Propietats de les raïls polinòmiques

Vore també: Aïllament de raïls reals

Archiu:Polinomio tres raíces.svg

Eixemple de polinomi de tercer grau en coeficients sancers i tres raïls sanceres (-1, 1 i 2)

En matemàtiques, un polinomi de grau $n$ en coeficients reals o complexos sempre posseïx $n$ raïls complexes (sense oblidar que els número real formen part dels complexos), i tenint en conte el seu possible multiplicitat. Formen un conjunt de $n$ punts en el pla complex. Este artícul es referix a les propietats geomètriques d'estos punts en el pla complex que es poden deduir del grau i dels coeficients del polinomi.

Algunes d'estes propietats geomètriques, com els llímits superiors dels valors absoluts de les raïls, que definixen un disc que conté totes les raïls, o els llímits inferiors de la distància entre dos raïls, s'utilisen àmpliament en la resolució numèrica d'equacions no llineals per a polinomis, ya siga per a ajustar-los o per a calcular el seu complexitat computacional. Atres propietats són provabilístiques, com el número esperat de raïls reals d'un polinomi aleatori de grau $n$ en coeficients reals, que és menor que $1+\frac{2}{\pi }\ln (n)$ per a $n$ suficientment gran.

En este artícul, un polinomi sempre es denota com:

$p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n,$

a on $a_0,\dots ,a_n$ són número real o complexos i $a_n\ne 0$; i per lo tant, $n$ és el grau del polinomi.

Dependència contínua dels coeficients

Les raïls n d'un polinomi de grau n depenen de forma contínua dels coeficients. Per a raïls simples, açò es deduïx directament del teorema de la funció implícita. Açò també és cert per a múltiples raïls, pero es necessita cert conte per a demostrar-ho.

Un chicotet canvi de coeficients pot induir un canvi dràstic de les raïls, inclós el canvi d'una raïl real a una raïl complexa en una part imaginària prou gran (vore polinomi de Wilkinson). Una conseqüència és que, per als algoritmes de busca de raïls numèrics clàssics, el problema d'aproximar les raïls donats els coeficients és un problema mal condicionat.

Conjugació

El teorema de la raïl conjugada complexa establix que si els coeficients d'un polinomi són reals, llavors les raïls no reals apareixen en parells de la forma (a + ib, a – ib).

D'això es deduïx que les raïls d'un polinomi en coeficients reals són especularment simètriques sobre l'eix real.

Açò es pot estendre a la conjugació algebraica: les raïls d'un polinomi en coeficients racionals són conjugades (és dir, invariantes) baixe l'acció del grup de Galois del polinomi. No obstant, esta simetria rara volta es pot interpretar geomètricament.

Vore també

• Regla dels signes de Descartes: Víncul entre el número de raïls positives d'un polinomi i els signes dels seus coeficients
• Teorema de Marden: Relació geomètrica entre els zeros d'un polinomi cúbic i la seua derivada
• Identitats de Newton: Relacions entre sumes de potència i funcions simètriques elementals
• Funció quadràtica: Llímit superior de la magnitut de les raïls
• Aïllament de raïls reals: Métodos per a localisar les raïls reals d'un polinomi
• Resolució numèrica d'equacions no llineals: Algoritmes per a trobar zeros de polinomis
• Polinomi lliure de quadrats: Polinomi sense raïls repetides
• Relacions de Cardano-Vieta: Relacions entre els coeficients i les raïls d'un polinomi

Referències

• (2002) Analytic theory of polynomials (vol. 26), Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0.
• .