Espai totalment acotat

Archiu:Unit square totally bounded space.png

Un quadrat unitari pot estar recobert per un número finito de discs de radi ε < 1/2, 1/3, 1/4... Per un atre costat, [0, 1]² és un espai totalment acotat perque per a cada ε > 0, el quadrat unitat pot estar recobert per un número finito de discs oberts de radi ε

En topología i en atres branques relacionades de les matemàtiques, el terme totalment acotat és una generalisació de compacidad per a aquells casos en els que un conjunt no és necessàriament tancat. Un conjunt totalment acotat pot ser recobert per mig de finitamente numerosos subconjunts de cada “tamany” fix (a on el significat de “tamany” depén de l'estructura del espai entorn).

El terme precompacto s'utilisa a voltes en el mateix significat, pero també s'ampra per a referir-se a conjunts relativament compactes. Estes definicions coincidixen per a subconjunts d'espais mètrics complets, pero no en general.

En espais mètrics

Un espai mètric $(M,d)$ és totalment acotat si i solament si per a cada número real $\epsilon >0$, existix una colecció finita de boles de radi $\epsilon$ els centres del qual es troben en M i l'unió de la qual conté a M. De manera equivalent, l'espai mètric M està totalment acotat si i solament si per a cada $\epsilon >0$ existix un recobriment tal que el radi de cada element del mencionat recobriment siga com a màxim $\epsilon$. Açò equival a l'existència d'una ret ε finita. Es diu que un espai mètric està totalment acotat si tota seqüència admet una subsecuencia de Cauchy. En espais mètrics complets, un conjunt és compacte si i solament si és tancat i totalment acotat.

Cada espai totalment acotat és acotat (ya que l'unió d'un número finito de conjunts acotats està acotada). Lo contrari és cert per als subconjunts d'un espai euclídeo (en la topología del subespacio), pero no en general. Per eixemple, un conjunt infinit equipat en la mètrica discreta està acotat pero no totalment acotat: cada bola discreta de radi $\epsilon =1/2$ o menys és un element individual, i cap unió finita d'elements individuals pot cobrir un conjunt infinit.

Espais uniformes (topològics)

Apareix una mètrica en la definició de acotación total solament per a garantisar que cada element del recobriment finito tinga un tamany comparable i puga reduir-se al d'una estructura uniforme. Un subconjunt S d'un espai uniforme X està totalment acotat si i solament si, per a qualsevol acompanyament I, existix un recobriment finito de S per subconjunts de X, cada u de que els seus productes cartesianos és un subconjunt de I. En atres paraules, I reemplaça el "tamany" ε, i un subconjunt és de tamany I si el seu quadrat cartesiano és un subconjunt de I.

La definició pot estendre's encara més, a qualsevol categoria d'espais en una noció de compacidad i completitud de Cauchy: un espai està totalment acotat si i solament si el seu completación (de Cauchy) és compacta.

Eixemples i propietats elementals

• Cada espai compacte està totalment acotat, sempre que s'haja definit el concepte.
• Tot conjunt totalment acotat està acotat.

• Un subconjunt de la recta real, o més generalment d'un espai euclídeo de dimensió finita, està totalment acotat si i solament si està acotat.
• La 1-esfera en un espai de Hilbert (o més generalment, en un espai de Banach), està totalment acotada (en la topología normal) si i solament si l'espai té dimensió finita.
• Les funcions acotades equicontinuas en un conjunt compacte són precompactas en topología uniforme, d'acort en el teorema de Arzelá-Ascoli.
• Un espai mètric és separable si i solament si és homeomórfico per a un espai mètric totalment acotat.
• El tancament d'un subconjunt totalment acotat torna a ser totalment acotat.

Comparació en conjunts compactes

En espais mètrics, un conjunt és compacte si i solament si és complet i totalment acotat. Sense un axioma d'elecció, solament es complix la direcció cap a avant. Els conjunts precompactos compartixen vàries propietats en els conjunts compactes.

• De la mateixa manera que els conjunts compactes, una unió finita de conjunts totalment acotats és totalment acotada.
• A diferència dels conjunts compactes, cada subconjunt d'un conjunt totalment acotat torna a estar totalment acotat.
• L'image contínua d'un conjunt compacte és compacta. L'image uniformemente contínua d'un conjunt precompacto és precompacta.

Vore també

• Espai compacte
• Compacidad local
• Mida de falta de compacidad
• Espai ortocompacto
• Espai paracompacto
• Conjunt relativament compacte

Bibliografia

• (1981) Locally convex spaces, Stuttgart: B.G. Teubner. OCLC 8210342. ISBN 978-3-519-02224-4.
• Narici, Lawrence (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.
• Sutherland, W. A. (1975). Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press. ISBN 0-19-853161-3.
• Trèves, François (2006). Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 853623322. ISBN 978-0-486-45352-1.
• Willard, Stephen (2004). General Topology, Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.