Triangulació (geometria)

Triangulació d'una superfície convexa

Triangulació d'una superfície implícitade genus 3

En geometria, una triangulació és una subdivisió d'un objecte planar en triànguls, i per extensió la subdivisió de qualsevol objecte geomètric de major dimensió en símplices. Aixina, una triangulació d'un volum tridimensional implicaria una subdivisió en tetraedres.

En la majoria dels casos, es requerix que els triànguls d'una triangulació siguen veïns entre sí vora-a-vora i vèrtiç-a-vèrtiç.

Tipos

Poden definir-se varis tipos diferents de triangulacions, depenent tant de l'objecte geomètric que serà subdividido cóm del modo en que realisa dita subdivisió.

• Una triangulació $T$ d'un espai ${ℝ}^d$ és una subdivisió de  ${ℝ}^d$ en símplices $d$-dimensionals, tal que qualsevol parell de símplices en $T$ té com a molt una cara comuna (un símplex de qualsevol dimensió més baixa), i qualsevol conjunt acotat ${ℝ}^d$ creua només finitamente molts símplices en $T$. És dir, és un complex simplicial localment finito que cobrix l'espai sancer.
• Una triangulació d'un conjunt del punts o triangulació d'un conjunt discret de $𝒫\subset {ℝ}^d$, és una subdivisió de l'envolvente convexa dels punts en símplices tal que qualsevol parell de símplices tenen com a molt una cara comuna de qualsevol dimensió, i tal que el conjunt de vèrtiços dels símplices està contingut en $𝒫$. Freqüentment les triangulacions de punts d'us més freqüents i estudiades inclouen la triangulació de Delaunay (per a punts en posició general, el conjunt de simplices que estan circumscrits per una bola oberta que no conté punts d'entrada) i la triangulació de pes mínim (triangulació del conjunt de punts minimisant la suma de les llongituts de les vores).
• En cartografia, una ret irregular de triànguls és una triangulació de punts d'un conjunt de punts bidimensionales junt en elevació per a cada punt. Alçar cada punt del pla a la seua altura elevada alça els triànguls de la triangulació en superfícies tridimensionals, que formen l'aproximació d'una forma de relleu tridimensional.
• Una triangulació d'un polígon és una subdivisió de l'interior d'un polígon en una série de triànguls veïns vora-a-vora, junt a la propietat de que el conjunt de vèrtiços de dita triangulació coincidix en el conjunt de vèrtiços del polígon. La triangulació d'un polígon pot ser calculada en temps llineal i servix com a base de varis algoritmes geomètrics importants, incloent una solució senzilla al problema de la galeria d'art. Es diu triangulació restringida de Delaunay a la triangulació de Delaunay del conjunt de punts del polígon que respecta les conexions originals entre parells dels vèrtiços del polígon.
• Una triangulació d'una superfície consta d'una ret de triànguls en punts en una superfície donada que cobrix la superfície en part o totalment.
• En el método dels elements finitos, les triangulacions són a sovint utilisades com la malla que subyacer a un càlcul. En este cas, els triànguls tenen que formar una subdivisió de l'àmbit per a ser simulat, pero en lloc de restringir els vèrtiços a punts d'entrada, es permet afegir una série de punts de Steiner com a vèrtiços. Per a ser adequada com a malla d'elements finitos, una triangulació deu tindre triànguls ben formats, segons criteris que depenen dels detalls de la simulació d'elements finitos; per eixemple, alguns métodos requerixen que tots els triànguls siguen rectànguls o acutángulos, evitant malles de triànguls obtusànguls. Existixen vàries tècniques per a construir dites malles, incloent algoritmes de refinament de Delaunay, com el segon algoritme de Chew o l'algoritme de Ruppert.

• En espais topològics generalisats, una triangulació d'un espai generalment consistix en un complex simplicial que és homeomórfico a l'espai.

Generalisació

El concepte de triangulació també pot generalisar-se alguna cosa a subdivisions en formes relacionades en triànguls. En particular, una pseudotriangulación d'un conjunt de punts és una partició del caixco convexo dels punts en pseudotriángulos, polígons que com a triànguls tenen exactament tres vèrtiços convexos. Com en les triangulacions d'un conjunt de punts, es requerix que les pseudotriangulaciones tinguen els seus vèrtiços en els punts d'entrada determinats.