Teorema del triàngul rectàngul de Fermat

Archiu:Fermat right triangles.svg

Dos triànguls rectànguls en els dos catetos del superior iguals al cateto i l'hipotenusa de l'inferior. Per a estes llongituts, $a^2$, $b^2$ i $c^2$ formen una progressió aritmètica separada per un espai de $d^2$. No és possible que les quatre llongituts $a$, $b$, $c$ i $d$ siguen número entero

La teorema del triàngul rectàngul de Fermat és una prova de no existència en teoria de números, publicada en 1670 entre els treballs de Pierre de Fermat, poc despuix de la seua mort. És l'única prova completa donada per Fermat. Té vàries formulació equivalents, una de les quals va ser enunciada (pero no provada) en 1225 per Leonardo de Pisa. En les seues formes geomètriques, diu: Un triàngul rectàngul en el pla para el que les tres llongituts dels costats són número racional no pot tindre un àrea que siga el quadrat d'un número racional. L'àrea d'un triàngul rectàngul de costats racionals es diu número congruente, per lo que cap número congruente pot ser un quadrat. Un triàngul rectàngul i un quadrat en àrees iguals no poden tindre tots els costats conmensurables entre sí. No existixen dos triànguls rectànguls de costats sancers en els que els dos catetos d'un triàngul siguen el cateto i la hipotenusa de l'atre triàngul. De manera més abstracta, com a resultat d'una equació diofántica (solucions d'número entero o racionals per a equacions polinòmiques), és equivalent a les declaracions de que: Si tres quadrats perfectes formen una progressió aritmètica, llavors la brecha entre números consecutius en la progressió (cridada congruum en llatí) no pot ser un quadrat. Els únics punts racionals en la curva elíptica $y^2=x(x-1)(x+1)$ són els tres punts trivials en $x\in \{-1,0,1\}$ i $y=0$. l'equació de quart grau $x^4-y^4=z^2$ no té una solució sancera distinta de zero. Una conseqüència immediata de l'última d'estes formulació és que l'última teorema de Fermat és verdader en el cas especial de que el seu exponent siga 4.

Formulació

Quadrats en progressió aritmètica

En 1225, l'emperador Frederico II va desafiar al matemàtic Leonardo de Pisa a participar en un concurs matemàtic contra varis atres matemàtics, en tres problemes plantejats pel filòsof de la cort Juan de Palermo. El primer d'estos problemes demanava tres número racional que els seus quadrats estigueren separats per cinc unitats, resolt per Fibonacci en els tres números $\frac{31}{12}$, $\frac{41}{12}$ i $\frac{49}{12}$.

En El Llibre dels Quadrats, publicat eixe mateix any per Fibonacci, va resoldre el problema més general de trobar ternes de quadrats perfectes que estigueren igualment separades entre sí, formant una progressió aritmètica. Fibonacci va cridar a la brecha entre estos números congruum.Plantilla:Sfnp Una forma de descriure la solució de Fibonacci és que els números a elevar al quadrat són la diferència de catetos, l'hipotenusa i la suma dels catetos d'una terna pitagórico, i que el congruo és quatre voltes l'àrea del mateix triàngul.Plantilla:Sfnp Fibonacci va observar que és impossible que un congruo siga un número quadrat en sí mateixa, pero no va presentar una prova satisfactòria d'este fet.

Si tres quadrats $a^2$, $b^2$ i $c^2$ pogueren formar una progressió aritmètica que el seu congruo fora també un quadrat $d^2$, llavors estos números satisfarien les equacions diofánticas

$$\begin{array}{cc}{a}^2+d^2& =b^2,\\ b^2+d^2& =c^2.\\ \end{array}$$

És dir, pel teorema de Pitágoras, formarien dos triànguls rectànguls de costats sancers en els que el parell $(d,b)$ dona un cateto i l'hipotenusa del triàngul menor i el mateix parell també forma els dos catetos del triàngul major. Pero si (com va afirmar Fibonacci) no pot existir un congruo de quadrats, llavors no pot haver dos triànguls rectànguls sancers que compartixquen dos costats d'esta manera.

Àrees de triànguls rectànguls

Degut a que els congruos són exactament els números que són quatre voltes l'àrea d'un triàngul pitagórico, i la multiplicació per quatre no canvia la condició d'un número quadrat (que seguix sent-ho), l'existència d'un congruo quadrat és equivalent a l'existència d'un triàngul pitagórico en un àrea que siga un quadrat. És esta variant del problema a la que es referix la prova de Fermat: mostra que no existix tal triàngul. En considerar este problema, Fermat no es va inspirar en Fibonacci sino en una edició de la Arithmetica de Diofanto d'Aleixandria, publicada en una traducció al francés en 1621 per Claude Gaspard Bachet de Méziriac.Plantilla:Sfnp Este llibre descrivia varis triànguls rectànguls especials les àrees dels quals tenien formes relacionades en els quadrats, pero no considerava el cas d'àrees que en sí mateixes eren quadrades.Plantilla:Sfnp

En reorganisar les equacions dels dos triànguls pitagórico anteriors i després multiplicar-les, s'obté l'única equació diofántica

$$b^4-d^4=(b^2-d^2)(b^2+d^2)=a^2{c}^2$$

que es pot simplificar introduint una nova variable $e=ac$ para

$$b^4-d^4=e^2.$$

Pel contrari, tres sancers positius qualssevol que obedixquen a l'equació $b^4-d^4=e^2$ conduïxen a un congruo de quadrats: per a estos números, els quadrats $(b^4-d^4-2b^2{d}^2{)}^2$, $(b^4+d^4{)}^2$ i $(b^4-d^4+2b^2{d}^2{)}^2$ formen una progressió aritmètica en el congruo $4b^2{d}^2(b^4-d^4)=(2bde{)}^2$, que és un quadrat en sí mateixa. Aixina, la solucionabilidad de $b^4-d^4=e^2$ és equivalent a l'existència d'un congruo de quadrats. Pero, si l'última teorema de Fermat tinguera un contraeixemple per a l'exponent $4$, una solució sancera per a l'equació $x^4+y^4=z^4$, llavors elevar al quadrat un dels tres números en el contraeixemple donaria tres números que resolen l'equació $b^4-d^4=e^2$. Per lo tant, la prova de Fermat de que cap triàngul pitagórico té un àrea quadrada implica la veritat del cas en exponent-$4$ de l'última teorema de Fermat.Plantilla:Sfnp

Una atra formulació equivalent del mateix problema implica número congruente, els números que són àrees de triànguls rectànguls que els seus tres costats són tots número racional. Multiplicant els costats per un denominador comú, qualsevol número congruente pot transformar-se en l'àrea d'un triàngul pitagórico, de la qual cosa se seguix que els número congruente són exactament els números formats en multiplicar un congruo pel quadrat d'un número racional. Per lo tant, l'existència d'un congruo quadrat és equivalent a l'afirmació de que el número 1 no és un número congruente. Una atra forma més geomètrica d'enunciar esta formulació és que és impossible que un quadrat (la forma geomètrica) i un triàngul rectàngul tinguen àrees iguals i tots els costats conmensurables entre sí.Plantilla:Sfnp

Curva elíptica

Archiu:Elliptic curve y^2 = x^3 - x.svg

La curva elíptica i² = x(x + 1)(x − 1). Els tres punts racionals (−1,0), (0,0) i (1,0) són els creus d'esta curva en l'eix x

Una atra forma equivalent de la teorema de Fermat involucra una curva elíptica que consistix en els punts que els seus coordenades cartesianas $(x,y)$ satisfan l'equació

$$y^2=x(x+1)(x-1).$$

Els punts (+1,0), (0,0) i (1,0) proporcionen solucions òbvies a esta equació. La teorema de Fermat és equivalent a afirmar que estos són els únics punts de la curva per als que tant $x$ com $y$ són racionals. Més generalment, els triànguls rectànguls en costats racionals i àrea $n$ es corresponen un per un en els punts racionals en coordenada positiva $y$ en la curva elíptica $y^2=x(x+n)(x-n)$.

Prova de Fermat

Durant la seua vida, Fermat va desafiar a varis atres matemàtics a provar l'inexistència d'un triàngul pitagórico en àrea quadrada, pero ell mateixa no va publicar la prova. No obstant, va escriure una prova en la seua còpia de l'Aritmètica de Diofanto, la mateixa còpia en la que va escriure que podia provar l'última teorema de Fermat. El fill de Fermat, Clement-Samuel, va publicar una edició d'este llibre, incloses les notes marginals de Fermat en la prova de la teorema del triàngul rectàngul, en 1670.

La demostració de Fermat està basada en un descens infinit. Mostra que, de qualsevol eixemple d'un triàngul pitagórico en àrea quadrada, es pot deduir un eixemple més menut. Ya que els triànguls pitagórico tenen àrees sanceres positives i no existix una seqüència descendent infinita d'número entero positius, tampoc pot existir un triàngul pitagórico en àrea quadrada.

En més detall, suponga's que $x$, $y$ i $z$ són els costats sancers d'un triàngul rectàngul en àrea quadrada. En dividir per qualsevol factor comú, es pot supondre que este triàngul és primitiuPlantilla:Sfnp i, a partir de la forma coneguda de tots els triples pitagórico primitius, es pot establir que $x=2pq$, $y=p^2-q^2$ i $z=p^2+q^2$, per lo que el problema es transforma en trobar número entero primers relatius entre sí $p$ i $q$ (un dels quals és parell), tals que l'àrea $pq(p^2-q^2)$ és quadrada. Per a que este número siga un quadrat, els seus quatre factors llineals $p$, $q$, $p+q$ i $p-q$ (que són primers entre sí) deuen ser quadrats. Sean $p+q=r^2$ i $p-q=s^2$. Tant $r$ com $s$ deuen ser impars, ya que exactament un de $p$ o $q$ és parell i l'atre és impar. En conseqüència, tant $r-s$ com $r+s$ són parells, i un d'ells és divisible per 4. Dividir-los per dos produïx dos sancers més $u=(r-s)/2$ i $v=(r+s)/2$, un dels quals és parell per la proposició anterior. Com $u^2+v^2=(r^2+s^2)/2=p$ és un quadrat, $u$ i $v$ són els catetos d'un atre triàngul pitagórico primitiu l'àrea del qual és $uv/2=q/4$. Com $q$ és en sí mateixa un quadrat i com $uv$ és parell, $q/4$ és un quadrat. Per lo tant, qualsevol triàngul pitagórico en àrea quadrada conduïx a un triàngul pitagórico més chicotet en àrea quadrada, completant la prova.