Matrius gamma

En física matemàtica, les matrius gamma, $\{{\gamma }^0,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^3\}$, també conegudes com a matrius de Dirac, són un conjunt de matrius convencionals junt en unes relacions d'anticonmutación que asseguren que generen una representació matricial del àlgebra de Clifford $\mathrm{C}{\ell }_{1,3}(𝐑)$. També és possible definir matrius gamma en més dimensions. Interpretades com les matrius de l'acció d'un conjunt de vectores d'una base ortogonal per a vectores contravariantes en l'espai de Minkowski, els vectores columna sobre els que actua la matriu es transformen en un espai d'espinores, sobre els que actua l'àlgebra de Clifford del espaciotiempo. Açò a la seua volta fa possible representar rotacions espacials i transformacions de Lorentz infinitesimals. L'ocupació de espinores en general facilita els càlculs en el espaciotiempo, i en particular és fonamental en l'equació de Dirac per a partícules relativistes d'espin ½.

En la representació de Dirac, les quatre matrius gamma contravariantes són

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),{\gamma }^1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right),{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right).$

${\gamma }^0$ és una matriu tipo temps i el restant són matrius tipo espai. Les matrius de tipo espai poden ser escrites en una única expressió en funció de les matrius de Pauli:

${\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right),\text{donde }{\sigma }^i\text{ son las matrices de Pauli para }i\in \{1,2,3\}$

Es poden definir conjunts anàlecs de matrius per a qualsevol dimensió i signatura de la mètrica. Per eixemple, les matrius de Pauli formen un conjunt de matrius "gamma" en dimensió 3 en signatura mètrica euclidiana (3,0). En cinc dimensions espaciotemporales, les quatre matrius gamma de dalt junt en la quinta matriu gamma, presentada més avall, generen l'àlgebra de Clifford.

Estructura matemàtica

La propietat que definix que les matrius gamma matrius generen un àlgebra de Clifford és la relació de anticonmutación

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }{I}_4$

a on $\{,\}$ és l'anticonmutador, ${\eta }^{\mu \nu }$ és la mètrica de Minkowski en signatura (+ − − −) i $I_4$ és la matriu identitat 4 × 4.

Esta propietat és més fonamental que els valors numèrics utilisats en una representació concreta de les matrius gamma. La versió covariant gamma les matrius estan definides per

${\gamma }_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{\gamma }^{\nu }=\{{\gamma }^0,-{\gamma }^1,-{\gamma }^2,-{\gamma }^3\},$

amprant la notació d'Einstein.

Nota que en la signatura mètrica oposta, (− + + +) o be cal canviar l'equació:

$\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\}=-2{\eta }^{\mu \nu }{I}_4$

o be multiplicar totes les matrius gamma per $i$, lo que naturalment modifica les propietats de hermiticidad. En la convenció de signatura alternativa les matrius gamma covariants són llavors

${\gamma }_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{\gamma }^{\nu }=\{-{\gamma }^0,+{\gamma }^1,+{\gamma }^2,+{\gamma }^3\}$.

Estructura física

L'àlgebra de Clifford $\mathrm{C}{\ell }_{1,3}(𝐑)$ sobre l'espai-temps $V$ pot ser considerat com el conjunt d'operadors llineals reals de $V$ a $V$, $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V)$ o més generalment, al complexificar a $\mathrm{C}{\ell }_{1,3}(𝐑{)}_{𝐂}$, com el conjunt d'operadors llineals de qualsevol espai vector complex dimensional 4 a sí mateixa. Dit d'un modo més simple, donada una base per a V, $\mathrm{C}{\ell }_{1,3}(𝐑{)}_{𝐂}$ és el conjunt de totes les matrius complexes 4 × 4, pero dotat en una estructura d'àlgebra de Clifford. Se supon que l'espai-temps està dotat en una mètrica de Minkowski ${\eta }_{\mu \nu }$ i un espai de biespinores $U_x$ en cada punt de l'espai-temps en la representació biespinorial del grup de Lorentz. Els camps biespinoriales $\psi$ de les equacions de Dirac, evaluats en qualsevol punt $x$ en espai-temps, són elements de $U_x$. L'àlgebra de Clifford aixina mateix actua en $U_x$ (per multiplicació matricial en vectores de columna $\psi (x)$ en $U_x$ para tot $x$). Com es vorà, esta serà la funció primària dels elements de $\mathrm{C}{\ell }_{1,3}(𝐑{)}_{𝐂}$ en esta secció.

Per a cada transformació linia el $S$ de $U_x$, hi ha una transformació de $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(U_x)$ donada per $SE{S}^{-1}$ per a $E$ en $\mathrm{C}{\ell }_{1,3}(𝐑{)}_{𝐂}\approx \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(U_x)$. Si $S$ pirtenece a una representació del grup de Lorentz, l'acció induïda $E$ ↦ $SE{S}^{-1}$ també pertanydrà a una representació del grup de Lorentz.

Si $S(\Lambda )$ és la representació biespinorial que actua en $U_x$ d'una transformació de Lorentz $\Lambda$ arbitrària en la representació estàndar (cuadrivector) que actua en $V$, llavors hi ha un operador corresponent en $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(U_x)$ = $\mathrm{C}{\ell }_{1,3}(𝐑{)}_{𝐂}$ dau per

${\gamma }^{\mu }\mapsto S(\Lambda ){\gamma }^{\mu }S(\Lambda {)}^{-1}={{({\Lambda }^{-1})}^{\mu }}_{\nu }{\gamma }^{\nu }:={{\Lambda }_{\nu }}^{\mu }{\gamma }^{\nu },$

demostrant que ${\gamma }^{\mu }$ pot ser vista com la base d'un espai de representació de la representació de cuadrivectores del grup de Lorentz que es troba dins de l'àlgebra de Clifford. Açò significa que les cantitats de la forma

$a/:=a_{\mu }{\gamma }^{\mu }$

deurien ser tractades com cuadrivectores en les manipulacions. També significa que els índexs de γ es poden pujar i baixar utilisant la mètrica ${\eta }_{\mu \nu }$ com en qualsevol cuadrivector. La notació presentada es diu notació slash de Feynman. L'operació slash du els vectores unitari $e_{\mu }$ de $V$, o de qualsevol espai vectorial de dimensió 4, a la base de vectores ${\gamma }^{\mu }$. La regla de transformació per a cantitats en slash és senzillament

${a/}^{\mu }\mapsto {{\Lambda }^{\mu }}_{\nu }{a/}^{\nu }.$

Cal notar que açò és diferent de la regla de transformació per als ${\gamma }^{\mu }$, que són ara tractats com una base vectorial (fixa). La designació de la tupla (${\gamma }^{\mu }$) = (${\gamma }^0$, ${\gamma }^1$, ${\gamma }^2$, ${\gamma }^3$) com cuadrivector que es fa a voltes en la lliteratura pot dur a errors. Això correspondria a una transformació activa dels components d'una cantitat en slash en térmens de la base ${\gamma }^{\mu }$, i la forma anterior a una transformació passiva de la pròpia base ${\gamma }^{\mu }$.

Els elements ${\sigma }^{\mu \nu }={\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }-{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }$ formen una representació del àlgebra de Lie del grup de Lorentz. És una representació en espin. Quan es fan exponencials d'estes matrius i de les seues combinacions llineals, s'obtenen representacions biespinoriales del grup de Lorentz, per eixemple, el $S(\Lambda )$ usat anteriorment. L'espai de 6 dimensions generat per ${\sigma }^{\mu \nu }$ és l'espai de representació d'una representació tensorial del grup de Lorentz.