Aplicació pròpia

En matemàtiques i topología, una aplicació pròpia (o funció pròpia) és una aplicació entre dos espais topològics tal que l'image inversa de qualsevol conjunt compacte és compacta. En geometria algebraica, el concepte anàlec es denomina morfismo propi.

Definició

Una aplicació f : X → I entre dos espais topològics és pròpia si i solament si la preimagen de cada conjunt compacte de I és un conjunt compacte de X.

Existixen diverses descripcions alternatives (pero equivalents). Per eixemple, una aplicació contínua f és pròpia si és una aplicació tancada i la preimagen de cada punt de I és compacta. Al final d'esta secció s'oferix la demostració d'equivalència. De manera més abstracta, f és pròpia si per a qualsevol espai Z l'aplicació

f × aneu_Z: X × Z → I × Z

és tancada. Estes definicions són equivalents a l'inicial si X és Hausdorff i I és localment compacte i Hausdorff.

Una definició equivalent, i possiblement més intuïtiva és esta, quan X i I són espais mètrics és la següent: una seqüència infinita de punts {p_i} en l'espai X escapa a l'infinit si, per a cada conjunt compacte S ⊂ X solament un número finito de punts p_i pertanyen a S. Llavors una aplicació contínua f : X → I és pròpia si i solament si per a cada seqüència de punts de X {p_i} que escapa a l'infinit, {f(p_i)} escapa també a l'infinit en I.

Esta última definició basada en successions està relacionada en la noció de "secuencialment pròpia", vore la referència final.

Generalisació

És possible generalisar la noció d'aplicació pròpia a espais topològics com els locals i els topoi vore Plantilla:Harv.

Vore també

• Anex:Glossari d'topología

Referències

Bibliografia

• (1998).«General topology. Chapters 5--10».Springer-Verlag.Berlin, New York:

• (2002).«Sketches of an elephant: a talps theory compendium».Oxford University Press.Oxford:, esp. section C3.2 "Proper maps"
• (2006).«Topology and groupoids».Booksurge.N. Carolina:, esp. p. 90 "Proper maps" and the Exercises to Section 3.6.
• Brown, R. "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.