Radiació de frenat

Radiació de frenat

Radiació de frenat produïda per un electró d'alta energia desviat en el camp elèctric d'un núcleu atòmic.

Radiació de frenat o Bremsstrahlung (del alemà bremsen [«frenar»] i Strahlung [«radiació»]) és una radiació electromagnètica produïda per l'acceleració d'una partícula carregada de baixa massa (per eixemple un electró) pel camp elèctric produït per una atra partícula en càrrega (per eixemple un núcleu atòmic).

En térmens generals, bremsstrahlung o radiació de frenat és qualsevol radiació produïda per l'acceleració (positiva o negativa) d'una partícula carregada, que inclou la radiació sincrotrón (és dir, l'emissió de fotons per una partícula relativista), la radiació ciclotrón (és dir, l'emissió de fotons per una partícula no relativista) i l'emissió d'electrons i positrones durant la desintegració beta. No obstant, el terme s'utilisa en freqüència en el sentit més estricte de radiació d'electrons (de qualsevol font) que es frenen en la matèria.

A la radiació de frenat també se li coneix com a radiació lliure-lliure (free-free radiation en anglés) perque la produïx una partícula carregada que està lliure abans i despuix del canvi de trayectòria de la partícula carregada. Degut a que les càrregues són lliures l'espectre generat és continu. Estrictament parlant, s'entén per radiació de frenat a qualsevol radiació deguda a l'acceleració d'una partícula carregada, com podria ser la radiació de sincrotrón; pero se sol usar solament per a la radiació d'electrons que es frenen en la matèria.

Es referix al fet de que, en este cas, la radiació és creada per electrons que estan lliures (és dir, no en un estat lligat atòmic o molecular) abans de l'emissió d'un fotó i permaneixen lliures despuix. En el mateix llenguage, la radiació lligada es referix a llínees espectrals discretes (un electró "bota" entre dos estats lligats), mentres que la radiació lliure es referix al procés de combinació radiativa, en el que un electró lliure es recombina en un ion.

Descripció clàssica

Artícul principal → Fòrmula de Larmor.

Llínees de camp i mòdul d'un camp elèctric generat per una càrrega (negativa) que inicialment es desplaça a velocitat constant i després es deté ràpidament per a ilustrar la bremsstrahlung que es produïx.

Si els efectes quàntics són despreciables, una partícula carregada en acceleració irradia una potència segons és descrita per la fòrmula de Larmor i la seua generalisació relativista.

Potència irradiada total

La potència irradiada total és

$P=\frac{q^2{\gamma }^4}{6\pi {\epsilon }_{0}c}({\dot{\beta }}^2+\frac{{(𝜷\cdot \dot{𝜷})}^2}{1-{\beta }^2}),$

a on $𝜷=\frac{𝐯}{c}$ (la velocitat de la partícula dividida per la velocitat de la llum), $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$ és el factor de Lorentz, $\dot{𝜷}$ significa una derivada temporal de $𝜷$, i q és la càrrega elèctrica de la partícula. En el cas en que la velocitat és paralela a l'acceleració (o siga, moviment llineal), l'expressió es reduïx a

$P_{a\parallel v}=\frac{q^2{a}^2{\gamma }^6}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3},$

a on $a\equiv \dot{v}=\dot{\beta }c$ és l'acceleració. Per al cas en que l'acceleració siga perpendicular a la velocitat ($𝜷\cdot \dot{𝜷}=0$), per eixemple en els sincrotronés, la potència total és

$P_{a\perp v}=\frac{q^2{a}^2{\gamma }^4}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}.$

La potència irradiada en els dos casos llímits és proporcional a ${\gamma }^4$ $(a\perp v)$ o ${\gamma }^6$ $(a\parallel v)$. Ya que $E=\gamma m{c}^2$, s'observa que per a partícules en la mateixa energia $E$ la potència total irradiada és proporcional a $m^{-4}$ o $m^{-6}$, que la raó per la qual els electrons perden energia per mig de radiació de bremsstrahlung molt més ràpidament que les partícules carregades més pesades (o siga, muones, protones, partícules alfa). Esta és la raó per la qual un colisionador d'electró-positrón d'energia TeV (tal com el propost per al colisionador llineal internacional) no pot usar un túnel circular (que requerix una acceleració constant), mentres que un colisionador protón-protó (com el gran colisionador de hadrones) es pot utilisar un túnel circular. Els electrons perden energia per mig de bremsstrahlung a un ritme de $(m_p/m_e{)}^4\approx 10^{13}$ voltes major que lo que ho fan els protones.

Distribució angular

La fòrmula general per a la potència irradiada com a funció de l'àngul és:

$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{q^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_{0}c}\frac{{|\widehat{𝐧}\times ((\widehat{𝐧}-𝜷)\times \dot{𝜷})|}^2}{{(1-\widehat{𝐧}\cdot 𝜷)}^5}$

a on $\widehat{𝐧}$ és el vector unitari que apunta des de la partícula cap a l'observador i $d\Omega$ és un element infinitesimal d'àngul sòlit.

Quan la velocitat és paralela a l'acceleració (per eixemple moviment llineal), l'expressió se simplifica i resulta ser

$\frac{d{P}_{a\parallel v}}{d\Omega }=\frac{q^2{a}^2}{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3}\frac{{\sin }^2\theta }{(1-\beta \cos \theta {)}^5}$

a on $\theta$ és l'àngul entre $𝐚$ i la direcció d'observació.

Descripció simplificada per mig de mecànica quàntica

El tractament mecànic-quàntic complet del bremsstrahlung és molt complicat. El "cas del buit" de l'interacció d'un electró, un ion i un fotó, utilisant el potencial de Coulomb pur, té una solució exacta que provablement va ser publicada per primera volta per A. Sommerfeld en 1931. Esta solució analítica implica matemàtiques complicades, i s'han publicat varis càlculs numèrics, com els de Karzas i Latter. S'han presentat atres fòrmules aproximades, com en el recent treball de Weinberg i Pradler i Semmelrock.

Esta secció oferix un anàlec de la mecànica quàntica de la secció anterior, pero en algunes simplificació per a ilustrar la física important. Donem un tractament no relativiste del cas especial d'un electró de massa $m_e$, càrrega $-e$ i velocitat inicial $v$ que es desaccelera en el Camp de Coulomb d'un gas de ions pesats de càrrega $Ze$ i densitat numèrica $n_i$. La radiació emesa és un fotó de freqüència $\nu =c/\lambda$ i energia $h\nu$. Desigem trobar la emisividad $j(v,\nu )$ que és la potència emesa per (àngul sòlit en l'espai de la velocitat del fotó * freqüència del fotó), sumat sobre abdós polarisació travesseres del fotó. Ho expressem com un resultat clàssic aproximat multiplicat pel factor de Gaunt d'emissió lliure-lliure g_ff que té en conte les correccions quàntiques i d'un atre tipo:

$$j(v,\nu )=\frac{8\pi }{3\sqrt{3}}{\left(\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0}\right)}^3\frac{Z^2{n}_i}{c^3{m}_e^{2}v}{g}_{\mathrm{f}\mathrm{f}}(v,\nu )$$

$j(\nu ,v)=0$ si $h\nu >m{v}^2/2$, o siga, l'electró no posseïx suficient energia cinètica per a emetre un fotó. Existix una fòrmula general de mecànica quàntica ´per a $g_{\mathrm{f}\mathrm{f}}$pero és molt complicada, i per lo general s'obté per mig de càlculs numèrics. Es presenten alguns resultats aproximats en les següents suposicions adicionals:

• Interacció en el buit: despreciem qualsevol efecte del mig de fondo, com els efectes de apantallamiento del plasma. Açò és raonable per a freqüències de fotons molt majors que la freqüència del plasma. ${\nu }_{\mathrm{p}\mathrm{e}}\propto n_{\mathrm{e}}^{1/2}$en $n_e$ la densitat d'electrons del plasma. Note's que les ones de llum són evanescentes per a $\nu <{\nu }_{\mathrm{p}\mathrm{e}}$ i es necessitaria una aproximació significativament diferent.
• Fotons suaus: $h\nu \ll m_e{v}^2/2$, és dir, l'energia del fotó és molt menor que l'energia cinètica inicial de l'electró.

En estos supòsits, dos paràmetros sense unitat caracterisen el procés: ${\eta }_Z\equiv Z{e}^2/\hslash v$, que medix la força de l'interacció Coulomb electró-ió, i ${\eta }_{\nu }\equiv h\nu /2m_e{v}^2$, que medix la "suavitat" del fotó i suponem que és sempre chicoteta (l'elecció del factor 2 és per conveniència posterior). En el llímit ${\eta }_Z\ll 1$, l'aproximació quàntic-mecànica de Born dona:

$$g_{\mathrm{f}\mathrm{f},\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{n}}=\frac{\sqrt{3}}{\pi }\ln \frac{1}{{\eta }_{\nu }}$$

En el llímit opost ${\eta }_Z\gg 1$, el resultat quàntic-mecànic complet es reduïx al resultat purament clàssic

$$g_{\mathrm{f}\mathrm{f},\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}=\frac{\sqrt{3}}{\pi }[\ln \left(\frac{1}{{\eta }_Z{\eta }_{\nu }}\right)-\gamma ]$$

a on $\gamma \approx 0.577$ és la constant de Euler-Mascheroni. Note's que $1/{\eta }_Z{\eta }_{\nu }=m_e{v}^3/\pi Z{e}^2\nu$ que és una expressió purament clàssica sense la constant de Planck $h$.

Una forma semiclásica i heurística d'entendre el factor de Gaunt és escriure-ho com $g_{\mathrm{f}\mathrm{f}}\approx \ln (b_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}/b_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}})$ i $b_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ són els "paràmetros d'impacte" màxim i mínim per a la colisió electró-ió, en presència del camp elèctric del fotó. En els nostres supòsits, $b_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=v/\nu$: per a paràmetros d'impacte majors, l'oscilació sinusoidal del camp de fotons proporciona una "mescla de fases" que reduïx fortament l'interacció. $b_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}$ és la major de la llongitut d'ona deBroglie quàntic-mecànica $\approx h/m_{e}v$ i la distància clàssica de màxima aproximació $\approx e^2/4\pi {ϵ}_0{m}_e{v}^2$ a on l'energia potencial de Coulomb electró-ió és comparable a l'energia cinètica inicial de l'electró.

Les aproximacions anteriors s'apliquen generalment sempre que l'argument del logaritmo siga gran, i es trenquen quan és menor que l'unitat. En concret, estes formes per al factor de Gaunt es tornen negatives, lo que no és físic. Una aproximació als càlculs complets, en els llímits de Born i clàssics apropiats, és $$g_{\mathrm{f}\mathrm{f}}\approx \max [1,\frac{\sqrt{3}}{\pi }\ln \left[\frac{1}{{\eta }_{\nu }\max (1,e^{\gamma }{\eta }_Z)}\right]]$$

Vore també

• Radiació de sincrotón

Bibliografia

• Landau & Lifshitz, Teoria clàssica dels camps, Ed. Reverté, ISBN 84-291-4082-4.
• Segura González, Wenceslao, Teoria de camp relativiste, eWT Edicions, 2014, ISBN 978-84-617-1463-6.