Con (topología)

Archiu:Arbitrary cone.svg

Con d'un espai topològic. L'espai original està pintat de roig.

En topología i, en particular, en topología algebraica, el con $CX$ d'un espai topològic $X$ és l'espai cocient següent:

$CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})$

Intuitivament, es forma un cilindre en base $X$ i s'identifiquen tots els punts de la cara superior en un sol punt, formant un con.

Eixemples

• El con construït sobre un punt $\{p\}$ de la recta real $ℝ$ és el segment $\{p\}\times [0,1]$ de ${ℝ}^2$.
• El con construït sobre dos punts $\{0,1\}$ és un espai "en forma de V" en extrems en 0 i 1.
• El con construït sobre un interval real $I\subseteq ℝ$ és un triàngul pla (en el seu interior).
• El con construït sobre un polígon $P$ és una piràmide de base $P$.
• El con construït sobre un disc és el con sòlit de la geometria clàssica. D'ací rep el nom el concepte topològic.
• El con construït sobre una circumferència és la superfície del con anterior: $\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:x^2+y^2=(1-z{)}^2,0\le z\le 1\}$. Este últim és homeomorfo, proyectant-ho sobre el pla XY, al disc ${𝔻}^2$.
• Generalisant l'eixemple anterior, es té que $C{𝕊}^n\simeq {𝔻}^{n+1}$, és dir, el con d'una n-esfera és homeomorfo a una (n+1)-bola.
• El con construït sobre un n-símplex és un (n+1)-símplex.

Propietats

El con d'un espai és contràctil (en particular, conexo per camins i simplement conexo) puix l'identitat és homótopa a constant (igual al vèrtiç del con) per la homotopía $H:CX\times [0,1]\to CX$ donada per $H(([(x,s)],t))=[(x,t+(1-t)s)]$, a on $[(x,s)]$ denota la classe d'equivalència de $(x,s)\in X\times [0,1]$ per la relació d'equivalència per la que es fa el cocient $CX=(X\times [0,1])/(X\times \{1\})$.

El con s'usa en topología algebraica precisament perque transforma qualsevol espai topològic en un subespacio d'un espai contràctil: $X\simeq X\times \{1\}\subseteq CX$.

Referències

• Plantilla:Ref lliure
• Jänich, Klaus (2008). Topologia, Berlin: Springer.