Teoria de destorbament quiral

La teoria de destorbament quiral (ChPT) és una teoria efectiva construïda a partir d'un lagrangiano consistent en la simetria quiral, una simetria aproximada de la cromodinámica quàntica (QCD), aixina com en atres simetria com la paritat o la conjugació de càrrega. ChPT és una teoria útil per a estudiar la dinàmica de QCD a baixa energia.

Objectius

En el règim de baixa energia de QCD, com a conseqüència del confinament, els graus de llibertat no són lo quarks i gluones, sino els hadrones. Si es poguera "resoldre" la funció de partició de QCD, substituint els graus de llibertat del lagrangiano per hadrones, es podria extraure informació sobre la física de QCD a baixes energies. No obstant, açò no és possible actualment.

Com QCD pansa a ser no-perturbativa a baixes energies, no és possible amprar els métodos perturbativos en este règim per a aproximar la funció de partició. Un método alternatiu és l'aproximació de QCD en el retícul, que és capaç de realisar càlculs no-perturbativos.

Método

Segons Steven Weinberg, una teoria efectiva és útil si s'escriuen tots els térmens consistents en les simetria de la teoria original. En general, hi ha un número infinit de térmens compatibles. Per lo tant, per a realisar prediccions físiques, cal assignar a la teoria un esquema de contaje de potències, que organisa els térmens per la seua contribució relativa als observables físics. Este orde permet retindre els térmens rellevants i despreciar els de major orde.

L'elecció d'un volum finito per a plantejar la teoria requerix d'una reorganisació dels térmens de l'expansió, lo que es conseguix per mig dels diferents esquemes de contaje. L'esquema més popular és l'expansió $p$, encara que també existixen les expansions $ϵ$, $\delta ,$ i ${ϵ}^{\prime }$. L'expansió $p$ és l'única vàlida en un volum infinit.

La majoria dels térmens en el lagrangiano efectiu apareixen multiplicats per constants d'acoplament, conegudes com a constants de baixa energia o LEC per les seues sigles en anglés, que representen l'intensitat relativa de les interaccions representades per cada terme. Normalment els valors d'estes constants són desconeguts, i deuen ser ajustats per mig d'ajusts a senyes experimentals o a la teoria subjacent.

El lagrangiano del model

El lagrangiano de l'expansió $p$ es construïx escrivint totes les interaccions que no estan excloses per la simetria, ordenant-les pel número de potències del moment o la massa.

Es tria l'orde de modo que $(\partial \pi {)}^2+m_{\pi }^2{\pi }^2$ és l'aproximació de primer orde, a on $\pi$ és el camp del pión i $m_{\pi }$ la seua massa. Térmens com $m_{\pi }^4{\pi }^2+(\partial \pi {)}^6$ són correccions d'orde més alt.

Els graus de llibertat que apareixen en el lagrangiano efectiu són els modos de Goldstone de la simetria quiral, açò és, els piones en la teoria SU(2), i piones, kaones i posades eta en la teoria SU(3). Per lo tant, els modos de Goldstone es poden agrupar en una matriu unitària doneu pel grup de simetria quiral. En el cas de la teoria SU(2), la parametrización més habitual és:

$U=\exp (\frac{i}{F}\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{\pi })=\exp \left\{\frac{i}{F}\left(\begin{array}{cc}{\pi }^0& \sqrt{2}{\pi }^{+}\\ \sqrt{2}{\pi }^{-}& -{\pi }^0\end{array}\right)\right\}$

a on $F$ = 93 MeV és la constant de desintegració del pión, $\overrightarrow{\sigma }=({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$ són les matrius de Pauli, i $\overrightarrow{\pi }=({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ en ${\pi }^{\pm }=\frac{{\pi }_1\mp i{\pi }_2}{\sqrt{2}}$ i ${\pi }_3={\pi }^0$.

Per a la teoria quiral SU(3), una possible parametrización és:

$U=\exp (\frac{i}{F}\overrightarrow{\lambda }\cdot \overrightarrow{\varphi })=\exp \left\{\frac{i}{F}\left(\begin{array}{ccc}{\pi }^0+\frac{1}{\sqrt{3}}{\eta }_8& \sqrt{2}{\pi }^{+}& \sqrt{2}{K}^{+}\\ \sqrt{2}{\pi }^{-}& -{\pi }^0+\frac{1}{\sqrt{3}}{\eta }_8& \sqrt{2}{K}^0\\ \sqrt{2}{K}^{-}& \sqrt{2}{\overline{K}}^0& -\frac{2}{\sqrt{3}}{\eta }_8\end{array}\right)\right\},$

a on $\overrightarrow{\lambda }$ són les matrius de Gell-Mann i $\overrightarrow{\varphi }$ el vector dels bosones de Goldstone.

Cal notar que les expressions per a $U$ són altament no-llineals en els camps, i en ser desenrollades en séries de potències de $F$, contribuïxen a tots els térmens posteriors en l'expansió $p$. Ademés existixen vàries parametrización per a $F$ (depenent si en la seua definició s'absorbix o no un factor $\sqrt{2}$, per lo que el valor de la constant es deu ajustar en la taxa de desintegració dels piones carregats.

Renormalización

La teoria efectiva per lo general no és renormalisable. No obstant, una volta fixat l'esquema de contaje de potències, la ChPT és renormalisable orde a orde de l'expansió quiral. Per eixemple, si es vol calcular un observable a l'orde $𝒪(p^4)$, cal calcular tant els térmens de contacte del lagrangiano $𝒪(p^4)$ a orde arbre com les contribucions a un bucle del lagrangiano $𝒪(p^2)$.

Es pot demostrar fàcilment que les contribucions a un bucle del lagrangiano $𝒪(p^2)$ conten com $𝒪(p^4)$, solament cal notar que la mida d'integració contribuïx com $p^4$, el propagador com $p^{-2}$, i les derivades com $p^2$. Per lo tant, com el càlcul és vàlit fins a orde $𝒪(p^4)$, s'eliminen les divergències en el càlcul per mig de la renormalización de les constants de baixa energia del lagrangiano $𝒪(p^4)$. De la mateixa manera, per a eliminar les divergències del càlcul d'un observable a orde $𝒪(p^n)$, s'ampren les constants d'acoplament del lagrangiano $𝒪(p^n)$ per a eliminar dites divergències.