Càdlàg

En matemàtiques, càdlàg (del francés "continue à droite, llimite à gauche" 'continu a la dreta, llímit a l'esquerra'), CDLI (“continu/a a la dreta en llímits esquerres”) o cadlai ("continu/a a (la) dreta, llímit a (la) esquerra") és una denominació que s'aplica tant a funcions definides sobre els número real, com a un atre tipo d'objectes. Es referix a una classe d'objectes per als que es té continuïtat lateral per la dreta i per als quals es té simultàneament que existixen les seues llímits per l'esquerra en tots els seus punts.

Les funcions càdlàg són importants en l'estudi dels processos estocàstics a on s'admet (o inclús es requerix) l'existència de bots, a diferència de lo que succeïx en el moviment browniano, que exhibix realisacions que són trayectòries contínues. La colecció de totes les funcions càdlàg sobre un domini donat es coneix com a espai de Skorokhod.

Dos térmens relacionats en càdlàg són càglàd ("continue à gauche, llimite à droite") i càllàl ("continue à l'un, llimite à l’autre"), per a una funció que és intercambiablemente càdlàg o càglàd en cada punt del domini.

Definició

Archiu:Discrete probability distribution illustration.png

Les distribucions acumulatives de provabilitat són eixemples de funcions càdlàg.

Siga (M, d) un espai mètric i siga I ⊆ R. Una funció ƒ: I → M es denomina funció càdlàg si per a cada t ∈ I,

• el llímit per l'esquerra ƒ(t−) := lim_s↑t ƒ(s) existix; i
• el llímit per la dreta ƒ(t+) := lim_s↓t ƒ(s) existix i és igual a ƒ(t).

És dir, ƒ és contínua per la dreta en llímit per l'esquerra.

Eixemples

• Totes les funcions contínues són funcions càdlàg.
• Com a conseqüència de la seua definició, totes les funciones de distribució són funcions càdlàg. Per eixemple, la provabilitat acumulada en un punt $r$ correspon en la provabilitat de tindre un valor menor o igual que $r$, és dir, $\mathbb{P}[x\le r]$. En atres paraules, la mida del interval semiabierto de la forma $(-\mathrm{\infty },r]$.
• La derivada per la dreta f₊' de qualsevol funció convexa f definida en un interval obert, és una funció càdlàg creixent.

Espai de Skorokhod

El conjunt de totes les funcions càdlàg de I a M es denota freqüentment per D(I; M) (o simplement D) i es denomina espai de Skorokhod en honor al matemàtic ucranià Anatoliy Skorokhod [si M és un espai vectorial llavors l'espai de Skorohod D(I; M) també serà un espai vectorial]. En tots els casos a l'espai de Skorokhod se li pot assignar una topología més flexible que l'associada a la convergència uniforme. Per simplicitat, es considerarà en lo sucesivo I = [0, T] i M = Rⁿ — vore Billingsley per a una construcció més general.

Per a caracterisar este espai, es definix primerament un anàlec del mòdul de continuïtat, ϖ′_ƒ(δ). Per a qualsevol F ⊆ I, es pren:

i per a δ > 0, es definix el mòdul càdlàg com

a on l'ínfim es pren sobre totes les particions Π = {0 = t₀ < t₁ < … < t_k = T}, k ∈ N, en min_i (t_i − t_i−1) > δ. Esta definició té sentit per a qualsevol funció senar-càdlàg ƒ (de la mateixa manera que el mòdul de continuïtat usual està ben definit per a funcions discontínues) i pot demostrar-se que ƒ és càdlàg si i només si ϖ′_ƒ(δ) → 0 com δ → 0.

Ara siga Λ denota el conjunt de totes les funcions estrictament creixents, contínues i biyectivas de I en sí mateixa. Es definix la norma uniforme de funcions sobre I com:

$\Vert f\Vert :=\underset{t\in E}{\sup }|f(t)|$

que permet definir la mètrica de Skorokhod σ sobre D per mig de la relació:

a on I: I → I és la funció identitat. En térmens intuïtius ||λ − I|| medix el tamany de la "ondulació en el temps" i ||ƒ − g○λ|| medix el tamany de la "ondulació en l'espai".

Pot demostrar-se que la mètrica de Skorohod és de fet una mètrica en el sentit usual. La topología Σ generada per σ es diu topología de Skorokhod sobre D.

Propietats de l'espai de Skorokhod

Generalisació de la topología uniforme

L'espai C de funcions contínues sobre I és un subespacio topològic de D. La topología de Skorokhod relativizada a C coincidix en la topología uniforme.

Completitud

Pot demostrar-se que, encara que D no és un espai complet respecte a la mètrica de Skorokhod metric σ, existix una mètrica topológicamente equivalent σ₀ sobre la qual D és completa.

Separabilidad

Sobre σ o σ₀, D és un espai separable. Aixina, l'espai de Skorokhod és un espai polac.

Apretamiento en l'espai de Skorokhod

Aplicant el teorema de Arzelà-Ascoli, pot demostrar-se que la successió (μ_n)_n=1,2,… de mediades de provabilitats en l'espai de Skorokhod D és apretada si i només si es donen les dos condicions:

i

Estructura algebraica i topològica

Baixe la topología de Skorokhod i l'adició de funcions, D no és un grup topològic, com pot vore's en el següent eixemple:

Siga $E=[1,2)$ un interval unitari i prenga's $f_n={\chi }_{[1-1/n,2)}\in D$ com una seqüència de funcions característiques. A pesar del fet de que $f_n\to {\chi }_{[1,2)}$ en la topología de Skorokhod, la successió $f_n-{\chi }_{[1,2)}$ no convergix a 0.

Referències

Bibliografia

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure, New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures, New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-19745-9.