Curva d'omplit de l'espai

Tres iteraciones de la construcció de la curva de Peano, el llímit de la qual és una curva que ompli l'espai

En anàlisis matemàtic, una curva d'omplit de l'espai és una classe de curva que el seu ranc conté el quadrat unitat bidimensional complet (o de forma més general, un hipercubo unitat n dimensional). Degut a que Giuseppe Peano (1858-1932) va ser el primer en descobrir un eixemple, les curves que reblixen l'espai en el pla bidimensional a voltes es denominen "curves de Peano", encara que de forma estricta este terme designa exclusivament a l'eixemple trobat pel matemàtic italià.

Definició

Intuitivament, una curva en dos o tres (o més) dimensions es pot considerar com la trayectòria d'un punt en moviment continu. Per a eliminar la vaguetat inherent d'esta noció, el matemàtic francés Camille Jordan en 1887 va introduir la següent definició rigorosa, que des de llavors ha segut adoptada com la descripció precisa de la noció d'una "curva":

Una curva (en punts orige i final) és una funció contínua el domini de la qual és l'interval unitat [0, 1]

En la forma més general, el ranc de dita funció pot estar en un espai topològic arbitrari, pero en els casos més comunament estudiats, el ranc estarà en un espai euclídeo com el pla bidimensional (una curva plana) o l'espai tridimensional una (curva espacial).

A voltes, la curva s'identifica en l'image de la funció (el conjunt de tots els valors possibles de la funció), en lloc de la funció en sí. També és possible definir curves sense punts finals per a que siguen una funció contínua sobre la recta real (o en l'interval unitat obert (0, 1)).

Història

En 1890, Giuseppe Peano va descobrir una curva contínua, ara cridada curva de Peano, que passa per cada punt del quadrat unitari (Peano (1890)). El seu propòsit era construir una funció contínua des del interval unitat fins a recobrir el quadrat unitat. Peano estava motivat pel resultat contraintuitivo anterior de Georg Cantor de que el número infinit de punts en un interval unitari té el mateix cardinal que el número infinit de punts en qualsevol varietat de dimensió finita, com el quadrat unitat. El problema que va resoldre Peano va ser si tal aplicació podria ser contínua; és dir, una curva que ompli un espai. La solució de Peano no establix una funció biyectiva contínua entre l'interval unitat i el quadrat unitat i, de fet, tal correspondència no existix (consulte's "Propietats" a continuació).

Era comú associar les nocions vagues de "primea" i unidimensionalidad a les curves; totes les curves trobades normalment eren funciones definides a trossos diferenciables (és dir, en derivades contínues per parts), i tals curves no poden omplir tot el quadrat unitari. Per lo tant, es va trobar que la curva d'omplit d'espai de Peano era altament contradictòria.

A partir de l'eixemple de Peano, va ser fàcil deduir curves contínues els rancs de les quals contenien un hipercubo unitat de dimensió n (per a qualsevol sancer positiu n). També va ser fàcil estendre l'eixemple de Peano a curves contínues sense punts finals, que ompliren tot l'espai euclídeo n dimensional (a on n és 2, 3 o qualsevol un atre sancer positiu).

Les curves d'omplit de l'espai més conegudes es construïxen iterativamente com el llímit d'una seqüència de curves contínues llineals per parts, cada una de les quals s'aproxima més al llímit d'omplit de l'espai.

L'innovador artícul de Peano no contenia ilustracions de la seua construcció, que es definix en térmens d'un sistema ternario i d'un operador de reflexió. Pero la construcció gràfica li va quedar perfectament clara: va fer un mosaic ornamental que mostrava una image de la curva en la seua casa de Torí. L'artícul de Peano també termina observant que la tècnica pot estendre's òbviament a atres bases impars ademés de la base 3. La seua elecció d'evitar qualsevol visualisació gràfica va ser motivada pel desig d'una prova completament rigorosa que no deguera res a les imàgens. En eixe moment (el començ de la fundació de la topología general), els arguments gràfics encara s'incloïen en les demostracions, pero s'estaven convertint en un obstàcul per a la comprensió de resultats a sovint contradictoris.

Un any despuix, David Hilbert va publicar en la mateixa revista una variació de la construcció de Peano (Hilbert 1891). L'artícul de Hilbert va ser el primer en incloure una image que ajuda a visualisar la tècnica de construcció, essencialment la mateixa que s'ilustra ací. No obstant, la forma analítica de la curva de Hilbert és més complicada que la de Peano.

Sis iteraciones de la construcció de la curva de Hilbert, la curva de la qual d'omplit llímit de l'espai va ser ideada pel matemàtic David Hilbert