Teoria de Morse

En topología diferencial, la Teoria de Morse permet analisar la topología d'una varietat topològica a través de l'estudi de funcions diferenciables en eixa varietat. D'acort en l'idea bàsica de Marston Morse, una funció diferenciable típica en una varietat reflectirà de forma prou precisa la seua topología. La teoria de Morse permet ademés trobar CW-complex i obtindre informació substancial sobre la seua homologia. Abans de Morse, Arthur Cayley i James Clerk Maxwell varen desenrollar algunes idees de la teoria de Morse en el context de la topografia. Originalment Morse va aplicar la seua teoria a la geodèsia (punts crítics d'energia funcional en les trayectòries). Estes tècniques varen ser usades en la demostració de Raoul Bott de la seua teorema de la periodicitat. De forma anàloga a la teoria de Morse, està la teoria de Picard-Lefschetz para varietats complexes.

Conceptes bàsics

Considerant un paisage montanyós M, si f és la funció M → R de modo que mana cada punt a la seua elevació, llavors l'image inversa d'un punt en R és simplement una isolínea. Qualsevol component conectada d'una isolínea és ademés un punt, una simple curva tancada, o una curva tancada en un punt doble. Les isolíneas poden tindre punts de major orde (punts triples, etc.), pero són inestables i poden eliminar-se en una llaugera deformació del paisage. Els punts dobles en les isolíneas apareixen en els punts de cadira o de ensilladura, que són punts en els que el paisage al seu entorn curva cap a dalt en una direcció i cap a avall en l'atra. Imaginant el paisage inundat en aigua, la regió coberta d'aigua quan l'aigua alcança l'elevació de a és f¹(-∞,a], o lo que és lo mateix, els punts l'elevació dels quals és menor o igual a la de a. Si ademés es considera el canvi d'topología en esta regió a mida que l'aigua puja, es veu intuitivamente que dita topología no canvia fins que a supera l'altura del punt crític; és dir, un punt en el que el gradient de f és 0. En atres paraules, la topología no canvia llevat quan l'aigua (1) comença a omplir la conca, (2) cobrix el punt de cadira, o (3) sumergix un pico.

Archiu:3 caps block 1 Leveltorus.png

El toroide

A cada u d'estos tres tipos de punts crítics — conques, ensilladuras i picos — se li assigna un número cridat índex. Es pot dir que l'índex d'un punt crític b és el número de direccions independents al voltant de b en les que f decreix. Per tant, els índexs de les conques, ensilladuras i picos seran 0, 1 i 2 respectivament. Rigorosament parlant, l'índex d'un punt crític és la dimensió de la submatriz negativa-definida de la matriu hessiana calculada en eixe punt. Per al cas de mapes suaus, la matriu hessiana resulta ser una matriu diagonal. Definim M^a com a f¹(-∞,a]. Deixant a banda el context de la topografia es pot fer un anàlisis similar al del canvi de la topografia de M^a quan a aumenta, com un toroide orientat com en l'image en la que f és la proyecció sobre un eix vertical prenent un punt a la seua altura per un pla superior.

Archiu:3 caps block 2 Cylinder and disk with handle.png

Estes figures són homotópicamente equivalents.

Archiu:3 caps block 3 Cylinder with handle and torus with hole.png

Estes figures són homotópicamente equivalents.

Escomençant per la part inferior del toroide p, q, r i s són els quatre punts crítics d'índex 0, 1, 1 i 2 respectivament. Quan a és menor que 0, M^a és el conjunt buit. En acabant de que a passe el nivell de p, quan 0<a<f(q), M^a és un círcul, que resulta homotópicamente equivalent a un punt (0-cèlules) que ha segut afegit al conjunt buit. A continuació, quan a excedix el nivell de q, i f(q)<a<f(r), M^a pansa a ser un cilindre i l'equivalent homotópico d'un disc en 1-cèlula afegida. Una volta que a pansa el nivell de r i f(r)<a<f(s) M^a és un toroide sense un círcul que és l'equivalent homotópico d'un cilindre en 1-cèlula afegida. Finalment, quan a és major que el nivell crític de s, M^a és un toroide. Un toroide, per supost, és lo mateix que un toroide sense un círcul en un círcul (2-cèlules) afegit. Per tant, sembla existir la següent regla: la topología de M^a no canvia llevat quan a pansa l'altura d'un punt crític, i quan a pansa l'altura d'un punt crític en índex γ, s'afig una γ-cèlula a M^a. No obstant, açò no respon a la pregunta de qué succeïx quan dos punts crítics se situen a la mateixa altura. Esta situació pot ser resulta per mig d'un llauger destorbament de f. En el cas d'un paisage (o una varietat encaixada en un espai euclídeo este destorbament pot ser simplement inclinar llaugerament el paisage o rotar el sistema de coordenades. Esta regla, no obstant, és falsa com s'indica. Per a vore-ho se supon que M = R i que f(x)=x³, llavors 0 és un punt crític de f pero la topología de M^a no canvia quan a sobrepassa 0. De fet, el concepte d'índex carix de sentit. El problema és que la segona derivada resulta també 0 en 0. Este tipo de situació es coneix com a punt crític degenerado. Note's que esta situació és inestable: al rotar el sistema de coordenades baixe la gràfica el punt crític degenerado desapareix o es trenca en dos punts crítics no degenerados.

Desenroll formal

Per a una funció contínuament diferenciable de valors reals f : M → R en una varietat diferenciable M, els punts a on la diferencial de f desapareixen es diuen punts crítics de f i les seues imàgens valors crítics. Si un punt crític b de la matriu de les segones derivades parcials (la matriu hessiana) és no singular llavors es denomina punt crític no degenerado; no obstant si és singular es denomina punt crític degenerado. Per a les funcions

f (x) = a + b x + c x^{2} + d x^{3} + \dots

des de R fins a R, f té un punt crític en l'orige si b=0, el qual és no degenerado si c≠0 (per eixemple si té la forma a+cx²+...) i degenerado si c=0 (per eixemple si té la forma a+dx³+...). L'índex d'un punt crític no degenerado b de f és la dimensió del subespacio més gran del espai tangente a M en b en el qual la hessiana és negativa definida. Açò correspon a la definició intuïtiva d'índex en la que és el número de direccions en les que f disminuïx. La degeneració i índex d'un punt crític són independents del sistema de coordenades local utilisat, com demostra el teorema de Sylvester.

Lema de Morse

Siga b un punt crític no degenerado de f : M→R. Llavors existix un gràfic (x₁, x₂, ..., x_n) en un entorn O de b en el que $x_{i} (b) = 0$ per a tot i i

f (x) = f (b) - x_{1}^{2} - \dots - x_{α}^{2} + x_{α + 1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}

a lo llarc de O. Ací α és igual a l'índex de f en b. Com corolari del Lema de Morse es pot vore que els punts crítics no degenerados estan aïllats.

Teoremes fonamentals

Una funció contínuament diferenciable de valors reals en una varietat M és una funció de Morse si té punts crítics no degenerados. Un resultat bàsic de la teoria de Morse diu que casi totes les funcions són funcions de Morse. Tècnicament, les funcions de Morse formen un subsistema obert de totes les funcions contínuament diferenciables M → R en la topología de C².

Com s'ha indicat prèviament, la qüestió que interessa és quan la topología de M^a = f¹(-∞,a] canvia en la variació de a. La mitat de la resposta ve donada per la següent teorema.

Teorema. Siga f una funció contínuament diferenciable de valors reals en M, a< b, f⁻¹[a, b] és compacta, i no hi ha valors crítics entre a i b. Per tant M^a és un difeomorfismo de M^b, i M^b una retracció sobre M^a.

Resulta interessant també saber cóm la topología de M^a canvia quan a pansa un punt crític. La següent teorema respon a eixa qüestió:

Teorema. Siga f una funció contínuament diferenciable de valors reals en M i p un punt crític no degenerado de f d'índex γ, i f(p) = q. Supongam que f⁻¹[q−ε, q+ε] és compacta i que no conté punts crítics junt a p. Llavors M^q+ε és homotópicamente equivalent a M^q−ε en un γ-cell afegit.

Estos resultats generalisen i formalisen la 'regla' establida en la secció anterior. Com ha segut mencionat, la regla aixina definida era incorrecta i són estes teoremes els que la corrigen.

Usant els dos resultats previs i el fet de que existix una funció de Morse en cada varietat diferencial, es pot provar que qualsevol varietat diferencial és un CW-complex en n-cèlules per a cada punt crític d'índex n. Per a fer açò és necessari el fet tècnic de que es puga arreglar per a tindre un únic punt crític en cada nivell crític, que se sol provar utilisant una generalisació del camp gradient vectorial para reordenar els punts crítics.

Inecuaciones de Morse

La Teoria de Morse pot ser usada per a provar alguns importants resultats de l'homologia de varietats. El número de punts crítics en índex γ de f : M→R és igual al número γ de cèlules en l'estructura CW en M obtinguda en estudiar f. Tenint el conte el fet de que la suma alterna de rancs de grups homòlecs d'un espai topològic és igual a la suma alterna de rancs dels grups de cadena dels quals es computa l'homologia, i utilisant els grups celulars de cadena (homologia celular) està clar que la característica de Euler $χ (M)$ és igual a la suma

\sum (- 1)^{γ} C^{γ} = χ (M)

A on C^γ és el número de punts crítics en índex γ. Ademés per l'homologia celular, el ranc del grup homòlec n^th del complex CW M és menor o igual al número de n-cèlules en M. Per tant el ranc del grup homòlec γ^th, per eixemple el número de Betti $b_{γ} (M)$ , és menor o igual al número de punts crítics d'índex γ d'una funció de Morse en M. Estos fets es poden extrapolar per a obtindre les Inecuaciones de Morse:

C^{γ} - C^{γ - 1} + - \dots - (- 1)^{γ} C^{0} \geq b_{γ} (M) - b_{γ - 1} (M) + - \dots - (- 1)^{γ} b_{0} (M) .

En particular, per a qualsevol : $γ \in {0, \dots, n = \dim M},$ es té que : $C^{γ} \geq b_{γ} (M) .$ Açò constituïx una poderosa ferramenta per a l'estudi de la topología de les varietats. Suponent una varietat tancada en la que existix una funció de Morse f : M→R en k punts crítics, ¿en quina manera l'existència de la funció f restringix M? El cas en el que k = 2 ha segut estudiat per Reeb en 1952; el Teorema de l'esfera de Reeb establix que M és homeomorfo a una esfera $S^{n}$ . Per al cas en el que k = 3 només és possible en un reduït número de dimensions, i m és homeomorfo a la varianza de Eells-Kuiper.

Homologia de Morse

L'homologia de Morse és una particular i senzilla manera d'entendre l'homologia de les varietats suaus. Ve definida usant una funció de Morse i el Varietat de Riemann. La teorema bàsica diu que l'homologia resultant és un invariante de la varietat i és isomorfa a l'homologia singular de la varietat; açò implica que Morse i els números de Betti no es contradiuen i donen una prova immediata de les inecuaciones de Morse. La homologia de Floer és una analogia per a dimensions infinites.

Ed Witten va desenrollar una aproximació relacionada en la Teoria de Morse en 1982 utilisant funcions harmòniques.

Referències

Bott, Raoul (1988). Morse Theory Indomitable. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 68, 99–114.
Bott, Raoul (1982). Lectures on Morse theory, old and new., Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7, no. 2, 331–358.
Cayley, Arthur (1859). On Contour and Slope Lines. The Philosophical Magazine 18 (120), 264-268.
Guest, Martin (2001). arXiv abstract Morse Theory in the 1990's
Matsumoto, Yukio (2002). An Introduction to Morse Theory
Maxwell, James Clerk (1870). On Hills and Dona'ls. The Philosophical Magazine 40 (269), 421–427.
Milnor, John (1963). Morse Theory, Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9. A classic advanced reference in mathematics and mathematical physics.
Milnor, John (1965). Lectures on the h-Cobordism theorem - scans available here
Morse, Marston (1934). "The Calculus of Variations in the Large", American Mathematical Society Colloquium Publication 18; New York.
Matthias Schwarz: Morse Homology, Birkhäuser, 1993.
Seifert, Herbert; Threlfall, William (1938). Variationsrechnung im Grossen
Witten, Edward (1982). Supersymmetry and Morse theory. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 4, 661–692.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoría de Morse» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.