Matriu tridiagonal

En àlgebra llineal es denomina matriu tridiagonal a una matriu els elements de la qual són sol distints de zero en la diagonal principal i les diagonals adjacents per damunt i per baix d'esta.

Siga eixemple

(\begin{matrix} 1 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}) .

Este tipo de matrius disperses són habituals en àlgebra llineal numèrica i en la resolució de problemes de física computacional en aproximar-se per mig de diferències finitas equacions diferencials (equació de Poisson, equació de la calor, equació d'ona...), particularment en problemes unidimensionals. Donada la seua particularitat existixen algoritmes i regles específiques per a operar en elles en major eficiència que en una matriu genèrica.

De forma general, qualsevol matriu hermitiana pot convertir-se en una matriu tridiagonal per mig d'una transformació ortogonal usant l'algoritme de Lanczos. Aixina, també s'ampren estes matrius com a passos intermijos en atres algoritmes matemàtics.

Propietats

El determinant d'una matriu tridiagonal és el continuante dels seus elements,^[1] una miqueta de significat en el context de les fraccions contínues.

Una matriu tridiagonal és al mateix temps una matriu de Hessenberg superior i inferior.^[2] En particular, una matriu triangular és la suma directa de p 1-a-1 i q 2-a-2 matrius tals que p + q/2 = n (la dimensió de la tridiagonal).

Encara que una matriu tridiagonal no té necessàriament que ser simètrica o hermitiana, solen ser-ho en el context dels problemes que les originen. Més encara, si una matriu tridiagonal A satisfà a_k,k+1 a_k+1,k > 0, de manera que el signe dels seus elements és simètric és semblant a una hermitiana i per tant les seues valors propis són tots reals. Esta afirmació seguix sent certa si es reemplaça la condició per a_k,k+1 a_k+1,k > 0 by a_k,k+1 a_k+1,k ≥ 0.

El conjunt de totes les matrius n &claves; n tridiagonales forma un espai vectorial de dimensió 3n-2.

Determinant

Artícul principal → Continuante (matemàtiques).

El determinant d'una matriu tridiagonal A de orde n satisfà una recurrencia de tres térmens. Sent f₁ = |d₁| = d₁ i

f_{n} = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & b_{n - 1} \\ c_{n - 1} & a_{n} \end{matrix} |

lo es pot definir la següent relació de recurrencia per a definir el continuante:

f_{n} = a_{n} f_{n - 1} - c_{n - 1} b_{n - 1} f_{n - 2}

en valors inicials f₀ = 1 i f_-1 = 0. El cost computacional d'esta forma és $θ (n)$ front a $θ (n^{3})$ per a una matriu genèrica.

Inversió

l'inversa d'una matriu no singular T:

T = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & b_{n - 1} \\ c_{n - 1} & a_{n} \end{matrix})

és donada per:

(T^{- 1})_{i j} = {\begin{matrix} (- 1)^{i + j} b_{i} \dots b_{j - 1} θ_{i - 1} ϕ_{j + 1} / θ_{n} & if i \leq j \\ (- 1)^{i + j} c_{j} \dots c_{i - 1} θ_{j - 1} ϕ_{i + 1} / θ_{n} & if i > j \end{matrix}

A on els térmens θ_i satisfan la següent relació de recurrencia:

θ_{i} = a_{i} θ_{i - 1} - b_{i - 1} c_{i - 1} θ_{i - 2} for i = 2, 3, \dots, n

en condicions inicials θ₀ = 1, θ₁ = a₁ i ϕ_i satisfà

ϕ_{i} = a_{i} ϕ_{i + 1} - b_{i} c_{i} ϕ_{i + 2} for i = n - 1, \dots, 1

en condicions inicials ϕ_n+1 = 1 and ϕ_n = a_n.

Existixen formes tancades per a casos com el de matrius simètriques o el de matrius de Toeplitz.

Resolució de sistemes d'equacions

Artícul principal → Algoritme per a matrius tridiagonales.

Artícul principal → Teorema de Ostrowski i Reich.

Un sistema d'equacions $A x = b$ en $b \in ℝ^{n}$ i A tridiagonal pot ser resolt de forma eficient en una variant de l'eliminació gaussiana. Este algoritme (a voltes cridat Algoritme de Thomas) requerix solament $O (n)$ operacions, front a les $O (n^{3})$ que requerix una matriu genèrica.^[3]

Esta optimisació es pot conseguir també per mig de métodos iterativos. Existixen variants del método de Gauss-Seidel que usen un factor de relaixació $ω$ per a accelerar la convergència del método. El cas d'una matriu tridiagonal és una de les poques per a les que es pot demostrar l'existència d'un valor òptim per a $ω$ . Segons el Teorema de Ostrowski i Reich, este valor ve dau per:

sent $ρ (T)$ el ràdio espectral de la matriu de transformació del método de Gauss-Seidel associat al sistema en qüestió.

Notes

↑ Muir, Thomas (1960). A treatise on the theory of determinants, Dover Publications, pp. 516–525.
↑ (1985) Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 28. ISBN 0521386322.
↑ (1996) Matrix Computations, 3rd ed. edició, The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz tridiagonal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Muir, Thomas (1960). A treatise on the theory of determinants, Dover Publications, pp. 516–525.

[2] (1985) Matrix Analysis, Cambridge University Press, p. 28. ISBN 0521386322.

[3] (1996) Matrix Computations, 3rd ed. edició, The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.

[1]

[2]

[3]