Estructura grossa

En els camps matemàtics de la geometria i de la topología, una estructura grossa en un conjunt X és una colecció de subconjunts del producte cartesiano X × X en certes propietats que permeten definir la estructura a gran escala d'espais mètrics i d'espais topològics.

L'objecte d'estudi tradicional de la geometria i de la topología és l'estructura a chicoteta escala de l'espai: propietats com la continuïtat d'una funció depenen de si les imàgens inverses de menuts conjunts oberts, o entorns, són en sí mateixes obertes. Les propietats a gran escala d'un espai, com el caràcter d'acotat o els graus de llibertat de l'espai, no depenen de dites característiques. La geometria grossa i la topología grossa proporcionen ferramentes per a medir les propietats a gran escala d'un espai, i aixina com una mètrica o una topología contenen informació sobre l'estructura a chicoteta escala d'un espai, una estructura grossa conté informació sobre les seues propietats a gran escala.

Més concretament, una estructura grossa no és l'anàlec a gran escala d'una estructura topològica, sino d'una estructura uniforme.

Definició

Una en un conjunt $X$ és una colecció $𝐄$ de subconjunts de $X\times X$ (per lo tant, cau baix la categorisació més general de relació binaria en $X$) cridats i per a que $𝐄$ posseïxca la relació identitat, es tanca prenent subconjunts, inversos i finitos. sindicats, i està tancat baix la composició de relacions. Explícitament:

1. Identitat/diagonal:

   Diagonal $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ és membre de $𝐄$: la relació d'identitat.

2. Tancada baix la pren de subconjunts:

   Si $E\in 𝐄$ i $F\subseteq E,$ llavors $F\in 𝐄.$

3. Tancada prenent inverses:

   Si $E\in 𝐄$, llavors la inversa (o transpuesta) $E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}$ és membre de $𝐄$: la relació inversa.

4. Tancada baix la pren d'unions:

   Si $E,F\in 𝐄$ llavors el seu unió $E\cup F$ és membre de $𝐄.$

5. Tancada baixe composició:

   Si és $E,F\in 𝐄$, llavors el seu producte $E\circ F=\{(x,y):\text{ existe }z\in X\text{ tal que }(x,z)\in E\text{ y }(z,y)\in F\}$ és membre de $𝐄$: composició de relacions.

Un conjunt $X$ dotat d'una estructura grossa $𝐄$ és un

Per a un subconjunt $K$ de $X,$ el conjunt $E[K]$ es definix com $\{x\in X:(x,k)\in E\text{ para algunos }k\in K\}.$ Es definix la de $E$ per $x$ com el conjunt $E[\{x\}],$ també denotat com $E_x.$ El símbol $E^y$ denota el conjunt $E^{-1}[\{y\}].$ Estes són formes de proyeccions.

Es diu que un subconjunt $B$ de $X$ és un si $B\times B$ és un conjunt controlat.

Intuïció

Els conjunts controlats són conjunts "menuts", o "conjunts negligibles": un conjunt $A$ tal que $A\times A$ estiga controlat és negligible, mentres que una funció $f:X\to X$ tal que la seua grafo estiga controlat està "prop" de l'identitat. En l'estructura grossa acotada, estos conjunts són els conjunts acotats, i les funcions són les que estan a una distància finita de l'identitat en mètrica uniforme.

Aplicacions grosses

Donat un conjunt $S$ i una estructura grossa $X,$ es diu que les aplicacions $f:S\to X$ i $g:S\to X$ són si $\{(f(s),g(s)):s\in S\}$ és un conjunt controlat.

Per a estructures grosses $X$ i $Y,$ es diu que $f:X\to Y$ és una si per a cada conjunt acotat $B$ de $Y$ el conjunt $f^{-1}(B)$ està acotat en $X$ i per a cada conjunt controlat $E$ de $X$ el conjunt $(f\times f)(E)$ està controlat en $Y.$ Es diu que $X$ i $Y$ són si existixen aplicacions grosses $f:X\to Y$ i $g:Y\to X$ tals que $f\circ g$ estiga prop de ${\mathrm{id}}_Y$ i $g\circ f$ estiga prop de ${\mathrm{id}}_X.$

Vore també

• Bornología
• Cuasi isometría
• Espai uniforme

Bibliografia

• John Rosega, Lectures in Coarse Geometry, University Lecture Series Vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Corrections to Lectures in Coarse Geometry
• “

Per favor, specifica le parametro title. {{{title}}}” (PDF) . Notices of the American Mathematical Society 53 (6): 669. Recuperate le 2008-01-16.