Test de la derivada

Archiu:1derteszt.png

Gràfica d'una funció f i la seua primera derivada f'. En l'image s'aprecia la relació entre el signe positiu (resp. negatiu) de f' en el creiximent (resp. afluixó) de la funció f

En càlcul, el criteri de derivades (o prova de derivades) utilisa les derivades d'una funció per a ubicar les seues punts crítics i determinar si són un màxim local, un mínim local o un punt de cadira o ensilladura. Els criteris de derivades també poden donar informació sobre la concavidad d'una funció.

L'utilitat de les derivades per a trobar extrems es demostra matemàticament per mig de la teorema dels punts estacionarios de Fermat .

Prova de la primera derivada

La prova de la primera derivada examina les propietats de monotonia d'una funció (a on la funció és creixent o decreixent ), centrant-se en un punt particular en el seu domini . Si la funció "canvia" de creixent a decreixent en el punt, llavors la funció alcançarà un valor més alt en eixe punt. De manera similar, si la funció "canvia" de decreixent a creixent en el punt, alcançarà un valor mínim en eixe punt. Si la funció no conseguix "canviar" i seguix aumentant o disminuint, llavors no s'alcança el valor més alt o més baix.

Un pot examinar la monotonia d'una funció sense usar tècniques d'anàlisis o càlcul infinitesimal. No obstant, el càlcul infinitesimal sol ser útil perque existixen condicions suficients que garantisen les propietats de monotonia anteriors, i estes condicions s'apliquen a la gran majoria de les funcions que es troben en la realitat.

Enunciat precís de les propietats de monotonia

(Siga f una funció real definida en algun interval obert que conté un punt x, i siga f ademés contínua en x.

Si existix un número positiu r > 0 tal que f és creixent en (x − r, x ] i decreixent en [x, x + r), llavors f té un màxim local en x .
Si existix un número positiu r > 0 tal que f és estrictament creixent en (x − r, x] i estrictament creixent en [x, x + r), llavors f és estrictament creixent en (x − r, x + r) i no té un màxim local o mínim en x .

Tinga en conte que en el primer cas, no es requerix que f siga estrictament creixent o estrictament decreixent a l'esquerra o dreta de x, mentres que en el segon cas, es requerix que f siga estrictament creixent o estrictament decreixent. La raó és que en la definició de màxim i mínim local, no es requerix que la desigualtat siga estricta: per eixemple, cada valor d'una funció constant es considera tant un màxim local com un mínim local.

Enunciat precís del criteri de la primera derivada

La prova (o criteri) de la primera derivada depén de la "prova creixent-decreixent", que en última instància és una conseqüència del teorema del valor mig . És una conseqüència directa de la forma en que es definix la derivada i la seua conexió en l'afluixó i creiximent d'una funció localment, combinat en l'apartat anterior.

Siga f és una funció de valor real d'una variable real definida en algun interval que conté el punt crític a . Siga, ademés, f contínua en a i diferenciable en algun interval obert que conté a, llevat possiblement en a mateix.

Si existix un número positiu r > 0 tal que para tot x en (a − r, a) tenim $f^{'} (x) \geq 0$ i per a tot x en (a, a + r) tenim $f^{'} (x) \leq 0$ llavors f té un màxim local en a.

Si existix un número positiu r > 0 tal que per a cada x en (a − r, a) ∪ (a, a + r) tenim $f^{'} (x) > 0$ llavors f és estrictament creixent en a i no té un màxim local ni un mínim local en a.
Si no es complix cap de les condicions anteriors, la prova falla. (Tal condició no és buida ; hi ha funcions que no satisfan cap de les primeres tres condicions, per eixemple, f (x) = x² sen(1/x)).

Novament, correspondientemente als comentaris en la secció sobre les propietats de monotonia, note's que en els dos primers casos no es requerix que la desigualtat siga estricta, mentres que en els dos següents sí es requerix una desigualtat estricta.

Aplicacions

La prova de la primera derivada és útil per a resoldre problemes d'optimisació en física, economia i ingenieria. Junt en el teorema del valor extrem, es pot utilisar per a trobar el màxim i el mínim absoluts d'una funció de valor real definida en un interval tancat i acotat. Junt en una atra informació com la concavidad, els punts d'inflexió i les asíntotes, es pot usar per a dibuixar la gràfica d'una funció.

Criteri de la segona derivada (una variable)

Despuix d'establir els punts crítics d'una funció, la prova de la segona derivada usa el valor de la segona derivada en eixos punts per a determinar si dits punts són un màxim local o un mínim local.^[1] Si la funció f és diferenciable dos voltes en un punt crític x (és dir, un punt a on f '(x) = 0), llavors:

Si $f^{″} (x) < 0$ , llavors $f$ té un màxim local en $x$ .
Si $f^{″} (x) > 0$ , llavors $f$ té un mínim local en $x$ .
Si $f^{″} (x) = 0$ , la prova no és concloent.

En l'últim cas, la teorema de Taylor es pot usar a voltes per a determinar el comportament de f prop de x usant derivades superiors.

Demostració del criteri de la segona derivada

Supongam que tenim $f^{″} (x) > 0$ (la demostració per al cas $f^{″} (x) < 0$ és anàloga, canviant f per -f). Per hipòtesis, $f^{'} (x) = 0$ . Llavors

0 < f^{″} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{'} (x + h) - f^{'} (x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f^{'} (x + h)}{h} .

Aixina, per a h suficientment chicoteta obtenim

\frac{f^{'} (x + h)}{h} > 0,

la qual cosa implica que $f^{'} (x + h) < 0$ si $h < 0$ (intuitivamente, f és decreixent a mida que s'aproxima a $x$ des de l'esquerra), i que $f^{'} (x + h) > 0$ si $h > 0$ (Intuitivamente, f creix a mida que alvancem a la dreta des de x). Ara, pel criteri de la primera derivada, $f$ té un mínim local en $x$ .

Criteri de concavidad

Un us relacionat pero distint de les segones derivades és determinar si una funció és cóncava cap a dalt o cap a avall en un punt. No obstant, no proporciona informació sobre els punts d'inflexió. Específicament, una funció dos voltes diferenciable f és cóncava cap a dalt o convexa si $f^{″} (x) > 0$ i cóncava cap a avall o simplement cóncava si $f^{″} (x) < 0$ . Note's que si $f (x) = x^{4}$ , llavors $x = 0$ té segona derivada nula, pero no és un punt d'inflexió, per lo que la segona derivada per sí sola no dona suficient informació per a determinar si un punt donat és un punt d'inflexió.

Criteri de les derivades per a derivades superiors

La prova de les derivades d'orde superior o la prova de la derivada general pot determinar si els punts crítics d'una funció són màxims, mínims o punts d'inflexió per a una varietat més àmplia de funcions que la prova de la derivada de segon orde. Com es mostra a continuació, la prova de la segona derivada és matemàticament idèntica al cas especial de n = 1 a la prova de les derivades d'orde superior.

Siga f una funció de valor real suficientment diferenciable en un interval $I \subset ℝ$ , siga $c \in I$ , i siga $n \geq 1$ siga un número natural . Supongam que totes les derivades de f en c són zero fins a l'orde n (és dir, fins a la n-ésima derivada inclusivament), pero sent la derivada d'orde (n + 1) en c distinta de zero:

f^{'} (c) = \dots = f^{(n)} (c) = 0 y f^{(n + 1)} (c) \neq 0.

Hi ha quatre possibilitats, els dos primers casos a on c és un extrem, els dos segons a on c és un punt de cadira (local):

Si n és impar i $f^{(n + 1)} (c) < 0$ , llavors c és un màxim local.
Si n és impar i $f^{(n + 1)} (c) > 0$ , llavors c és un mínim local.
Si n és parell i $f^{(n + 1)} (c) < 0$ , llavors c és un punt d'inflexió estrictament decreixent.
Si n és parell i $f^{(n + 1)} (c) > 0$ , llavors c és un punt d'inflexió estrictament creixent.

Ya que n deu ser parell o impar, esta prova analítica classifica qualsevol punt estacionario de f, sempre que finalment aparega una derivada distinta de zero.

Eixemple

Digam que volem realisar la prova de la derivada general en la funció $f (x) = x^{6} + 5$ en el punt $x = 0$ . Per a fer açò, calculem les derivades de la funció i després les evaluem en el punt d'interés fins que el resultat siga distint de zero.

f^{'} (x) = 6 x^{5}

,

f^{'} (0) = 0;

f^{″} (x) = 30 x^{4}

,

f^{″} (0) = 0;

f^{(3)} (x) = 120 x^{3}

,

f^{(3)} (0) = 0;

f^{(4)} (x) = 360 x^{2}

,

f^{(4)} (0) = 0;

f^{(5)} (x) = 720 x

,

f^{(5)} (0) = 0;

f^{(6)} (x) = 720

,

f^{(6)} (0) = 720.

Com es mostra dalt, en el punt $x = 0$ , la funció $x^{6} + 5$ té totes les seues derivades en 0 iguals a 0, llevat la 6ª derivada, que és positiva. Aixina n = 5, i per la prova, hi ha un mínim local en 0.

Referències

↑ Chiang, Alpha C. (1984). McGraw-Hill (ed.). Fonamental Methods of Mathematical Economics, p. 231–267. ISBN 0-07-010813-7.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Test de la derivada» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Chiang, Alpha C. (1984). McGraw-Hill (ed.). Fonamental Methods of Mathematical Economics, p. 231–267. ISBN 0-07-010813-7.

[1]