Conjunt negligible

En matemàtiques, un conjunt negligible (o també conjunt insignificant) és un tipo de conjunt que és lo suficientment chicotet com per a poder ignorar-ho per algun motiu. Com a eixemples comuns, els conjunts finitos es poden ignorar en estudiar el llímit d'una successió i els conjunts nuls es poden ignorar en estudiar l'integral d'una funció mesurable.

Els conjunts negligibles definixen varis conceptes útils que es poden aplicar en diverses situacions, com la relació casi en tots els llocs. Per a que funcionen, generalment solament és necessari que formen un ideal; és dir, que el conjunt buit siga negligible, que l'unió de dos conjunts negligibles siga negligible i que qualsevol subconjunt d'un conjunt negligible siga negligible. Per a alguns propòsits, també es necessita que este ideal siga un ideal sigma, de modo que les unions numerables de conjunts negligibles també ho siguen. Si I i J són ideals subconjunts del mateix conjunt X, llavors es pot parlar dels subconjunts I-negligible i J-negligible.

Lo opost a un conjunt negligible és una propietat genèrica, que té vàries formes.

Eixemples

Siga X el conjunt N dels número natural, i siga un subconjunt de N negligible si és finito. Llavors, els conjunts negligibles formen un ideal. Esta idea es pot aplicar a qualsevol conjunt infinit; pero si s'aplica a un conjunt finito, cada subconjunt serà negligible, la qual cosa no és una noció molt útil.

O siga X un conjunt no numerable i considere's que un subconjunt de X siga negligible si és numerable. Llavors, els conjunts negligibles formen un ideal sigma.

Siga X un espai mesurable equipat en una mida m i siga un subconjunt de X negligible si és m-nul. Llavors, els conjunts negligibles formen un ideal sigma. Cada ideal sigma en X pot recuperar-se d'esta manera establint una mida adequada en X, encara que la mida pot ser prou patològica.

Siga X el conjunt R dels número real, i siga negligible un subconjunt A de R si per a cada ε > 0, existix una colecció finita o contable I₁, I₂,… d'intervals (possiblement superposts) que satisfan:

$A\subset \bigcup _k{I}_k$

i

$\sum _k|I_k|<ϵ.$

Est és un cas especial de l'eixemple anterior, que utilisa la mida de Lebesgue, pero descrit en térmens elementals.

Siga X un espai topològic i un subconjunt siga negligible si és exigu, és dir, si és una unió contable dens en ninguna parte (a on un conjunt no és dens en ninguna parte si no és dens en cap conjunt obert). Llavors, els conjunts negligibles formen un ideal sigma.

Siga X un conjunt dirigit, considere's que un subconjunt de X siga negligible si té una cota superior. Llavors, els conjunts negligibles formen un ideal. El primer eixemple és un cas especial que utilisa l'orde habitual de N.

En una estructura grossa, els conjunts controlats són negligibles.

Conceptes derivats

Siga X un conjunt i siga I un ideal de subconjunts negligibles de X. Si p és una proposició sobre els elements de X, llavors p és verdadera casi en tots els llocs si el conjunt de punts a on p és verdadera és el complement d'un conjunt negligible. És dir, p pot no ser sempre verdader, pero és falsa tan rarament que pot ignorar-se per als propòsits examinats.

Si f i g són funcions des de X fins al mateix espai I, llavors f i g són equivalents si són iguals en casi totes parts. Per a que el paràgraf introductori calga, llavors, suponga's que X siga N i que els conjunts negligibles siguen els conjunts finitos. Llavors, f i g són successions. Si I és un espai topològic, llavors f i g tenen el mateix llímit, o abdós no tenen cap. (quan es generalisa açò a conjunts dirigits, s'obté el mateix resultat, pero para rets). O siga X un espai de mida i que els conjunts negligibles siguen els conjunts nuls. Si I és la recta real R, llavors f i g tenen la mateixa integral o cap integral està definida.

Vore també

• Funció negligible
• Propietat genèrica