Variables de Ashtekar

En la formulació ADM de la relativitat general, l'espai-temps es dividix en seccions espacials i un eix temporal. Les variables bàsiques es prenen com la mètrica induïda $q_{a b} (x)$ en la secció espacial i el moment conjugat de la mètrica $K^{a b} (x)$ , que està relacionat en la curvatura extrínseca de les seccions espacials, i és una mida de cóm evoluciona en el temps la mètrica induïda.^[1] Estes són les coordenades canòniques mètriques.

En 1986, Abhay Ashtekar va introduir un nou conjunt de variables canòniques, les variables de Ashtekar, per a representar una forma inusual de reescriure les variables canòniques mètriques en les seccions espacials tridimensionals en térmens d'un camp gauge SU(2) i la seua variable complementària.^[2]

Visió general

Les variables de Ashtekar proporcionen lo que es diu la representació de conexió de la relativitat general canònica, que va conduir a la representació de llaços de la relativitat general quàntica^[3] i, a la seua volta, a la gravetat quàntica de llaços i la teoria de holonomías quàntiques .^[4]

Introduïm un conjunt de tres camps vectorials $E_{i}^{a}$ , $i = 1, 2, 3$ que són ortogonals, és dir,

δ_{i j} = q_{a b} E_{i}^{a} E_{j}^{b}

.

Els $E_{i}^{a}$ es denominen tríade o drei-bein (lliteralment "tres cames" en alemà). Ara hi ha dos tipos diferents d'índexs, índexs "espacials" $a, b, c$ que es comporten com a índexs regulars en un espai curve, i índexs "interns" $i, j, k$ que es comporten com a índexs d'espai pla (la "mètrica" corresponent que puja i baixa els índexs interns és simplement $δ_{i j}$ ). Definim la tríade dual $E_{a}^{i}$ com

E_{a}^{i} = q_{a b} E_{i}^{b}

.

Llavors tenim les dos relacions de ortogonalidad

δ^{i j} = q^{a b} E_{a}^{i} E_{b}^{j}

a on $q^{a b}$ és la matriu inversa de la mètrica $q_{a b}$ (açò ve de substituir la fòrmula de la tríade dual en térmens de la tríade en $q^{a b} E_{a}^{i} E_{b}^{j}$ i utilisant la ortogonalidad de les tríades) i

E_{i}^{a} E_{b}^{i} = δ_{b}^{a}

(açò ve de contraure $δ_{i j} = q_{a b} E_{j}^{b} E_{i}^{a}$ en $E_{c}^{i}$ i utilisant l'independència llineal dels $E_{a}^{j}$ ). Llavors és fàcil verificar a partir de la primera relació de ortogonalidad (amprant $E_{i}^{a} E_{b}^{i} = δ_{b}^{a}$ ) que

q^{a b} = \sum_{i, j = 1}^{3} δ_{i j} E_{i}^{a} E_{j}^{b} = \sum_{i = 1}^{3} E_{i}^{a} E_{i}^{b},

hem obtingut una fòrmula per a la mètrica inversa en térmens de drei-beins: els drei-beins poden considerar-se com la "raïl quadrada" de la mètrica (el significat físic d'açò és que la mètrica $q^{a b}$ , quan s'escriu en térmens d'una base $E_{i}^{a}$ , és localment pla). En realitat lo que realment es considera és

(d e t (q)) q^{a b} = \sum_{i = 1}^{3} {\tilde{E}}_{i}^{a} {\tilde{E}}_{i}^{b},

,

que involucra la tríade densificado ${\tilde{E}}_{i}^{a}$ (densitizada com ${\tilde{E}}_{i}^{a} = \sqrt{\det (q)} E_{i}^{a}$ ). És possible recuperar de ${\tilde{E}}_{i}^{a}$ la mètrica llevat un factor donat pel seu determinant. Està clar que ${\tilde{E}}_{i}^{a}$ i $E_{i}^{a}$ contenen la mateixa informació, pero reorganisada. Ara be, l'elecció de ${\tilde{E}}_{i}^{a}$ no és única, i de fet es pot realisar una rotació local sobre els índexs interns $i$ sense canviar la mètrica (inversa). Est és l'orige de la invariancia gauge $S U (2)$ . Ara, si un va a operar en objectes que tenen índexs interns, deu introduir una derivada apropiada (açò és, una derivada covariant gauge). Per eixemple, la derivada covariant per a l'objecte $V_{i}^{b}$ estarà donada per

D_{a} V_{i}^{b} = \partial_{a} V_{i}^{b} - Γ_{a i}^{j} V_{j}^{b} + Γ_{a c}^{b} V_{i}^{c}

a on $Γ_{a c}^{b}$ és la conexió de Levi-Civita i $Γ_{a i}^{j}$ és la cridada conexió d'espin . Considerem la variable de configuració com

A_{a}^{i} = Γ_{a}^{i} + β K_{a}^{i}

a on $Γ_{a}^{i} = Γ_{a j k} ϵ^{j k i}$ i $K_{a}^{i} = K_{a b} {\tilde{E}}^{b i} / \sqrt{\det (q)}$ . Es pot comprovar que la tríade densitizada és el moment conjugat del camp gauge $S U (2)$ tridimensional $A_{b}^{j}$ , en el sentit de que satisfà la relació de paréntesis de Poisson

{{\tilde{E}}_{i}^{a} (x), A_{b}^{j} (y)} = 8 π G_{N e w t o n} β δ_{b}^{a} δ_{i}^{j} δ^{3} (x - y)

.

La constant $β$ és el paràmetro de Barber-Immirzi, un factor que renormaliza la constant de Newton $G_{N e w t o n}$ . La tríade densitizada es pot usar per a reconstruir la mètrica com es va explicar anteriorment i la conexió es pot usar per a reconstruir la curvatura extrínseca. Les variables de Ashtekar pròpiament dites corresponen a l'elecció $β = - i$ (el negatiu de l'unitat imaginari ). En eixe cas, $A_{a}^{i}$ es diu conexió d'espin quiral. La raó d'esta elecció de paràmetro de Barber-Immirzi és per a $β = - i$ se simplifica notablement la lligam hamiltoniana de LQG. Esta elecció fa desaparéixer el seu segon (i complicat) terme, i el terme restant es convertix en un polinomi en les seues noves variables. Açò va generar noves esperances per al programa de gravetat quàntica canònica.^[5] No obstant, va presentar certes dificultats. Encara que les variables de Ashtekar (en $β = - i$ ) tenien la virtut de simplificar el hamiltoniano, té el problema de que les variables es tornen complexes.^[6] Quan un cuantiza la teoria, és una tasca difícil assegurar-se de recuperar la relativitat general real en oposició a la relativitat general complexa. Ademés, la restricció hamiltoniana en la que Ashtekar va treballar va ser la versió densitizada en lloc del hamiltoniano original, és dir, va treballar en $\tilde{H} = \sqrt{\det (q)} H$ . Va haver séries dificultats per a promoure esta cantitat a un operador quàntic. Va ser Thomas Thiemann qui va conseguir utilisar la generalisació del formalisme de Ashtekar a conexions reals ( $β$ pren valors reals) i, en particular, va idear una forma de simplificar el hamiltoniano original, junt en el segon terme, en 1996. També va poder promoure esta restricció hamiltoniana a un operador quàntic ben definit dins de la representació de llaços.^[7]^[8]

Llig Smolin i Ted Jacobson, i Joseph Samuel de forma independent, varen descobrir que existix, de fet, una formulació lagrangiana de la teoria en considerar la formulació autodual del principi d'acció tetrádica de Palatini de la relativitat general.^[9]^[10]^[11] Estes demostracions es varen donar en térmens de espinores. Una prova purament tensorial de les noves variables en térmens de tríades va ser donada per Goldberg^[12] i en térmens de tétradas per Henneaux et al.^[13]

Atres llectures

(1986).Physical Review Letters.57(18)

2244–2247.doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244.

Referències

↑ Gravitation by Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, published by W. H. Freeman and company. New York.
↑ (1986).Physical Review Letters.57(18)
2244–2247.doi:10.1103/physrevlett.57.2244.
↑ (1988).Physical Review Letters.61(10)
1155–1158.doi:10.1103/physrevlett.61.1155.
↑ (2015).Fortschritte der Physik.64(10)
783.doi:10.1002/prop.201600073.
↑ See the book Lectures on Senar-Perturbative Canonical Gravity for more details on this and the subsequent development. First published in 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.
↑ See part III chapter 5 of Gauge Fields, Knots and Gravity, John Baez, Javier P. Muniain. First published 1994. World scientific Publishing Co. Pte. LtD.
↑ (1996).Physics Letters B.Elsevier BV.380(3-4)
257–264.ISSN 0370-2693.doi:10.1016/0370-2693(96)00532-1.
↑ For an account of these developments see John Baez's homepage entry, The Hamiltonian Constraint in the Loop Representation of Quàntum Gravity.
↑ Pramana - Journal of Physics.Indian National Science Academy.28(4)
↑ (1987).Physics Letters B.Elsevier BV.196(1)
39–42.ISSN 0370-2693.doi:10.1016/0370-2693(87)91672-8.
↑ Classical and Quàntum Gravity.IOP Publishing.5(4)
583–594.ISSN 0264-9381.doi:10.1088/0264-9381/5/4/006.
↑ Physical Review D.American Physical Society (APS).37(8)
2116–2120.ISSN 0556-2821.doi:10.1103/physrevd.37.2116.
↑ Physical Review D.American Physical Society (APS).39(2)
434–437.ISSN 0556-2821.doi:10.1103/physrevd.39.434.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Variables de Ashtekar» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Gravitation by Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, published by W. H. Freeman and company. New York.

[2] (1986).Physical Review Letters.57(18)
2244–2247.doi:10.1103/physrevlett.57.2244.

[3] (1988).Physical Review Letters.61(10)
1155–1158.doi:10.1103/physrevlett.61.1155.

[4] (2015).Fortschritte der Physik.64(10)
783.doi:10.1002/prop.201600073.

[5] See the book Lectures on Senar-Perturbative Canonical Gravity for more details on this and the subsequent development. First published in 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.

[6] See part III chapter 5 of Gauge Fields, Knots and Gravity, John Baez, Javier P. Muniain. First published 1994. World scientific Publishing Co. Pte. LtD.

[7] (1996).Physics Letters B.Elsevier BV.380(3-4)
257–264.ISSN 0370-2693.doi:10.1016/0370-2693(96)00532-1.

[8] For an account of these developments see John Baez's homepage entry, The Hamiltonian Constraint in the Loop Representation of Quàntum Gravity.

[9] Pramana - Journal of Physics.Indian National Science Academy.28(4)

[10] (1987).Physics Letters B.Elsevier BV.196(1)
39–42.ISSN 0370-2693.doi:10.1016/0370-2693(87)91672-8.

[11] Classical and Quàntum Gravity.IOP Publishing.5(4)
583–594.ISSN 0264-9381.doi:10.1088/0264-9381/5/4/006.

[12] Physical Review D.American Physical Society (APS).37(8)
2116–2120.ISSN 0556-2821.doi:10.1103/physrevd.37.2116.

[13] Physical Review D.American Physical Society (APS).39(2)
434–437.ISSN 0556-2821.doi:10.1103/physrevd.39.434.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]