Ret d'espin

En física, una ret d'espin és un tipo de diagrama que pot usar-se per a representar estats i interaccions entre partícules i camps. Va ser ideada per Roger Penrose en 1971.^[1] Les rets d'espin varen ser aplicades en física al problema de la gravetat quàntica per Llig Smolin, Fotini Markopoulou-Kalamara, Carlo Rovelli, Jorge Pullin, Rodolfo Gambini i uns atres per a reformular gravetat quàntica de llaços i teoria de gauge.

Des d'una perspectiva matemàtica, una ret d'espin és un grafo que les seues arestes s'associen a representacions irreducibles d'un grup de Lie compacte, G i que els seus vèrtiços s'associen a aplicacions equivariantes de les representacions d'arestes adjacents.

Definició

Definició de Penrose

Una ret d'espin, com es descriu en Penrose (1971),^[2] és un tipo de diagrama en el que cada segment de llínea representa la llínea d'univers d'una "unitat" (ya siga una partícula elemental o un sistema compost de partícules). En cada vèrtiç s'unixen tres segments de llínea. Un vèrtiç pot interpretar-se com un acontenyiment en el que, o be una unitat es dividix en dos, o be dos unitats choquen i s'unixen en una única unitat. Els diagrames els segments dels quals de llínea s'unixen tots en els vèrtiços es denominen rets de gir tancades. El temps pot vore's com alguna cosa que va en una direcció, per eixemple, des de la part inferior a la superior del diagrama, pero per a les rets d'espin tancades la direcció del temps és irrellevant per als càlculs.

Cada segment de llínea està etiquetat en un número entero cridat "número d'espin". Una unitat en número d'espin n es diu unitat n i té moment angular nħ/2, a on ħ és la constant de Planck reduïda. Per als bosoness, com els fotonss i els gluoness, n és un número par. Per als fermioness, com els electronss i els quarkss, n és impar.

Donada qualsevol ret d'espin tancada, es pot calcular un número entero no negatiu que es diu norma de la ret d'espin. Les normes es poden utilisar per a calcular les provabilitatés de varis valors d'espin. Una ret la norma de la qual és zero té una provabilitat d'ocurrència nula. Les regles per a calcular les normes i les provabilitats estan fòra de l'alcanç d'este artícul. No obstant, impliquen que per a que una ret d'espin tinga norma no nula, deuen complir-se dos requisits en cada vèrtiç. Supongam que un vèrtiç unix tres unitats en números d'espin a, b i c. Llavors, estos requisits s'establixen com:

Desigualtat del triàngul: a deu ser menor o igual que b + c, b menor o igual que a + c, i c menor o igual que a + b.
Conservació del fermión: a + b + c deu ser un número par.

Per eixemple, a = 3, b = 4, c = 6 és impossible ya que 3 + 4 + 6 = 13 és impar, i a = 3, b = 4, c = 9 és impossible ya que 9 > 3 + 4. No obstant, a = 3, b = 4, c = 5 és possible ya que 3 + 4 + 5 = 12 és parell, i la desigualtat del triàngul es complix. Algunes convencions utilisen etiquetages per mijos sancers, en la condició de que la suma a + b + c deu ser un número entero.

Enfocament formal de la definició

Formalment, un grafo d'espin pot definir-se com un grafo dirigit que la seua vora està associada a irreducible representacions d'un Grup de Lie compacte i que els seus vèrtiços estan associats a entretelas de les representacions de vora adjacents a ella.

Propietats

Un grafo d'espin, immers en una varietat, pot utilisar-se per a definir un funcional en l'espai de conexions en esta varietat. Es calcula la holonomía de la conexió a lo llarc de cada enllaç (camí tancat) del grafo, es determinen les matrius de representació corresponents a cada enllaç, es multipliquen totes les matrius i els entrecreuats, i es contrauen els índexs d'una manera prescrita. Una característica notable del funcional resultant és que és invariante baix transformació de gauge local.

Us en física

Gravetat quàntica de bucles

En gravetat quàntica de bucles (LQG), una ret d'espin representa un "estat quàntic" del camp gravitatorio en una hipersuperficie de 3 dimensions. El conjunt de totes les rets d'espin possibles (o, més exactament, "s-nucs", és dir, classes d'equivalència de rets d'espin baix difeomorfismos) és numerable; constituïx una base de LQG espai de Hilbert. Un dels resultats clau de la gravetat quàntica de bucle és cuantización d'àrees: l'operador de l'àrea A d'una superfície bidimensional Σ deu tindre un espectre. Cada ret d'espin és un estat propi de cada u d'estos operadors, i el valor propi de l'àrea és igual a:

A_{Σ} = 8 π ℓ_{PL}^{2} γ \sum_{i} \sqrt{j_{i} (j_{i} + 1)}

a on la suma es fa sobre totes les interseccions "i” de Σ en la ret d'espin. En esta fòrmula, $ℓ_{P L}$ és la llongitut de Planck, $γ$ és el paràmetro de Immirzi i*j_i = 0, 1/2, 1, 3/2, ... és el spin associat en l'enllaç i de la ret spin. Per lo tant, l'àrea bidimensional es "concentra" en les interseccions en la ret d'espin. D'acort en esta fòrmula, el valor propi no nul més baix possible de l'operador d'àrea correspon a un enllaç que du representació d'espin 1/2. Suponent un paràmetro de Immirzi de l'orde d'1, açò dona l'àrea mesurable més chicoteta possible de 10⁻⁶⁶ cm². La fòrmula per als valors propis d'àrea es torna alguna cosa més complicada si es permet que la superfície passe a través dels vèrtiços, com en els models de difusió anómals. Ademés, els valors propis de l'operador d'àrea A estan llimitats per simetria d'escala. Una cuantización similar s'aplica a l'operador de volum. El volum d'una subvariedad 3D que conté part d'una ret spin ve dau per una suma de contribucions de cada nodo dins d'ella. Un pot pensar que cada nodo en una ret d'espin és un "quant de volum" elemental i cada enllaç és un "quant d'àrea" que rodeja este volum.

Teories de gauge més generals

Es poden fer construccions similars per a les teories de gauge general en un grup de Lie compacte G i una forma de conexió. Açò és en realitat una dualitat sobre una celosía. No obstant, sobre una varietat, es necessiten suposicions com la invariancia baix difeomorfismos per a que la dualitat siga exacta (tacar els bucles de Wilson és complicat). Més vesprada, va ser generalisada per Robert Oeckl a representacions de grup quàntic en 2 i 3 dimensions utilisant la dualitat Tannaka-Krein.

Michael A. Levin i Xiao-Gang Wen també han definit rets de cordes utilisant categories tensoriales que són objectes molt similars a les rets d'espin. No obstant, la conexió exacta en les rets d'espin encara no està clara. La condensació de rets de cordes produïx estats ordenats topológicamente en la matèria condensada.

Referències

↑ R. Penrose, Angular momentum; an approach to combinatorial space clave, in Quàntum Theory and Beyond, ed. T. Bastin, Cambridge University Press, Cambridge, 1971.
↑ R. Penrose (1971a), "Angular momentum: an approach to combinatorial spacetime", en T. Bastin (ed.), Quàntum Theory and Beyond, Cambridge University Press (este artícul pot trobar-se en llínea en el [sitie web de John C. Baez]); i R. Penrose (1971b), "Applications of negative dimensional tensors", en D. J. A. Welsh (ed.), Combinatorial Mathematics and its Applications (Proc. Conf., Oxford, 1969), Academic Press, pp. 221-244, esp. p. 241 (este últim treball va ser presentat en 1969 pero publicat en 1971 segons Roger Penrose, "On the Origins of Twistor Theory" [1] archivat en Wayback Machine. en: Gravitació i geometria, un volum en honor d'I. Robinson, Biblipolis, Nàpols 1987).

Bibliografia

A Spin Network Primer, Seth A. Major, American Journal of Physics, Volume 67, 1999, gr-qc/9905020

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Red de espín» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] R. Penrose, Angular momentum; an approach to combinatorial space clave, in Quàntum Theory and Beyond, ed. T. Bastin, Cambridge University Press, Cambridge, 1971.

[Penrose71-2] R. Penrose (1971a), "Angular momentum: an approach to combinatorial spacetime", en T. Bastin (ed.), Quàntum Theory and Beyond, Cambridge University Press (este artícul pot trobar-se en llínea en el [sitie web de John C. Baez]); i R. Penrose (1971b), "Applications of negative dimensional tensors", en D. J. A. Welsh (ed.), Combinatorial Mathematics and its Applications (Proc. Conf., Oxford, 1969), Academic Press, pp. 221-244, esp. p. 241 (este últim treball va ser presentat en 1969 pero publicat en 1971 segons Roger Penrose, "On the Origins of Twistor Theory" [1] archivat en Wayback Machine. en: Gravitació i geometria, un volum en honor d'I. Robinson, Biblipolis, Nàpols 1987).

[1]

[2]