Número regular

Archiu:Regular divisibility lattice.svg

Un diagrama de Hasse de les relacions de divisibilidad entre els números regulars fins a 400. L'escala vertical és logarítmica.

Els números regulars són números que dividixen uniformemente potències de 60 (o, equivalentement, potències de 30). Equivalentement, són els números que els seus únics divisores primers són 2, 3 i 5. Com a eixemple, 60² = 3600 = 48 × 75, per lo que tant 48 com 75 són regulars en ser divisores d'una potència de 60.

Estos números apareixen en vàries àrees de les matemàtiques i les seues aplicacions, i reben diferents noms segons l'àmbit d'estudi.

• En teoria de números, es denominen 5-plans, perque es caracterisen per tindre solament 2, 3 o 5 com factors primers. És un cas específic dels números k-plans en general, que no tenen cap factor primer major que k.
• En l'estudi de la matemàtica babilònica, els divisores de potències de 60 es diuen números regulars o números sexagesimals regulars, i són de gran importància en este camp pel sistema numèric sexagesimal (base 60) que usaven els babilonios per a escriure els seus números i que era central en la matemàtica babilònica.
• En teoria musical, els números regulars apareixen en les proporcions de tons en l'afinación justa de cinc llímits. En relació en la teoria musical i teories relacionades d'arquitectura, estos números s'han denominat número entero harmònics.
• En informàtica, els números regulars es coneixen a sovint com a números de Hamming, en honor a Richard Hamming, qui va propondre el problema de trobar algoritmes informàtics per a generar estos números en orde ascendent. Este problema s'ha utilisat com a cas de prova per a la programació funcional.

Teoria de números

Formalment, un número regular és un sancer de la forma $2^i\cdot 3^j\cdot 5^k$, a on $i$, $j$ i $k$ són sancers no negatius. Dit número és divisor de $60^{\max (\lceil i/2\rceil ,j,k)}$. Els números regulars també es denominen 5-plans, lo que indica que el seu major factor primer és com a màxim 5.Plantilla:Sfnp Més generalment, un número k-pla és un número el major factor del qual primer és com màxim k.Plantilla:Sfnp

Els primers números regulars sónPlantilla:Sfnp

Atres seqüències en l'On-line Encyclopedia of Integer Sequences tenen definicions que involucren números 5-plans.

Encara que els números regulars semblen densos en el ranc d'1 a 60, són prou escassos entre els sancers majors. Un número regular $n=2^i\cdot 3^j\cdot 5^k$ és menor o igual que un llindar $N$ si i solament si el punt $(i,j,k)$ pertany al tetraedre delimitat pels plans coordenados i el pla

$$i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\le \ln N,$$

lo que es veu prenent logaritmos d'abdós costats de la desigualtat $2^i\cdot 3^j\cdot 5^k\le N$. Per tant, el número de números regulars que són com a màxim $N$ es pot estimar com el volum d'este tetraedre, que és

$$\frac{{\log }_{2}N{\log }_{3}N{\log }_{5}N}{6}.$$

Encara més precisament, usant la notació O gran, el número de números regulars fins a $N$ és

$$\frac{{(\ln (N\sqrt{30}))}^3}{6\ln 2\ln 3\ln 5}+O(\log N),$$

i s'ha conjeturado que el terme d'error d'esta aproximació és en realitat $O(\log \log N)$.Plantilla:Sfnp Una fòrmula similar per al número de números 3-plans fins a $N$ va ser donada per Srinivasa Ramanujan en la seua primera carta a G. H. Hardy.Plantilla:Sfnp

Matemàtica babilònica

Archiu:Table de division et de conversion des fractions - Louvre - caps block 9 6456. caps block 10

AO 6456, taula de recíprocs de números regulars d'Uruk seléucida, copiada d'una font anterior desconeguda

En la notació babilònica sexagesimal, el recíproc d'un número regular té una representació finita. Si $n$ dividix $60^k$, la representació sexagesimal de $1/n$ és simplement la de $60^k/n$, desplaçada un cert número de posicions. Açò permet una divisió fàcil per estos números: per a dividir per $n$, es multiplica per $1/n$ i després es desplaça.Plantilla:Sfnp

Per eixemple, considerem la divisió pel número regular 54 = 2¹3³. 54 és divisor de 60³, i 60³/54 = 4000, per lo que dividir per 54 en sexagesimal es conseguix multiplicant per 4000 i desplaçant tres posicions. En sexagesimal 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1, o (com a llista Joyce) 1:6:40. Aixina, 1/54, en sexagesimal, és 1/60 + 6/60² + 40/60³, també denotat 1:6:40, ya que les convencions notacionales babilòniques no especificaven la potència del dígit inicial. Inversament, 1/4000 = 54/60³, per lo que la divisió per 1:6:40 = 4000 es conseguix multiplicant per 54 i desplaçant tres posicions sexagesimals.

Els babilonios usaven taules de recíprocs de números regulars, algunes de les quals encara sobreviuen.Plantilla:Sfnp Estes taules varen existir relativament sense canvis a lo llarc de l'época babilònica.Plantilla:Sfnp Una tablilla d'época seléucida, per algú cridat Inaqibıt-Anu, conté els recíprocs de 136 dels 231 números regulars de sis posicions la primera posició de les quals és 1 o 2, llistats en orde. També inclou recíprocs d'alguns números de més de sis posicions, com 3Plantilla:Sup (2 1 4 8 3 0 7 en sexagesimal), que el seu recíproc té 17 dígits sexagesimals. En notar la dificultat tant de calcular estos números com d'ordenar-los, Donald Knuth en 1972 va aclamar a Inaqibıt-Anu com «¡el primer home en l'història en resoldre un problema computacional que pren més d'un segon en una computadora electrònica moderna!» (També es coneixen dos taules que donen aproximacions de recíprocs de números no regulars, una de les quals dona recíprocs per a tots els números del 56 al 80).Plantilla:SfnpPlantilla:Sfnp

Encara que la raó principal per a preferir números regulars a uns atres radica en la finitud dels seus recíprocs, alguns càlculs babilònics distints dels recíprocs també involucraven números regulars. Per eixemple, s'han trobat taules de quadrats regularsPlantilla:Sfnp i la tablilla trencada Plimpton 322 ha segut interpretada per Neugebauer com una llista de ternes pitagórico $(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)$ generades per $p$ i $q$ abdós regulars i menors que 60. Fowler i Robson discutixen el càlcul de raïls quadrades, com cóm els babilonios varen trobar una aproximació a la raïl quadrada de 2, potser usant aproximacions de fraccions en números regulars com 17/12.Plantilla:Sfnp

Bibliografia

• (1965).«Some Seleucid mathematical tables (estendre reciprocals and squares of regular numbers)».Revista d'estudis cuneïformes.Les escoles americanes d'investigació oriental.19(3)

79–86.doi:10.2307/1359089..

• (2001).«Periodicity of sinusoidal frequencies as a basis for the analysis of Baroque and Classical harmony: a computer based study».Universitat de Leeds.
• (1908).«On the Babylonian origin of Plat's nuptial number».Revista de la Societat Oriental Americana.Societat Oriental Americana.29

210–219.doi:10.2307/592627..

• (1995).«Ramanujan: letters and commentary».Societat Matemàtica Americana.9.
• (1970).«Actes de la XVIIⁱ Rencontre Assyriologique Internationale».Comité belga d'investigacions en Mésopotamia.

99–115..

• «Just intonation».Naturalea.15(377)

253..

• (1996).«The Book of Numbers».Copérnico.

172–176..

• (1976).«A Discipline of Programming».Prentice-Hall.

129–134.

• (1981).«Hamming's exercise in SASL»..
• (2007).«The range-restricted Hamming problem».
• «Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context».Història Mathematica.25(4)

366–378., page 375.

• (1965).«Eleven-digit regular sexagesimals and their reciprocals».Transaccions de la Societat Filosòfica Americana.Societat Filosòfica Americana.55(8)

3–38.doi:10.2307/1006080..

• (1889).«On the musical scale».Actes de l'Associació Musical.Real Associació Musical.16

16th Session, p. 1..

• (1972).«More on the superparticular ràtios in music».Mensual Americà de Matemàtiques.Associació Matemàtica d'Amèrica.79(10)

1096–1100.doi:10.2307/2317424..

• (1988).«The "Hamming problem" in Prolog».Avisos SIGPLAN de ACM.23(4)

81–86.doi:10.1145/44326.44335..

• (2006).«On the integrality of nth roots of generating functions».Revista de teoria combinatòria.113(8)

1732–1745.doi:10.1016/j.jcta.2006.03.018.

• (2005).«Convexity and the well-formedness of musical objects».Revista d'investigació sobre música nova.34(3)

293–303.doi:10.1080/09298210500280612.

• «Harmonic proportion and Palladio's Quattro Libri».Revista de la Societat d'Historiadors de l'Arquitectura.41(2)

116–143.doi:10.2307/989675.

• (1972).«Ancient Babylonian algorithms».Comunicacions de la ACM.15(7)

671–677.doi:10.1145/361454.361514.. A correction appears in CACM 19(2), 1976, stating that the tablet does not contain all 231 of the numbers of interest. The article (corrected) with a brief addendum appears in Selected Papers on Computer Science, CSLI Lecture Notes 59, Cambridge Univ. Press, 1996, pp. 185–203, but without the Appendix that was included in the original paper.

• (2003).«Intonation of harmonic intervals: adaptability of expert musicians to equal temperament and just intonation».Percepció musical.20(4)

383–410.doi:10.1525/mp.2003.20.4.383.

• (1962).«Letter to a musical friend».Resenya musical.(August)

244–248.

• (1974).«Musical "Marriages" in Plat's "Republic"».Revista de teoria musical.Prensa de l'Universitat de Duke.18(2)

242–272.

• (1995).«Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994)».Birkhäuser.Basel:

411–422.

• (1947).«Babylonian mathematical texts. I. Reciprocals of regular sexagesimal numbers».Revista d'estudis cuneïformes.Les escoles americanes d'investigació oriental.1(3)

219–240.doi:10.2307/1359434.

• (1971).«Musimatics or the nun's fiddle».Mensual Americà de Matemàtiques.Associació Matemàtica d'Amèrica.78(4)

351–357.doi:10.2307/2316896.

• Sloane, N. J. A.. «"OEIS (home page)"», The On-line Encyclopedia of Integer Sequences. (en en).
• (1897).«Quelques théorèmes sur l'équation de Pell x² − Dy² = ±1 et leurs applications».Societat Científica d'Escrits (Christiania), Math.-Naturv. Kl..I(2).
• (1992).«A generalized prime factor FFT algorithm for any N = 2^p3^q5^r».Revista SIAM sobre Computació Científica i Estadística.13(3)

676–686.doi:10.1137/0913039..

• «Estendre flowering intervals of bamboos evolved by discrete multiplication».Cartes d'ecologia.18(7)

653–659.doi:10.1111/ele.12442.

• «Alternative tunings, alternative tonalities».Resenya de música contemporànea.22(1–2)

3–14.doi:10.1080/0749446032000134715.

• (1992).«Hamming numbers, lazy evaluation, and eager disposal».Avisos SIGPLAN de ACM.27(8)

71–75.doi:10.1145/142137.142151..