Orbifold

En topología, orbifold (Orbidad o orbivariedad) és la generalisació d'una varietat diferenciable, consistent en un espai topològic (cridat espai subjacent) en una estructura de orbifold (vore avall). L'espai subjacent localment apareix com un cocient d'un espai euclídeo baixe l'acció d'un grup finito d'isometrías.

L'eixemple principal de l'espai subjacent és un espai cocient d'una varietat baixe l'acció d'un grup finito de difeomorfismos. En particular, una varietat en vora du una estructura natural de orbifold, ya que és Z₂-factor del seu doblat. Un espai factor d'una varietat a lo llarc d'una S¹-acció diferenciable sense punts fixos du estructura de orbifold (este no és un cas particular de l'eixemple principal).

L'estructura de orbifold dona una estratificació natural per a les varietats obertes en el seu espai subjacent, a on cada estrat correspon a un conjunt de punts singulars del mateix tipo.

Deu ser observat que un espai topològic pot dur moltes estructures de orbifold diverses. Per eixemple, considere O el orbifold associat a un espai factor de la 2-esfera a lo llarc d'una rotació de π, és homeomorfo a la 2-esfera, pero l'estructura natural de orbifold és diferent.

És possible adoptar la majoria de les propietats de varietats als orbifolds i estes propietats són generalment diferents de les propietats corresponents de l'espai subjacent. En l'eixemple antedicho, el seu grup fonamental de orbifold és Z₂ i la seua característica euleriana de orbifold és 1.

Definició formal

La definició formal seguix les mateixes llínees que una definició de varietat, pero en lloc de prendre dominis en Rⁿ com el model local de les cartes, es deu prendre dominis de cocients d'oberts de Rⁿ per un grup finito que actua linealment.

Un orbifold (topològic) O, és un espai topològic X de Hausdorff en base numerable, cridat l'espai subjacent, en una estructura de orbifold, que és definida per l'atles de orbifold (vore avall).

Una carta de orbifold és un subconjunt obert O ⊆ X junt en un conjunt obert V ⊆ Rⁿ i una funció contínua φ : V → O que satisfan la propietat següent: hi ha un grup finito Γ que actua linealmente en V i un homeomorfisme θ : V/Γ → O tal que φ=θoπ, a on π denota la proyecció V → V/Γ.

Una colecció de les cartes {φ_α:V_α → O_α} del orbifold es diu atles del orbifold si satisfà les propietats següents:

1. ${\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }=X$,
2. si φ_α(x)=φ_β(i) llavors hi ha un veïnat de x ∈ V_x ⊆ V_α i de i ∈ V_i ⊆ V_β i un homeomorfisme ψ: V_x → V_i tal que φ_α=φ_βoψ.

L'atles de orbifold definix la estructura de orbifold totalment i mirem dos atles de orbifold de X com donant la mateixa estructura de orbifold si poden ser combinats per a donar un atles més gran de orbifold. Un pot agregar condicions del diferenciabilidad en la funció de pegat ψ en la definició anterior i conseguir una definició de orbifold diferenciable de la mateixa manera que va ser feta per a les varietats.

Història

La V-varietat d'Ichiro Satake (1956) va proporcionar la primera definició formal de lo que ara es diu orbifold. Va ser retitulado d'esta manera i popularisat per William Thurston.

Referències

Enllaces externs

• en Nota al peu p. 300, William Thurston "explica" el nom 'orbifold'