Triàngul sagrat egipcíac

Triàngul sagrat egipcíac, o triàngul egipcíac, és el nom modern del triàngul rectàngul els costats del qual tenen les llongituts 3, 4 i 5, o les seues mides guarden estes proporcions. És el triàngul rectàngul més fàcil de construir i, possiblement, es va utilisar per a obtindre ànguls rectes en les construccions arquitectòniques des de la més remota antiguetat. El triàngul rectàngul semblant, de 15, 20, 25 colzes egipcíacs, es va amprar en l'Antic Egipte i va ser cridat «Isíaco» (de la deesa Isis).

El triàngul egipcíac, de mides 3, 4, 5.

Orige del nom

Encara que no es coneix d'a on prové el seu nom, se sap que els antics tenien una geometria sagrada que possiblement era mantinguda com a doctrina secreta pels sacerdots, i es va eixercir en Babilonia, en l'Antic Egipte i en l'Antiga Grècia. Qualsevol haja segut la raó, este triàngul té numeroses propietats notables.

Propietats

Este triàngul, tan conegut i utilisat per a obtindre ànguls rectes, té moltes propietats, tant aritmètiques o geomètriques, com de coincidències en periodos astronòmics, tals com el periodo de revolució sinódica d'un planeta visible a simple vista o els múltiples mínims comuns de varis d'eixos periodos.

Similituts en atres triànguls rectànguls

• Com tot triàngul rectàngul complix el teorema de Pitágoras: x² + i² = z²; x = k(m² - n²), i = k(2mn), z = k(m² + n²), a on m i n són sancers positius de distinta paritat (Vore: número par i impar) en m > n i k és un sancer positiu qualsevol. Si k = 1 tenim totes les ternes primitives i conservant m i n el producte per k qualsevol produïx triànguls semblants de ternes no primitives, puix k és el divisor comú. Alguns autors escriuen i = k(mn) i dividixen per 2 als atres térmens. Açò canvia les condicions per a m i n, que deuen ser, llavors, abdós impars i cosins entre sí per a que les ternes siguen primitives.

• Les solucions sanceres de l'equació x² + i² = z²[1] són: x = k (o²-v²); i = k 2uv; z = k (o²+v²). Tots són sancers positius distints de 0, k un sancer arbitrari, o > v sancers de distinta paritat. Per a les ternes primitives k = 1. El triàngul sagrat egipcíac és una terna primitiva i la seua superfície, com la de tots els triànguls rectànguls primitius, és una expressió cúbica que coincidix en la forma algebraica dels número congruente de Fibonacci. La seua expressió algebraica és: uv (o²-v²) = o³v - v³o. Per a ternes no primitives, la superfície és k² uv (o²-v²) i també resulta un número congruente de Fibonacci si o i v són abdós impars. Fibonacci va introduir estos números en la seua obra Liber quadratorum (1225). No està clar per qué demana que abdós sancers o i v siguen impars i després demostra que un número d'esta classe es transforma en un atre de la mateixa categoria si li'l multiplica per un quadrat. D'esta forma, el més chicotet d'ells és 24 = 3.1 (3²-1²). Pero s'obtenen els mateixos resultats i identitats si es lleva la restricció de que abdós siguen impars. Com les expressions trobades per a les solucions sanceres de l'equació [1] formen una identitat, també la fòrmula val per a número real, encara que servix per a triànguls rectànguls en catetos desiguals únicament. No obstant, cal considerar que en l'Antiguetat els número entero es consideraven com a segments de recta i els racionals eren una raó entre segments de rectes. Es buscava, llavors, resoldre triànguls rectànguls de costats sancers. Usant i = mn i dividint els atres dos térmens per 2 la superfície del triàngul resulta ser la quarta part del congruent i un quarto és el quadrat d'un mig. D'esta manera la superfície resulta ser també un congruent, perque un congruent multiplicat per un quadrat també és un congruent. Si usem la primera fòrmula resolvent, en i = 2mn la superfície del triàngul no és un congruent sino la seua mitat.

Ànguls aguts

L'amplitut dels seus ànguls aguts és: 36º52'11,631" i 53º7'48,368".

Propietats aritmètic-geomètriques

• És el triàngul rectàngul diofántico menor que puga ser construït i, ademés, en un cateto i l'hipotenusa número primo. Segons va estudiar Fermat, les úniques hipotenuses primeres són de la forma 4m + 1, a on m és un número natural. Quan la terna que formen els costats té elements primers entre sí es denomina terna primitiva. El doctor Tobías Dantzig, de l'Universitat de Columbia, va denominar «primàries» a les ternes primitives en hipotenusa primera, encara que va ser Fermat qui va fer la distinció entre hipotenuses primeres i compostes, donant tots els casos possibles de descomposició en suma de dos quadrats per a hipotenuses compostes. Els catetos primers són de la forma 4m + 3, admetent en este cas el zero ademés dels número natural per al valor assignat a m.

• Si A designa a un àngul d'una circumferència en el vèrtiç en el centre, i B i C a atres dos, tals que estan en progressió aritmètica de raó A/5, i A > B > C, els arcs rectificats de tals ànguls formen un triàngul rectàngul semblant al triàngul sagrat egipcíac (3, 4, 5). La successió és: 3/5 A, 4/5 A, 5/5 A, que és igual al producte de la terna (3, 4, 5) per un quint de A. Resulta evident que la suma dels quadrats dels catetos és igual al quadrat de l'hipotenusa. Com a eixemple aclaratorio, tenim que el triàngul sagrat egipcíac (3, 4, 5) té els seus costats corresponents a les llongituts rectificades dels arcs dels ànguls centrals: 171, 8873385º, 229, 1831181º i 286, 4788976º; sent la raó de la progressió aritmètica l'àngul d'un radián: 57,29577951º, que és la quinta part de 286, 4788976º. Existix una correspondència biunívoca entre un arc i l'àngul que ho comprén i conserva les operacions, per lo que és un isomorfisme. D'això resulta que la suma dels quadrats dels dos ànguls menors és igual al quadrat del major.

• El triàngul conté al primer parell de números primers bessons. Si cridem «n» al valor d'un costat de la terna primitiva, cada u d'ells permet calcular un atre parell d'número primo bessons, d'acort en les següents fòrmules: $\frac{n^3-n}{2}$ - 1 i $\frac{n^3-n}{2}$ + 1.

Propietats musicals i de proporcions

L'escala natural, escala perfecta o escala de Claudio Ptolomeo, que és una modificació de l'escala per intervals de quinta de Pitágoras, comença per la nota DO, que correspon a l'unitat, i a una freqüència de 264 Hz = f (o cicles per cada segon); continua RE: 9/8 f = 27/24 f - 297 Hz; MI: 5/4 f = 30/24 f - 330 Hz; FA: 4/3 f =32/24 f - 352 Hz; SOL: 3/2 f = 36/24 f - 396 Hz; LA: 5/3 f = 40/24 f - 440 Hz; SI, 15/8 f = 45/24 f - 495 Hz; DO, 2 f = 48/24 f - 528 Hz.

La nota FA és la mija harmònica de l'octava i SOL correspon a sesqui voltes el Do inicial (està sesqui-relacionada en el DO). Tant el SOL com el DO que completa l'octava representen als catetos del triàngul sagrat egipcíac (3/2, 2, 5/2), d'igual forma en les seues proporcions com en les seues freqüències. L'hipotenusa del triàngul està en l'octava següent i correspon a la nota MI, 5/2 = 60/24 - 660 Hz (la proporció presa des del Do inicial de l'anterior escala). Els triànguls (3/2, 2, 5/2), (3, 4, 5) i (396, 528, 660) són semblants. El tercer és 264 voltes el primer i 132 voltes el segon.

Si dibuixem un triàngul sagrat egipcíac, el seu recta de Euler part del vèrtiç de l'àngul recte fins al punt mig de l'hipotenusa. El vèrtiç de l'àngul recte és l'ortocentre i en la mitat de l'hipotenusa es troba el circumcentre, que permet traçar la circumferència que circumscriu al triàngul. Eixa recta dividix al triàngul en dos triànguls isósceles, els ànguls dels quals, no idèntics, són, respectivament: 106° 15' 36,737" i 73° 44' 23,263". El valor que pren la funció sen (vore Trigonometria) de l'últim àngul és igual a 24/25, el número pel que cal multiplicar una nota de l'escala natural per a obtindre la seua bemol. En realitat, el cocient 24/25 no és el coeficient que correspon a l'escala de Claudio Ptolomeo, sino a l'escala física o "Gama dels Físics" de Zarlino. Les escales pitagórico, natural o de Zarlino són formalment diferents, pero pràcticament indistinguibles. L'oït humà promig no percep la diferència entre les tres escales i, inclusivament, entre l'escala introduïda per Bach, en la que les notes estan desafinadas sobre l'escala pitagórico en un doceavo de to, com a màxim.

Costats en progressió aritmètica

La semi-secció meridiana de la Gran Piràmide és un triàngul rectàngul els costats del qual són proporcionals als números 1, en la base, la raïl quadrada del número áureo, per a l'altura, i el número áureo per a l'hipotenusa, que correspon a l'apotema de la piràmide. Este triàngul és l'únic que té els seus costats en progressió geomètrica i el que fa possible que es complixca matemàticament la propietat enunciada per Heródoto: que el quadrat de l'altura de la piràmide és igual a la superfície d'una cara. La segona piràmide de Guiza, també coneguda com la piràmide de Kefrén, té un semi-triàngul meridiano proporcional al triàngul sagrat egipcíac (3, 4, 5), l'únic que té als seus costats en progressió aritmètica. Dit triàngul té la base proporcional a 3 i l'altura a 4. Açò fa que la piràmide de Kefrén, més chicoteta que la Gran Piràmide, es veja com més alta i important. Les dos afirmacions sobre els triànguls en costats en progressions aritmètica i geomètrica dels seus costats varen ser demostrades per W. A. Price, en The Field, Londres, segons afirma Matila Ghyka. La piràmide Nort de Dahshur, la tercera del grup, es semi-secciona en el triàngul rectàngul proporcional al triàngul (20, 21, 29).

Àrea i relació a les gavetes dels seus costats

El triàngul sagrat egipcíac té atres propietats notables. Plutarco senyala que la seua àrea és 6 (el primer número perfecte) i que la gaveta de la seua àrea és igual a la suma de les gavetes dels seus costats. Platón es basa en esta igualtat per a calcular un número que crida «nupcial» (República, llibre VIII). Platón va ser discípul de Sócrates, pero també tota la seua obra es troba impregnada de la filosofia de Pitágoras, encara que en algunes variants pròpies d'un alumne que aventaja al seu lluntà mestre. Els pitagórico calificaven als número par com a femenins i als impar com a masculins. L'unitat no era considerada un número, sino el símbol de la divinitat abans de la creació per la dualitat diferenciadora (negació-afirmació, llum-obscuritat, femení-masculí, etc.), el primer número era el 2, considerat femení, i el 3 era el primer número masculí. Per a l'escola pitagórico el número 5 era el símbol del matrimoni, l'unió dels dos primers números de distint sexe. Platón, no obstant, denomina «nupcial» al producte de tals números.

Un triàngul sagrat en qualsevol paràbola

Podem relacionar un triàngul semblant al triàngul sagrat egipcíac en qualsevol paràbola. El vèrtiç corresponent a la reunió de l'hipotenusa en el cateto proporcional a 4 està en el foc de la paràbola. El punt mig d'eixe cateto és un punt de la paràbola, a on culmina el costat recte. Si tracem un segment de recta perpendicular a l'atre extrem del cateto -opost al foc- i marquem un punt distant tres quartes parts de la llongitut d'este mateix cateto en el sentit d'obertura de la curva, estem sobre un atre punt de la curva. El vèrtiç de la paràbola dista del foc una distància igual a una quarta part de la llongitut d'este cateto proporcional a 4 del triàngul descrit. Per a la paràbola i = x² els punts que definixen al triàngul són: (0, ¼), (1, ¼) i (1, 1). Este triàngul és ¼ (3, 4, 5). Ya que totes les paràboles tenen la mateixa forma, sempre es podrà ubicar un triàngul semblant en diferents escales. Per la simetria axial de la paràbola hi ha dos triànguls idèntics en cada paràbola i un tercer, isósceles, en base proporcional a 8 i altura proporcional a 3, en les hipotenuses dels dos primers com a costats iguals.

Propietats relacionades en mides angulars i astronòmiques

Els números 40 i 60 estan sesqui-relacionats, puix 60 és una volta i mija 40 (vore Sistema sexagesimal). El número 40 és el divisor comú màxim dels múltiples mínims comuns dels periodos de les revolucions sinódicas dels planetes visibles, presos dos a dos, tres a tres o fins a en el seu conjunt (vore: periodo orbital). Obtindre el mínim comú múltiple de la duració de dos revolucions sinódicas permet saber en quants dies es repetix una observació en el cel i, per tant, servix per a elaborar calendaris.

Propietats relacionades en les seccions de les piràmides de Guiza

Els números 40 i 60 en els tres costats de triànguls rectànguls:

(24, 32, 40) = 8 (3, 4, 5) l'hipotenusa és el tercer número de la terna.

(9, 40, 41)

(40, 42, 58) = 2 (20, 21, 29)

(36, 48, 60) = 12 (3, 4, 5)

(11, 60, 61)

(60, 63, 87) = 3 (20, 21, 29)

Mostren la relació de la segona i la tercera piràmides de Guiza.

Notes i referències

• Ghyka, Matila (1933). Estètique dones proportions dans la nature et dans els arts, Pariu: Gallimard. [En este llibre podran trobar confirmació a la cita de la demostració de W. A. Price i a les semisecciones de les tres piràmides de Gizeh. També conté alguna cosa sobre el triàngul sagrat. De llectura recomanada, és un llibre de gran profunditat i cabal informatiu.]

Bibliografia

• Ghyka, Matila (1953). Estètica de les proporcions en la naturalea i en les arts, Buenos Aires, Argentina: Editorial Poseidón.
• Dantzig, Tobías (1971). El número. Llenguage de la ciència, Buenos Aires, Argentina: Editorial Hobbs Suramericana S.A.. Traduït de la quarta edició en anglés, pel doctor Manuel Balanzat i Fernando Lida García, corregit i aumentat. Primera edició en Argentina: 1947. Traducció del doctor Manuel Balanzat. Editada per E. S. Cabrera i H. J. Médici i publicat per Llibreria del Colege S. A.
• Dantzig, Tobias (1930, 1933, 1939, 1954). Number The Languaje of Science (A Critical Survey Written for the Cultured Senar Mathematician), Nova York: The Macmillan Company (originals).
• Dantzig, Tobias (1967). Number. The Languaje of Science (A Critical Survey Written for the Cultured Senar Mathematician), Nova York: The Free Press.
• Guelfond, A. O. (1979). Resolució d'equacions en número entero, Moscou: Editorial Mir, Colecció Lliçons Populars de Matemàtiques, capítul 3, pàgines 20 a 25. Traducció del rus de l'ingenier Cristóbal García Galán.
• Belski/Kaluzhnin (1980). Divisió inexacta, Moscou: Editorial Mir, Colecció Lliçons Populars de Matemàtiques, capítul 4, pàgines 22 a 26.

Vore també

• Tobías Dantzig
• Matila Ghyka
• American Mathematical Monthly