, pero açò no succeïx en terra ferma. Per un atre costat, el pilot no té mijos per a determinar l'azimut d'un astre en precisió ni el moment precís del seu trànsit meridiano. Pel contrari, un observatori astronòmic terrestre té mijos per a determinar estes magnituts en facilitat i precisió. Per estos motius, els sistemes utilisats per navegants marins i per topògrafs terrestres eren fonamentalment diferents.

Desenroll de métodos de reducció moderns

Sumner

El 1837, el capità Thomas Sumner s'acostava a la costa anglesa i estava preocupat per la seua posició despuix de varis dies de boira sense observacions. Una obertura momentànea als núvols li va permetre prendre una observació cronometrada, pero no estava segur de la seua latitut, i per això va decidir resoldre la llongitut utilisant vàries suposicions de latitut. En fer-ho, va descobrir que les diferents posicions obtingudes estaven alineades i que la prolongació de la llínea passava per un far determinat. A pesar de que no estava segur de la seua latitut, sabia que la seua posició estava a lo llarc d'esta llínea recta, per la qual cosa va posar rumbo per a seguir per la mateixa llínea fins que, efectivament, va divisar el far. Al capità Sumner, s'atribuïx l'invenció del concepte de "llínea de posició" (LP). Hui sabem, per supost, que la LP és un segment d'un círcul menor cridat círcul d'igual altura. Qualsevol observador situat en qualsevol punt d'este círcul observarà l'astre en la mateixa altura.

El método del capità Sumner per a resoldre la llongitut de dos #latitut diferents i, d'esta manera, determinar una LP estava en llínea en el que s'havia fet fins a aquell moment, i va ser adoptat pels pilots sense resistència, pero, encara, el procés de determinació de la posició era lo d'alvançar per estima la latitut obtinguda de l'observació meridiana i creuar-la en LP obtingudes per observacions cronometrades.

La reducció de l'observació cronometrada era complexa i tenia que ser resolta per duplicat, per a dos #latitut diferents. Ademés, l'astre examinat en l'observació cronometrada tenia que tindre un azimut molt propenc a l'I o al W. Si l'azimut del cos observat se separava molt del que es desijava, creixia l'error i, ademés, els punts obtinguts caurien fòra de la carta.

St. Hilaire

A finals del sigle XIX, es buscava la forma de simplificar els càlculs i de millorar la precisió dels resultats. Cap al 1872, el capità francés Marcq Saint Hilaire va publicar un método d'aproximacions successives que va denominar point rapproche. El 1877, l'astrònom parisenc Antoine-Joseph Yvon Villarceau (1813-1883) i l'oficial naval Aveda de Magnac varen publicar un sistema que varen denominar interceptació de l'azimut, i que s'ha difòs en el nom de St. Hilaire, encara que este no va ser l'inventor. Este método es va difondre ràpidament i ha segut el més utilisat fins als nostres dies.

En este método, el pilot assumix una posició qualsevol, que pot ser la seua posició estimada, pero açò no és necessari i n'hi ha prou en que la posició assumida estiga raonablement prop de la posició real. El resultat de la reducció és una LP, que sempre serà la mateixa, en independència de la posició assumida per al càlcul.

El procediment és el següent: el piloto realisa una observació astronòmica i anota l'hora exacta i l'altura Lo observada. A continuació, es fa un càlcul a on s'assumix l'altura calculada Hc, en la qual s'observaria l'astre si la seua posició d'observador fora la posició assumida per al càlcul. La diferència entre Ho i Hc és la distància entre la posició real i la posició assumida per al càlcul —els càlculs anteriors són matemàtics i el que seguix és procés gràfic en la carta de navegació—, de manera que el pilot traça una recta des del punt de la posició assumida en la direcció de l'azimut de l'astre observat i des de la posició assumida medix la distància Ho-Hc cap a l'astre. Si Ho és major, llavors la distància es medix en sentit invers. En este punt, traça una perpendicular a la llínea d'azimut i esta nova llínea és la seua recta d'altura LP. En el moment de la mida, l'observador estava situat en algun punt d'esta LP. Creuant vàries LP i totes obtingudes per este nou procediment, s'obté la posició real.

Les fòrmules utilizadas per a obtindre Hc i Z són:

Sense (Hc) = Sense (lat) * Sense (dec)+ Cos (lat) * Cos (dec) Cos (LHA)

Sense (LHA)
Tan (Z) = -------------------------------------------
Sense (lat) * cos (LHA) - Cos (lat) * Tan (dec)

Ageton

Cap al 1930, Ageton, en aquells dies estudiant a l'Acadèmia Naval de Annapolis (Estats Units), va inventar el método de reducció que du el seu nom. Este método utilisa una menuda taula de logaritmos de les funcions trigonométricas i un procés que simplifica els càlculs. Les taules de Ageton varen ser publicades per l'Oficina Hidrogràfica dels Estats Units el 1931, en la denominació HO 211.

El sistema és útil encara hui, per eixemple, perque permet dur el llibret en les taules dins de la caixa del sextant. Aixina i tot, els càlculs de reducció tarden en realisar-se i són propensos a errors, sobretot per al pilot carit de pràctica. Despuix, s'han desenrollat atres métodos pareguts, com el método de Davies, que s'inclou en el almanac nàutic publicat pels Estats Units, pero cap d'estos métodos s'aproxima a la bellea i simplicitat del método de Ageton.

Des de finals del sigle XIX fins a passada la Segona Guerra Mundial, va haver un constant treball en tot lo món per a buscar sistemes simplificats de reducció d'observacions, pero pocs métodos varen guanyar difusió mundial, ya que cada nació favoria els propis. Aparte del método de Ageton, podem denominar el ya citat de Davies i els de Comrie, Dreisonstok, Ogura, etc. Alguns d'estos sistemes utilisaven la fòrmula del semisenovers (Fòrmula de Haversine).

Taules precalculadas

El método de Ageton i atres semblances eren vàlides per a pilots marins, pero massa llents per a pilots aéreus, que necessitaven resoldre la seua posició en molta més rapidea. En la década del 1940, es empezaron a publicar taules de triànguls esfèrics pre-calculats, de manera que el pilot entrava en les taules en els tres arguments de latitut assumida, declinació de l'astre i diferència horària entre l'astre i la llongitut geogràfica assumida, i obtenia com resultat l'altura calculada Hc i el azimut calculat Z.

El pilot es vea obligat a assumir una posició de latitut igual a un grau sancer, sense part fraccionaria, i a assumir una llongitut que fera la diferència horària igual a un grau sancer també. Esta restricció no és especialment incómoda i es guanyava molt en velocitat, per la qual cosa estos métodos es varen desenrollar molt a partir de la Segona Guerra Mundial i varen culminar en la publicació pel govern nortamericà de les taules HO 249 per a aviadors i, més vesprada, les taules HO 229 per a pilots marins. Abdós són essencialment el mateix, pero les LO 229 donen una miqueta més de precisió i són d'us alguna cosa més llent. En abdós casos, el pilot necessita una voluminosa biblioteca de taules, de manera que atres métodos, com el de Ageton, poden ser més adequats per a situacions com bots salvavides, o on no es puga carregar en les voluminoses taules dels métodos com LO 249.

Càlcul electrònic

En l'arribada, en les últimes dos décades del sigle XX, de les calculadores programables i ordenadors, la reducció d'observacions es pot fer de manera instantànea i sense necessitat de taules, i aixina els métodos manuals varen passar a ser métodos d'emergència per al cas de fallos en els aparats electrònics. També es varen desenrollar programes d'ordenador que calculaven les coordenades astronòmiques que, fins a aquell moment, s'havien tret de l'almanac. Açò va fer innecessari l'únic un atre llibre utilisat pel pilot per a la reducció: l'almanac nàutic.

#Present

Tenint en conte el desenroll del sistema GPS i uns atres similars de navegació per satèlit, que són presents en tot lo món, i en receptors que poden costar la dècima part o menys del preu d'un sextant, podem dir en seguritat que l'art i ciència de la navegació astronòmica han aplegat a finals del seu camí útil. L'art de la navegació astronòmica s'està perdent ràpidament, i només sobreviurà com a interés de forofos.

L'Acadèmia Naval de Annapolis (Estats Units) ya no requerix l'ensenyança de navegació astronòmica als seus cadets, perque saben que ya no té objecte. No obstant, en l'estat espanyol, es continua requerint este coneiximent per a obtindre el títul deportiu de capità de yate, ya que la tecnologia GPS —i similars— depenen d'aparats electrònics que es poden vore afectats per fallos i errors, mentres que el coneiximent de la navegació astronòmica oferix un sistema menys precís, més complex, pero efectiu en cas que el sistema electrònic deixe de funcionar. De la mateixa manera, les escoles nàutiques mercants mexicanes encara inclouen, en els programes d'estudi, la navegació astronòmica, ya que en les embarcacions mercants encara és obligatori realisar, a lo manco, una observació astronòmica al dia, i açò en la finalitat de corroborar que els equips electrònics funcionen correctament.

Vore també

• Algoritme de navegació
• Sextant Bris

Bibliografia

• Frédéric Marguet, Història general de la navegació en el sigle XV, París, edicions de la Societat geogràfica, marítima i colonial, de 1931.
• Frédéric Marguet, Curs de navegació i la brúixola de l'Acadèmia Naval, de l'editor Agustí Challamel, París, 1921.

Enllaços externs

• ^{[enllaç trencat]} Seleccioneu Publications i despuix Sight reduction contables for marine navigation, es poden descarregar les taules de reducció HO 229.
• Observatori Naval Nortamericà. [1] archivat en Wayback Machine. Introduint l'hora (UT) i posició estimada ( lat. I lon.), produïx una llista en Gha i dec de varis astres, aixina com Hc i Zn per a la posició seleccionada.
• Navisfera - Respal a la Navegació Astronòmica (en portugués)