Infinit potencial i infinit actual

El infinit actual (del llatí tardà actualis, «actiu», «eficaç») i el infinit potencial (del llatí tardà potentialis, «d'acort a les possibilitats o la potència») designen dos modalitats en les que lo infinit pot existir o concebre's. El primer terme es tracta de l'interrogant de si acàs un domini de cardinalidad infinita en totes les seues parts siquiera pot existir realment en un moment donat, o si en cada cas solament existixen o poden imaginar-se o construir-se elements determinats (antirrealismo en relació en l'infinit actual, com per eixemple en el constructivisme de l'Escola de Erlangen), de manera de que solament pot existir realment l'infinit potencial. En segon terme, d'acceptar-se la possibilitat en principi de l'infinit actual, es tracta de quins serien els objectes actualment infinits.

En l'àmbit de la filosofia de les matemàtiques açò es referix especialment a la qüestió de l'existència real de conjunts en cardinalidad infinita, entre els que es conta per eixemple la classe dels número natural (lo que ací presupon una postura també denominada «platonisme» en relació en els objectes matemàtics). La postura antirrealista (que en este context casi sempre és constructivista) podria formular-se aixina: «Si ben no existix un número natural que siga el major de tots, tampoc existix una totalitat acabada d'número natural» (infinit potencial).

En l'història de la filosofia i en l'ontologia contemporànea, entre atres possibles objectes actualment infinits es discutix sobre: un conjunt infinit de substàncies (per eixemple àtoms) o d'unitats espacials i temporals (en particular com continu espaciotemporal), una seqüència infinita de causes (l'impossibilitat de les quals és una de les premisses per a diverses proves clàssiques de l'Existència de Deu), aixina com Deu mateix.

Història del concepte

Anaximandro va introduir el concepte de lo illimitat (a-peiros). Lo infinit és tant illimitat com a indeterminat.

De les consideracions de Platón es deriva l'idea d'un infinit actual. És el principi determinat de la forma, l'Un, que estructura la varietat material a través de la seua delimitació.

En l'ontologia d'Aristóteles, la contraposició de potencialitat i actualitat és fonamental, aplicant-se també a conjunts d'objectes. A un conjunt, al que en principi puguen agregar-se-li infinits objectes, Aristóteles ho denomina «potencialment» infinit. De lo anterior distinguix el concepte d'un conjunt que realment continga ya infinits objectes. Segons Aristóteles, açò últim és impossible, en lo que rebuja també l'idea de que un determinat principi infinit puga explicar totalment l'unitat de la realitat finita. D'acort a ell, lo «infinit“ solament es referix a «allò, fòra de la qual cosa encara seguix havent alguna cosa».

Este descarte d'un infinit actual es va amprar freqüentment en filosofia de la religió, tant en l'antiguetat com en l'Edat Mija, per a demostrar l'existència de Deu, perque aixina mai pot concloure un progrés que en principi puga portar-se a terme en un número infinit de passos. És per això que es considera impracticable una explicació de la realitat que partixca en determinats objectes, indique les seues respectives causes i continue aixina successivament. En lloc d'això, se supon a Deu com a primera causa, que en sí mateixa no és part d'una tal seqüència causal. Aixina per eixemple en Tomás d'Aquino.

Seguint al platonisme, Agustín de Hipona identifica a Deu directament en l'infinit actual.

Les discussions, tant en l'antiguetat com en l'Edat Mija, sobre ontologia i filosofia de la religió en la seua majoria es referixen a estes bases.

En la transició a la renaixença i a la modernitat primerenca, Nicolás de Cusa combina estes tradicions en problemes matemàtics. En numeroses analogia aritmètiques i geomètriques va intentar aclarir que a la raó finita li resulta impossible comprendre l'unitat actual de lo infinit. Com a eixemple senyalava l'impossibilitat de fer coincidir de modo actual la llínea recta i la curva per mig de la progressiva inscripció de polígons en un número d'arestes creixent dins d'un círcul. Este problema de quadratura del círcul ya havia segut tractat en numeroses ocasions, entre uns atres per Thomas Bradwardine. En investigacions recents, moltes voltes es comparen les consideracions de Cusanus en els problemes de la filosofia de les matemàtiques que es presenten des dels representants primerencs del constructivisme matemàtic, aixina com en el pensament de Georg Cantor.

Cantor era de l'opinió de que l'infinit potencial té a l'infinit actual com a premissa, posicionant-se aixina clarament com a adversari de Johann Friedrich Herbart, qui considerava a la seua volta el concepte de lo infinit com a llímit mòvil, que pugues i deu traslladar-se a cada moment.

Diversos criteris en les matemàtiques i en la filosofia de les matemàtiques contemporànees

Els potencialistas critiquen i rebugen la pràctica de parlar de «conjunts» infinits, la que s'ha impost en el bando actualista i s'ha transformat, en la forma de la teoria axiomàtica de conjunts, en un dels fonaments més importants de les matemàtiques. A fi de fer resaltar el caràcter polèmic del concepte de conjunt, en lo que seguix a voltes se li posarà entre comillas.

L'eixemple més simple d'un conjunt infinit és el conjunt $\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}$ dels número natural: per a cada número natural és possible senyalar un successor, per tant no hi ha fi. Cada u d'estos números (per gran que siga) pot senyalar-se en forma completa, mentres que això no és possible per al conjunt $\mathbb{N}$ en cada u dels seus elements.

Des del punt de vista dels finitistas, és per això que $\mathbb{N}$, com tot un atre àmbit infinit, no existix com a conjunt. Pero un conjunt finito existix, ya que és possible senyalar-la en forma explícita, enumerant tots els seus elements, com en $\{1,2,3,4,5\}$. El „conjunt“ $\mathbb{N}$, en este sentit, és solament potencialment infinit, ya que si ben sempre se li poden agregar elements nous, mai s'haurà completat, ya que no és possible enumerar tots els seus elements.

Els ultrafinitistas objecten ací que també els conjunts finitos com $\{1,2,\dots ,n\}$ (sent n un número natural arbitrari) no poden enumerar-se en forma completa, quan n és tan gran que sorgixen raons pràctiques que ho impedixen – la cantitat de paper disponible, el periodo de vida del escribano o la cantitat de partícules elementals, que en la part accessible del univers en seguritat no supera els 10¹⁰⁰.

En canvi, per a un constructivista més moderat un conjunt està ya donat quan existix un algoritme/procediment en el que tot element d'este conjunt puga construir-se en un número finito de passos, és dir senyalar-se aixina. El conjunt dels número natural en este sentit seria actualment infinit, ya que existix en la forma d'un algoritme, en el que és possible generar qualsevol número natural en un número finito de passos. És cert que en este cas no és que el conjunt com a resum dels seus elements es trobe «conclós», sino solament l'algoritme, el procediment operacional, per mig del com es va generant pas a pas. És per això que molts constructivista eviten el concepte del «infinit actual», preferint denominar els conjunts tals com el dels número natural com «operativamente tancats», lo que simplement vol senyalar que el corresponent algoritme tarde o enjorn generarà cada element del conjunt.

L'àmbit dels número real és el cas clàssic d'un conjunt no operativamente tancat. Un algoritme solament pot produir números que puguen representar-se en una cantitat finita de signes, de manera que si be és possible construir conjunts finitos o enumerables de número real (per als constructivista es tracta de successions regulars de número racional) (per eixemple donant-li a cada una un nom distint), pero no és possible indicar un algoritme capaç de generar tot número real. Perque este deuria es capaç de produir-los en un número enumerable de passos, lo que no obstant és impossible, perque el conjunt dels número real és no enumerable (segon argument de la diagonal de Cantor). El «conjunt“ dels número real, per tant, no pot senyalar-se per mig de un algoritme (o per mig d'un número finito d'ells), sino que es requieriría una cantitat infinita d'algoritmes per a generar tots els número real i eixos infinits algoritmes, per la seua banda, no poden generar-se sobre la base d'un algoritme d'orde superior (perque d'això també es desprendria que els número real tindrien que ser numerables). Els algoritmes per a la generació de tots els número real, per tant, no conformen un àmbit operativamente tancat, per lo que difícilment se'ls pot calificar com alguna cosa «conclós», formant en canvi un infinit potencial.

És notable que - pese a estes dificultats per a generar el conjunt dels número real - també en el bando constructivista a temps s'expressa una concepció actualista sobre lo infinit dels número real: l'intuicionista Luitzen Egbertus Jan Brouwer considera al continu com una intuïció originària, és dir com alguna cosa que li és donat a l'esperit humà en forma acabada i que per tant és actualment infinit. En la mida en que el conjunt dels número real constituïx el model matemàtic més corrent del continu, resulta possible llavors considerar-ho també com a infinit actual.

És aixina que en la filosofia de les matemàtiques, a banda del rebuig a tot tipo de concepte d'infinit (ultrafinitismo), existixen l'acceptació exclusiva de l'infinit potencial (finitismo), l'acceptació de l'infinit actual exclusivament per a conjunts operativamente tancats com la dels número natural (constructivisme), aixina com l'acceptació de l'infinit actual solament per al continu (intuicionismo), mentres que el platonisme accepta sense més l'infinit actual.

Tant les matemàtiques clàssiques com també l'immensa majoria dels matemàtics contemporàneus accepten l'infinit actual per a tots aquells conjunts que es poden definir sobre la base dels axioma de Zermelo-Fraenkel: l'axioma de l'infinit comporta l'existència del conjunt dels número natural, l'axioma dels conjunts potencia la dels número real. Sobre esta base axiomàtica resulta una varietat infinita de nivells de l'infinit actual, que es caracterisen per diferents cardinalidades. Per als número cardinal, análogamente al cas dels número real, no és possible senyalar un procés general de generació que siga capaç de generar-los a tots. Entre els matemàtics tampoc existix acort en si acàs la «totalitat dels número cardinal» té sentit com a concepte, o si li'ls pot considerar infinits actuals. Resulta que considerar esta totalitat com a conjunt en el sentit de la teoria axiomàtica de conjunts conduïx a una contradicció llògica (primera antinomia de Cantor).

Bibliografia

• Jonas Cohn: Geschichte dones Unendlichkeitsproblems im abendländischen Denken bis Kant, Leipzig 1896, Nachdruck Georg Olms 2. A. 1983, ISBN 3487000601.
• Paul Lorenzen: Dones Aktual-Unendliche in der Mathematik, in: Philosophia naturalis 4 (1957)
• Kurt von Fritz: Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, de Gruyter 1971, ISBN 3110018055, darin bes.: Dones apeiron bei Aristoteles, S. 677-700.
• Alberto Jori: * Dones Unendliche: Eine philosophische Untersuchung, Books on Demand, 2010 ISBN 978-3842330375