Funció pese

Una funció pese és una ferramenta matemàtica que s'utilisa en realisar una suma, integral o promig per a donar a alguns elements més pes o influència en el resultat que a atres elements del mateix conjunt. El resultat d'esta aplicació d'una funció de ponderació és una suma ponderada o mija ponderada. Les funcions de ponderació apareixen en freqüència en estadística i en anàlisis matemàtic, i estan estretament relacionades en el concepte de mida. Les funcions pese es poden amprar tant en entorns discrets com a continus. Es poden utilisar per a construir sistemes de càlcul cridats càlculs ponderats i metacálculos.

Pesos discrets

Definició general

En la configuració discreta, una funció pese $w:A\to {ℝ}^{+}$ és una aplicació positiva discreta definida en un conjunt $A$, que normalment és finito o numerable. La funció pese $w(a):=1$ correspon a la situació no ponderada, en la que tots els elements tenen el mateix pes, al que se li poden aplicar varis conceptes.

Si $f:A\to ℝ$ és una funció en valors reals, llavors la suma no ponderada de $f$ en $A$ es definix com

$\sum _{a\in A}f(a);$

pero donada una funció de pes $w:A\to {ℝ}^{+}$, la suma ponderada o combinació cònica es definix com

$\sum _{a\in A}f(a)w(a).$

Una aplicació comuna de les sumes ponderades apareix en l'integració numèrica.

Si B és un subconjunt finito de A, es pot reemplaçar la cardinalidad |B| no ponderada de B per la cardinalidad ponderada

$\sum _{a\in B}w(a).$

Si A és un conjunt finito no buit, es pot reemplaçar la mija o promig no ponderat

$\frac{1}{|A|}\sum _{a\in A}f(a)$

per la mija ponderada o pel promig ponderat

$\frac{\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}.$

En este cas solament són rellevants els pesos relatius.

Estadística

Les miges ponderades s'utilisen comunament en estadística per a compensar la presència de desviacions. Per a una cantitat $f$ mida múltiples voltes independentment $f_i$ en varianza ${\sigma }_i^2$, la millor estimació de la senyal s'obté promediando totes les medicions en pes $w_i=1/{\sigma }_i^2$, i la varianza resultant és menor que la de cada una de les medicions independents ${\sigma }^2=1/\sum _i{w}_i$. El método de màxim verosimilitut pondera la diferència entre ajusts i senyes usant els mateixos pesos $w_i$.

l'esperança d'una variable aleatòria és el promig ponderat dels possibles valors que podria prendre, sent els pesos les respectives provabilitats. De manera més general, el valor esperat d'una funció d'una variable aleatòria és el promig ponderat per la provabilitat dels valors que pren la funció per a cada valor possible de la variable aleatòria.

En els ajusts de regressió, en els que se supon que les variables depenents es veu afectades pels valors actuals i anteriors (passats) de les variables independents, s'estima una funció de retart distribuït, sent esta funció un promig ponderat dels valors actuals i de vàries variables independents anteriors. De manera similar, un model de miges mòvils especifica una variable en evolució com un promig ponderat dels valors actuals i varis valors anteriors d'una variable aleatòria.

Mecànica

La terminologia funció pese sorgix de la mecànica: si es té una colecció d'objectes $n$ en un palanca, en pesos $w_1,\dots ,w_n$ (a on pes ara s'interpreta en el sentit físic) i ubicacions ${𝒙}_1,\dots ,{𝒙}_n$,, llavors la palanca estarà en equilibri si el punt de respal coincidix en el centre de masses

$\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{𝒙}_i}{\sum _{i=1}^n{w}_i},$

que també és el promig ponderat de les posicions ${𝒙}_i$.

Pesos continus

En la configuració contínua, un pes és una mida positiva, com $w(x)dx$ en alguns dominis $\Omega$, que normalment és un subconjunt d'un espai euclídeo ${ℝ}^n$; per eixemple, $\Omega$ podria ser un interval $[a,b]$. Ací, $dx$ és la mida de Lebesgue i $w:\Omega \to {ℝ}^{+}$ és una funció de mida no negativa. En este context, la funció de pes $w(x)$ a voltes es denomina densitat.

Definició general

Si $f:\Omega \to ℝ$ és una function en valor real, llavors l'integral no ponderada

$\underset{\Omega }{\int }f(x)dx$

es pot generalisar a la integral ponderada

$\underset{\Omega }{\int }f(x)w(x)dx$

Tinga's en conte que és possible que siga necessari exigir que $f$ siga absolutament integrable sobre el pes $w(x)dx$ per a que esta integral siga finita.

Volum ponderat

Si I és un subconjunt de $\Omega$, llavors el volum vol(I) de I es pot generalisar al volum ponderat

$\underset{E}{\int }w(x)dx,$

Promig ponderat

Si $\Omega$ té un volum ponderat finito distint de zero, llavors es pot reemplaçar el promig no ponderat

$\frac{1}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Omega )}\underset{\Omega }{\int }f(x)dx$

pel promig ponderat

$\frac{\underset{\Omega }{\int }f(x)w(x)dx}{\underset{\Omega }{\int }w(x)dx}$

Forma bilineal

Si $f:\Omega \to ℝ$ i $g:\Omega \to ℝ$ són dos funcions, es pot generalisar la forma bilineal no ponderada

$⟨f,g⟩:=\underset{\Omega }{\int }f(x)g(x)dx$

a una forma bilineal ponderada

$⟨f,g⟩:=\underset{\Omega }{\int }f(x)g(x)w(x)dx.$

Consulte's l'entrada sobre polinomis ortogonals per a vore eixemples de funcions ortogonals ponderades.