Cuadritensor

En física, específicament en la teoria de la relativitat especial i en la relativitat general, el terme cuadritensor s'utilisa com una abreviatura de tensor definit en un espai-temps de quatre dimensions.^[1]

Generalitats

Els cuadritensores generals habitualment s'escriuen en notació tensorial indexada com

A_{ν_{1}, ν_{2}, ..., ν_{m}}^{μ_{1}, μ_{2}, ..., μ_{n}}

en els índexs prenent valors sancers de 0 a 3, en 0 per a les components temporals i 1, 2, 3 per a les components espacials. Posseïxen n índexs contravariantes i m índexs covariants.^[1]

En la relativitat especial i general, molts cuadritensores d'interés són de primer orde (cuadrivectorés) o de segon orde, pero existixen tensors d'orde superior. A continuació s'enumeren alguns eixemples.

En relativitat especial, la base del vector pot restringir-se a ser ortonormal, en el cas del qual tots els cuadritensores es transformen baix la transformació de Lorentz. En la relativitat general, són necessàries transformacions de coordenades més generals, ya que en general tal restricció no és possible.

Eixemples

Tensors de primer orde

Artícul principal → Cuadrivector.

En la relativitat especial, un dels eixemples no trivials més simples d'un cuadritensor és el que representa quatre desplaçaments:

x^{μ} = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (c t, x, y, z)

un cuadritensor en ranc contravariante 1 i ranc covariant 0. Este tipo de tensors solen conéixer-se com cuadrivectorés. Ací, la component x⁰ = ct dona el desplaçament d'un cos en el temps (el temps de coordenades t es multiplica per la velocitat de la llum c, de modo que x⁰ té dimensions de llongitut). Els components restants dels quatre desplaçaments formen el vector de desplaçament espacial x = (x¹, x², x³).^[1]

El cuadrimomento per a partícules en massa o para partícules sense massa és

p^{μ} = (p^{0}, p^{1}, p^{2}, p^{3}) = (\frac{1}{c} E, p_{x}, p_{y}, p_{z})

combinant la seua energia (dividida per c), p⁰ = I/c i la cantitat de moviment p d'orde 3 és

p = (p¹, p², p³).^[1]

Per a una partícula en massa invariante $m_{0}$ , també coneguda com massa en repòs, es definixen quatre impulsos

p^{μ} = m_{0} \frac{d x^{μ}}{d τ}

sent $τ$ el temps propi de la partícula.

La massa relativista és $m = γ m_{o}$ en factor de Lorentz

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{d t}{d τ}

Tensors de segon orde

El tensor mètric de Minkowski en base ortonormal per a la convenció de signes (−+++) és

η^{μ ν} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

S'utilisa per a calcular elements de llínea i pujar i baixar índexs. Lo anterior s'aplica a les coordenades cartesianas. En la relativitat general, el tensor mètric ve dau per expressions molt més generals per a coordenades curvilíneas.

El moment angular L= x ∧ p d'una partícula en massa relativista m i cantitat de moviment p (medit per un observador en el sistema de referència d'un laboratori) es combina en una atra cantitat vectorial N= mx − pt (sense nom estàndar) en el tensor del moment angular relativiste^[2]^[3]

M^{μ ν} = (\begin{matrix} 0 & - N^{1} c & - N^{2} c & - N^{3} c \\ N^{1} c & 0 & L^{12} & - L^{31} \\ N^{2} c & - L^{12} & 0 & L^{23} \\ N^{3} c & L^{31} & - L^{23} & 0 \end{matrix})

en components

M^{α β} = X^{α} P^{β} - X^{β} P^{α}

El tensor d'energia-impulse d'un continu o camp generalment pren la forma d'un tensor de segon orde i es denota per T. La component temporal correspon a la densitat d'energia (energia per unitat de volum), els components mixts de l'espai-temps a la densitat del moment (moment per unitat de volum) i les parts purament espacials al tensor de tensió 3d.

El tensor de camp electromagnètic combina el camp elèctric I i el camp magnètic B

F^{μ ν} = (\begin{matrix} 0 & - E_{x} / c & - E_{y} / c & - E_{z} / c \\ E_{x} / c & 0 & - B_{z} & B_{y} \\ E_{y} / c & B_{z} & 0 & - B_{x} \\ E_{z} / c & - B_{y} & B_{x} & 0 \end{matrix})

El tensor de desplaçament electromagnètic combina la densitat de fluix elèctric D i el camp magnètic H de la següent manera^[4]

𝒟^{μ ν} = (\begin{matrix} 0 & - D_{x} c & - D_{y} c & - D_{z} c \\ D_{x} c & 0 & - H_{z} & H_{y} \\ D_{y} c & H_{z} & 0 & - H_{x} \\ D_{z} c & - H_{y} & H_{x} & 0 \end{matrix}) .

El tensor de magnetisació-polarisació combina els camps P i M

ℳ^{μ ν} = (\begin{matrix} 0 & P_{x} c & P_{y} c & P_{z} c \\ - P_{x} c & 0 & - M_{z} & M_{y} \\ - P_{y} c & M_{z} & 0 & - M_{x} \\ - P_{z} c & - M_{y} & M_{x} & 0 \end{matrix}),

Els tres tensors de camp estan relacionats per

𝒟^{μ ν} = \frac{1}{μ_{0}} F^{μ ν} - ℳ^{μ ν}

lo que equival a les definicions dels camps D i H.

El moment dipolar químic d i el moment dipolar magnètic μ d'una partícula s'unifiquen en un sol tensor^[5]

σ^{μ ν} = (\begin{matrix} 0 & d_{x} & d_{y} & d_{z} \\ - d_{x} & 0 & μ_{z} / c & - μ_{y} / c \\ - d_{y} & - μ_{z} / c & 0 & μ_{x} / c \\ - d_{z} & μ_{y} / c & - μ_{x} / c & 0 \end{matrix}),

El tensor de Ricci és un atre tensor de segon orde.

Tensors d'orde superior

En la relativitat general, existixen tensors de curvatura que tendixen a ser d'orde superior, com el tensor de curvatura i el tensor de curvatura de Weyl, abdós tensors de quart orde.

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Lambourne, Robert J A. Relativity, Gravitation and Cosmology. Cambridge University Press. 2010.
↑ R. Penrose (2005). El camí a la realitat: Una guia completa a les lleis de l'univers, vintage books, pp. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Note: Some authors, including Penrose, use Latin letters in this definition, even though it is conventional to use Greek indices for vectors and tensors in spacetime.
↑ M. Fayngold (2008). Special Relativity and How it Works, John Wiley & Sons, pp. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.
↑ Barut, A.O.. Electrodynamics and the Classical theory of particles and fields, Dover, p. 96. ISBN 978-0-486-64038-9.
↑ Barut, A.O.. Electrodynamics and the Classical theory of particles and fields, Dover, p. 73. ISBN 978-0-486-64038-9. No factor of c appears in the tensor in this book because different conventions for the EM field tensor.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cuadritensor» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Lambourne_2010-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Lambourne, Robert J A. Relativity, Gravitation and Cosmology. Cambridge University Press. 2010.

[2] R. Penrose (2005). El camí a la realitat: Una guia completa a les lleis de l'univers, vintage books, pp. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Note: Some authors, including Penrose, use Latin letters in this definition, even though it is conventional to use Greek indices for vectors and tensors in spacetime.

[3] M. Fayngold (2008). Special Relativity and How it Works, John Wiley & Sons, pp. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.

[4] Barut, A.O.. Electrodynamics and the Classical theory of particles and fields, Dover, p. 96. ISBN 978-0-486-64038-9.

[5] Barut, A.O.. Electrodynamics and the Classical theory of particles and fields, Dover, p. 73. ISBN 978-0-486-64038-9. No factor of c appears in the tensor in this book because different conventions for the EM field tensor.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]