Notació de poliedres de Conway

En geometria, la notació de poliedres de Conway, inventada per John Horton Conway i promoguda per George W. Hart, s'usa per a descriure poliedres basant-se en un poliedre llavor modificat per mig de distintes operacions prefixades.^[1]

Conway i Hart varen ampliar l'idea d'utilisar operadors, com el truncació definit per Johannes Kepler, per a construir poliedres relacionats en la mateixa simetria. Per eixemple, $tC$ representa un gaveta truncada i $taC$ , analisat com $t (aC)$ , és (topológicamente) un cuboctaedro truncat. L'operador més simple, la conjugació intercanvia elements vèrtiços i cares para obterner figures duals; per eixemple, el dual d'un gaveta és un octaedre: $dC = O$ . Aplicats en série, estos operadors permeten generar molts poliedres d'orde superior. Conway va definir els operadors $a$ (ambo), $b$ (bisell), $d$ (dual), $i$ (expandir), $g$ (gir), $j$ (unir), $k$ (kis), $m$ (meta), $o$ (orto), $s$ (achatar) i $t$ (truncar), mentres que Hart va agregar $r$ (reflectir) i $p$ (hèliç).^[2] En versions posteriors es varen nomenar operadors adicionals, a voltes denominats operadors estesos.^[3]^[4] Les operacions bàsiques de Conway són suficients per a generar els sòlits arquimedianos i els sòlits de Catalan a partir dels sòlits platònics. Algunes operacions bàsiques es poden realisar com a composts d'unes atres: per eixemple, el ambo aplicat dos voltes és l'operació d'expansió ( $aa = i$ ), mentres que una truncació despuix del ambo produïx un bisell ( $ta = b$ ).

Els poliedres es poden estudiar topológicament, en térmens de cóm es conecten entre sí els seus vèrtiços, arestes i cares, o geomètricament, en térmens de l'ubicació d'eixos elements en l'espai. Diferents formes d'estos operadors poden generar poliedres que són geomètricament diferents pero topológicamente equivalents. Estos poliedres topológicamente equivalents es poden considerar com un dels molts grafos polièdrics embebidos en l'esfera. A menos que s'especifique lo contrari, en este artícul (i en la lliteratura sobre els operadors de Conway en general) la topología fixa el criteri principal. Els poliedres en genus 0 (és dir, topológicamente equivalents a una esfera) a sovint es coloquen en forma canònica per a evitar ambigüitats.

Operadors

En la notació de Conway, els operadors sobre poliedres s'apliquen com a funcions, de dreta a esquerra. Per eixemple, un cuboctaedro és el ambo d'una gaveta,^[5] és dir, $1 = a (C) = a C$ , i un cuboctaedro truncat es representa com $1 = t (a (C)) = t (a C) = t a C$ . L'aplicació repetida d'un operador es pot denotar en un exponent: j² = o. En general, els operadors de Conway no són conmutativos.

Els operadors individuals es poden visualisar en térmens de dominis fonamentals (o recints), com es mostra a continuació. Cada triàngul rectàngul és un domini fonamental. Cada recint blanc és una versió rotada dels demés, de la mateixa manera que cada recint de color. Per als operadors quirales, els recints de colors són un reflex dels recints blancs i tots són transitivos. En térmens de grup, els operadors aquirales corresponen als grups diédricos $D n$ a on n és el número d'arestes d'una cara, mentres que els operadors quirales corresponen a grups cíclicos $C n$ que carixen de la simetria reflexiva dels grups diédricos. Els operadors aquiral i quiral també es denominen operacions locals que preserven la simetria (LSP) i operacions locals que preserven les simetria i que preserven l'orientació (LOPSP), respectivament.^[6]^[7]^[8]

Els LSP deuen entendre's com a operacions locals que preserven la simetria, no operacions que preserven la simetria local. Novament, estes són simetria en un sentit topològic, no en un sentit geomètric: els ànguls exactes i les llongituts de les vores poden diferir.

Dominis fonamentals de cares en $n$ arestes
3 (Triàngul)	4 (Quadrat)	5 (Pentágono)	6 (Hexàgon)

Dominis fonamentals dels grups polièdrics. Els grups són $D_{3}, D_{4}, D_{5}, D_{6}$ per a poliedres aquirales i $C_{3}, C_{4}, C_{5}, C_{6}$ per a poliedres quirales

Hart va introduir l'operador de reflexió r, que dona l'image especular del poliedre.^[5] Açò no és estrictament un LOPSP, ya que no conserva l'orientació: l'invertix, intercanviant recints blancs i rojos. r no té cap efecte sobre els poliedres aquirales a banda de l'orientació, i rr = S torna el poliedre original. Es pot utilisar una llínea superior per a indicar l'atra forma quiral d'un operador: Plantilla:Overline = rsr.

Una operació és irreducible si no pot expressar-se com una composició d'operadors a banda de d i r. La majoria dels operadors originals de Conway són irreducibles: les excepcions són i, b, o i m.

Representació matricial

x	$[\begin{matrix} a & b & c \\ 0 & d & 0 \\ a^{'} & b^{'} & c^{'} \end{matrix}] = 𝐌_{x}$
xd	$[\begin{matrix} c & b & a \\ 0 & d & 0 \\ c^{'} & b^{'} & a^{'} \end{matrix}] = 𝐌_{x} 𝐌_{d}$
dx	$[\begin{matrix} a^{'} & b^{'} & c^{'} \\ 0 & d & 0 \\ a & b & c \end{matrix}] = 𝐌_{d} 𝐌_{x}$
dxd	$[\begin{matrix} c^{'} & b^{'} & a^{'} \\ 0 & d & 0 \\ c & b & a \end{matrix}] = 𝐌_{d} 𝐌_{x} 𝐌_{d}$

La relació entre el número de vèrtiços, arestes i cares de la llavor i el poliedre creat per les operacions enumerades en este artícul es pot expressar com una matriu $𝐌_{x}$ . Quan x és l'operador, $v, e, f$ són els vèrtiços, arestes i cares de la llavor (respectivament), i $v^{'}, e^{'}, f^{'}$ són els vèrtiços, arestes i cares del resultat, llavors

𝐌_{x} [\begin{matrix} v \\ e \\ f \end{matrix}] = [\begin{matrix} v^{'} \\ e^{'} \\ f^{'} \end{matrix}]

.

La matriu de la composició de dos operadors és simplement el producte de les matrius dels dos operadors. Operadors distints poden tindre la mateixa matriu, per eixemple, p i l. El reconte d'arestes del resultat és un múltiple sancer d del de la llavor: açò es denomina taxa d'inflació o factor d'aresta.^[6]

Els operadors més simples, la funció identitat S i l'operador dual d, tenen formes matriciales simples:

𝐌_{S} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = 𝐈_{3}

,

𝐌_{d} = [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}]

Dos operadors duals es cancelen; dd = S, i el quadrat de $𝐌_{d}$ és la matriu identitat. Quan s'aplica a atres operadors, l'operador dual correspon a reflexions horisontals i verticals de la matriu. Els operadors es poden agrupar en grups de quatre (o menys si algunes formes són iguals) identificant els operadors x, xd (un operador d'una dualitat), dx (la dualitat d'un operador) i dxd (la dualitat d'un operador d'una dualitat). En este artícul, solament es dona la matriu per a x, ya que les demés sò simples reflexions.

Números dels operadors

El número de LSPs per a cada taxa d'inflació és $2, 2, 4, 6, 6, 20, 28, 58, 82, \dots$ a partir de la taxa d'inflació 1. No obstant, no tots els LSP necessàriament produïxen un poliedre les arestes del qual i vèrtiços formen un grafo 3 conexo i, com a conseqüència del teorema de Steinitz, no necessàriament produïxen un poliedre convexo a partir d'una llavor convexa. El número de LSP d'elements 3-conexos per a cada taxa d'inflació és $2, 2, 4, 6, 4, 20, 20, 54, 64, \dots$ .^[7]

Operadors originals

Estrictament, Conway no va incloure els operadors llavor ("seed" S), agulla ("niddle" n) i cremallera ("zip" z), encara que estan relacionats en les operacions originals de Conway per dualitat, motiu pel que s'inclouen en este artícul.

A partir d'ací, les operacions es visualisen en llavors de gaveta, i es dibuixen en la superfície d'eixa gaveta. Les cares blaves creuen les vores de la llavor i les cares rosades es troben sobre els vèrtiços de la llavor. Existix certa flexibilitat en l'ubicació exacta dels vèrtiços, especialment en operadors quirales.

Operadors de Conway originals
Factor d'aresta	Matriu $𝐌_{x}$	x	xd	dx	dxd	Notes
1	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	Seed: S	dual: d		Seed: dd = S	L'operador dual reemplaça cada cara per un vèrtiç i cada vèrtiç per una cara. El politopo original es denomina Seed (llavor). El dual del dual és el politopo original.
2	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$	Archiu:Conway jC.png join ("unir"): j		Archiu:Conway aC.png ambo ("rectificar"): a		Unir ("join") crea cares cuadriláteras. L'operació "ambo" crea vèrtiços de grau 4, i també es diu rectificació, o el gràfic medial en la teoria de grafos.^[9]
3	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}]$	Archiu:Conway kC.png kis ("n-plicado"): k	Archiu:Conway kdC.png needle ("agulla"): n	Archiu:Conway dkC.png zip ("cremallera"): z	Archiu:Conway tC.png truncat: t	Kis alça una piràmide en cada cara, i també se li crida akización, kleetopo, acumulació,^[10] acreció o aumente piramidal. El truncat talla el poliedre en els seus vèrtiços pero deixa una porció de les vores originals.^[11] L'operador Zip també es denomina bitruncamiento.
4	$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}]$	Archiu:Conway oC.png orto: o = jj		Archiu:Conway eC.png expansió: i = aa
5	$[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}]$	Archiu:Conway gC.png gyro ("gir"): g	gd = rgr	sd = rsr	Archiu:Conway sC.png snub ("romo"): s	Operadors quirales. Vore achatado. Al contrari de lo que establix Hart,^[2] gd no és lo mateix que g: és el seu parell quiral.^[12]
6	$[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{matrix}]$	Archiu:Conway mC.png meta: m = kj		Archiu:Conway bC.png bevel ("bisell"): b = ta

Vore també

Referències

↑ Plantilla:Mathworld
↑ ^2,0 ^2,1 George W. Hart. «Conway Notation for Polyhedra».
↑ Adrian Rossiter. «conway - Conway Notation transformations».
↑ Anselm Levskaya. «polyHédronisme».
↑ ^5,0 ^5,1 Hart, George. «Conway Notation for Polyhedra». (vore la quarta fila en la taula, "a=ambo".)
↑ ^6,0 ^6,1 “Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter and a general approach to local symmetry-preserving operations” (2017). Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 473 (2206): 20170267. doi:10.1098/rspa.2017.0267. Bibcode: 2017RSPSA.47370267B.
↑ ^7,0 ^7,1 Plantilla:Cite arXiv
↑ Plantilla:Cite arXiv
↑ Plantilla:Mathworld
↑ Plantilla:Mathworld
↑ Plantilla:Mathworld
↑ «Antiprism - Chirality issue in conway».

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Notación de poliedros de Conway» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Plantilla:Mathworld

[Hart-2] 2,0 ^2,1 George W. Hart. «Conway Notation for Polyhedra».

[Antiprism-3] Adrian Rossiter. «conway - Conway Notation transformations».

[Levskaya-4] Anselm Levskaya. «polyHédronisme».

[hart-5] 5,0 ^5,1 Hart, George. «Conway Notation for Polyhedra». (vore la quarta fila en la taula, "a=ambo".)

[Brinkmann-6] 6,0 ^6,1 “Goldberg, Fuller, Caspar, Klug and Coxeter and a general approach to local symmetry-preserving operations” (2017). Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 473 (2206): 20170267. doi:10.1098/rspa.2017.0267. Bibcode: 2017RSPSA.47370267B.

[lsp-7] 7,0 ^7,1 Plantilla:Cite arXiv

[lopsp-8] Plantilla:Cite arXiv

[9] Plantilla:Mathworld

[10] Plantilla:Mathworld

[11] Plantilla:Mathworld

[12] «Antiprism - Chirality issue in conway».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]