Grup simètric afí

Archiu:Uniform triangular tiling 121212.svg

El teselado triangular regular del pla, les simetria del qual estan descrites pel grup simètric afí S̃₃.

Els grups simètrics afins són una família d'estructures matemàtiques que descriuen les simetria de la recta numèrica i del teselado triangular regular del pla, aixina com d'atres objectes de dimensions superiors. Ademés d'esta interpretació geomètrica, els grups simètrics afins poden definir-se d'atres maneres: com a coleccions de permutació (reordenamientos) dels sancers (..., −2, −1, 0, 1, 2, ...) que són periòdiques en cert sentit, o en térmens purament algebraics com un grup en certs generadors i relacions. Estos grups són objecte d'estudi en combinatòria i teoria de representació.

Un grup simètric finito està format per totes les permutació d'un conjunt finito. Cada grup simètric afí és una extensió infinita d'un grup simètric finito. Moltes propietats combinatòries importants dels grups simètrics finitos poden estendre's als corresponents grups simètrics afins. Les estadístiques de permutació, com els descensos i les inversions, poden definir-se en el cas afí. De la mateixa manera que en el cas finito, les definicions combinatòries naturals d'estes estadístiques també tenen una interpretació geomètrica.

Els grups simètrics afins estan estretament relacionats en atres objectes matemàtics, incloent els patrons de malabarisme i certs grups de reflexió complexos. Moltes de les seues propietats combinatòries i geomètriques s'estenen a la família més àmplia dels grups de Coxeter afins.

Definicions

El grup simètric afí pot definir-se de manera equivalent com un grup abstracte per mig de generadors i relacions, o en térmens de models geomètrics i combinatoris.Plantilla:Sfnp

Definició algebraica

Archiu:Dynkin diagram for the affine symmetric group.svg

Diagrames de Dynkin per als grups simètrics finitos en 2 i més de 2 generadors.

Una forma de definir grups és per mig de generadors i relacions. En este tipo de definició, els generadors són un subconjunt dels elements del grup que, en combinar-se, produïxen tots els demés elements. Les relacions són un sistema d'equacions que determinen quàn dos combinacions de generadors són iguals.Plantilla:Sfnp D'esta manera, el grup simètric afí ${\tilde{S}}_n$ està generat per un conjunt $s_0,s_1,\dots ,s_{n-1}$de $n$ elements que satisfan les següents relacions quan $n\ge 3$:

1. $s_i^2=1$ (els generadors són involució).

1. $s_i{s}_j=s_j{s}_i$ si $f$ no és un de $i-1,i,i+1$, lo que indica que per a estos parells de generadors, l'operació del grup és conmutativa; i,

1. $s_i{s}_{i+1}{s}_i=s_{i+1}{s}_i{s}_{i+1}$

En les relacions anteriors, els índexs es prenen mòdul n, per lo que la tercera relació inclou el cas particular$s_0{s}_{n-1}{s}_0=s_{n-1}{s}_0{s}_{n-1}$. (Les segona i tercera relacions es coneixen com grup de trenes).Plantilla:SfnpQuan $n=2$, el grup simètric afí ${\tilde{S}}_2$és el grup diedral infinit, generat per dos elements $s_0,s_1$ subjectes únicament a les relacions $s_0^2=s_1^2=1$.Plantilla:Sfnp

Estes relacions poden reescriure's en la forma especial que definix els grups de Coxeter, per lo que els grups simètrics afins són grups de Coxeter, en els $s_i$ com els seus conjunts de generadors de Coxeter.Plantilla:Sfnp Cada grup de Coxeter pot representar-se per mig d'un diagrama de Coxeter–Dynkin, en el qual els vèrtiços corresponen als generadors i les arestes codifiquen les relacions entre ells.Plantilla:Sfnp Per a $n\ge 3$, el diagrama de Coxeter–Dynkin de ${\tilde{S}}_n$ és un cicle de $n$ vèrtiços (les arestes representen relacions entre parells de generadors consecutius i l'absència d'una aresta entre atres parells indica que commuten). Per un atre costat, per a $n=2$, el diagrama consistix en dos nodos units per una aresta etiquetada en $\mathrm{\infty }$.Plantilla:SfnpPlantilla:Sfnp

Definició geomètrica

Archiu:A 2 lattice and hyperplanes.svg

Quan $n=3$, l'espai $V$ és un pla bidimensional i les reflexions es realisen a lo llarc de llínees. Els punts de la ret de raïls Λ estan marcats en círculs.

En l'espai euclidiano ${ℝ}^n$en coordenades $(x_1,\dots ,x_n)$, el conjunt $V$ de punts que complixen $x_1+x_2+\cdots +x_n=0$ forma un (hiper)pla, un subespacio de dimensió $(n-1)$. Per a cada parell d'elements distints $i$ i $j$ de $\{1,\dots ,n\}$i cada número entero $k$, el conjunt de punts en $V$ que satisfà $x_i-x_j=k$ forma un subespacio de dimensió (n − 2) dins de $V$, i existix una única reflexió en $V$ que fixa este subespacio. Llavors, el grup simètric afí ${\tilde{S}}_n$ pot ser representat geomètricament com una colecció de transformacions de $V$ en sí mateixa, obtingudes com a composicions d'estes reflexions.Plantilla:Sfnp

Dins de $V$, el subconjunt de punts en coordenades sanceres forma la ret de raïls Λ. Est és el conjunt de tots els vectores sancers $(a_1,\dots ,a_n)$ tals que $a_1+\cdots +a_n=0$.Plantilla:Sfnp Cada reflexió preserva esta ret, i per lo tant, la ret és preservada per tot el grup.Plantilla:Sfnp

Els subespacios fixos d'estes reflexions dividixen $V$ en símplices congruents, cridats alcoves. El cas quan $n=3$ es mostra en la figura; en este cas, la ret de raïls és una ret triangular, les llínees de reflexió dividixen $V$ en alcoves triangulars equiláteras, i les raïls són els centres d'hexàgons no superposts formats per sis alcohes triangulars.

Archiu:Affine A 2 hyperplanes.svg

Reflexions i alcoves per al grup simètric finitos. L'alcova fonamental està sombreada.

Per a traduir entre les definicions geomètrica i algebraica, es fixa una alcova i es consideren els $n$ hiperplanos que formen la seua frontera. Les reflexions a través d'estos hiperplanos de frontera poden identificar-se en els generadors de Coxeter. En particular, hi ha una única alcova (la alcova fonamental) format pels punts $(x_1,\dots ,x_n)$ tals que $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n\ge x_1-1$, el qual està llimitat pels hiperplanos $x_1-x_2=0,$ $x_2-x_3=0,$ ... i $x_1-x_n=1,$ com s'ilustra en el cas $n=3$. Per a $i=1,\dots ,n-1$, es pot identificar la reflexió a través de $x_i-x_{i+1}=0$ en el generador de Coxeter $s_i$, i també identificar la reflexió a través de $x_1-x_n=1$ en el generador $s_0=s_n$.

Definició combinatòria

Els elements del grup simètric afí poden representar-se com un grup de permutació periòdiques dels número entero. En particular, es diu que una funció $u:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ és una permutació afí si:

• és una biyección (cada número entero apareix com el valor de $u(x)$ per a exactament un $x$).

• $u(x+n)=u(x)+n$ per a tot número entero $x$ (equivarianza sobre translacions en $n$).

• $u(1)+u(2)+\cdots +u(n)=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$, el $n$-ésimo número triangular.

Per a tota permutació afí, i més generalment per a tota biyección equivariante baix translacions, els números $u(1),\dots ,u(n)$ deuen ser tots distints mòdul $n$. Una permutació afí queda determinada de manera única per la seua notació de finestra $[u(1),\dots ,u(n)]$, ya que els demés valors de $u$ poden obtindre's desplaçant estos valors. Per lo tant, les permutació afins poden identificar-se en tuplas $[u(1),\dots ,u(n)]$ d'número entero que contenen un element de cada classe de congruència mòdul $n$ i que la seua suma és $1+2+\cdots +n$.

Per a la translació entre les definicions combinatòria i algebraica, per a $i=1,\dots ,n-1$, es pot identificar el generador de Coxeter $s_i$ en la permutació afí que té una notació de finestra $[1,2,\dots ,i-1,i+1,i,i+2,\dots ,n]$ i també identificar el generador $s_0=s_n$ en la permutació afí $[0,2,3,\dots ,n-2,n-1,n+1]$. Més generalment, tota reflexió (és dir, un conjugat d'un dels generadors de Coxeter) pot descriure's de manera única com seguix: per a dos sancers distints $i$ i $j$ en $\{1,\dots ,n\}$ i un número entero arbitrari $k$, mapea de $i$ a $j$ − $kn$, mapea de a $j$ + $kn$ i fixa tots els valors que no siguen congruents en el $n$ mòdul de $j$ o $i$.

Representació com a matrius

Archiu:Matrix representation of an affine permutation.svg

La representació matricial de la permutació afí [2, 0, 4], en la convenció de que els 1s són reemplaçats per • i els 0s s'ometen. Es mostren les etiquetes de les files i columnes.

Les permutació afins poden representar-se com matrius de permutació infinites i periòdiques. Si $u:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ és una permutació afí, la matriu corresponent té un 1 en la posició $(i,u(i))$ en la reixeta infinita $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ per a cada número entero $i$, i totes les demés entrades són 0. Com $u$ és una biyección, la matriu resultant conté exactament un 1 en cada fila i columna. La condició de periodicitat sobre $u$ garantisa que l'entrada en la posició $(a,b)$ és igual a l'entrada en la posició $(a+n,b+n)$ per a tot parell de sancers $(a,b)$.

Per eixemple, una porció de la matriu per a la permutació afí $[2,0,4]\in {\tilde{S}}_3$ es mostra en la figura. En la fila 1, hi ha un 1 en la columna 2; en la fila 2, hi ha un 1 en la columna 0; i en la fila 3, hi ha un 1 en la columna 4. El restant de les entrades en eixes files i columnes són 0, i totes les demés entrades en la matriu queden determinades per la condició de periodicitat.

Relació en el grup simètric finito

El grup simètric afí ${\tilde{S}}_n$ conté al grup simètric finito $S_n$ de permutació en $n$ elements tant com un subgrup com un grup cocient. Estes conexions permeten una translació directa entre les definicions combinatòries i geomètriques del grup simètric afí.

Com a subgrup

Existix una forma canònica d'elegir un subgrup de ${\tilde{S}}_n$ que siga isomorfo al grup simètric finito $S_n$. En térmens de la definició algebraica, est és el subgrup de ${\tilde{S}}_n$ generat per $s_1,\dots ,s_{n-1}$ (excloent la reflexió simple $s_0=s_n$). Geomètricament, açò correspon al subgrup de transformacions que fixen l'orige, mentres que combinatoriamente correspon a les notacions de finestra per a $\{u(1),\dots ,u(n)\}=\{1,2,\dots ,n\}$ (és dir, en les que la notació de finestra és la notació d'una llínea d'una permutació finita).

Si $u=[u(1),u(2),\dots ,u(n)]$ és la notació de finestra d'un element d'esta còpia estàndar de $S_n\subset {\tilde{S}}_n$, la seua acció en el hiperplano $V$ en ${ℝ}^n$ està donada per la permutació de coordenades: $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\cdot u=(x_{u(1)},x_{u(2)},\dots ,x_{u(n)})$. (En este artícul, l'acció geomètrica de permutació i permutació afins es considera a la dreta; per lo tant, si $u$ i $v$ són dos permutació afins, l'acció de $uv$ sobre un punt s'obté aplicant primer $u$ i després $v$).

També hi ha moltes còpies no estàndar de $S_n$ contingudes en ${\tilde{S}}_n$. Una construcció geomètrica consistix en elegir qualsevol punt $a$ en $\Lambda$ (és dir, un vector sancer les coordenades del qual sumen 0); el subgrup $({\tilde{S}}_n{)}_a$ de ${\tilde{S}}_n$ d'isometría que fixen $a$ és isomorfo a $S_n$.

Com a cocient

Existix una aplicació senzilla (tècnicament, un homomorfisme de grups sobreyectivos) $\pi$ de ${\tilde{S}}_n$ sobre el grup simètric finito $S_n$. En térmens de la definició combinatòria, una permutació afí pot mapearse a una permutació reduint les entrades de la notació de finestra mòdul $n$ a elements del conjunt $\{1,2,\dots ,n\}$, deixant aixina la notació d'una llínea d'una permutació. En este artícul, l'image $\pi (u)$ d'una permutació afí $u$ es diu la permutació subjacent de $u$.

L'aplicació $\pi$ envia el generador de Coxeter $s_0=[0,2,3,4,\dots ,n-2,n-1,n+1]$ a la permutació la notació de la qual d'una llínea i notació de cicles són, respectivament, $[n,2,3,4,\dots ,n-2,n-1,1]$ i $(1n)$.

El kernel de $\pi$ és, per definició, el conjunt de permutació afins la permutació subjacent de les quals és l'identitat. Les notacions de finestra de tals permutació afins són de la forma $[1-a_1\cdot n,2-a_2\cdot n,\dots ,n-a_n\cdot n]$, a on $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ és un vector de sancers tal que $a_1+a_2+\dots +a_n=0$, és dir, a on $(a_1,\dots ,a_n)\in \Lambda$. Geomètricament, este kernel consistix en les translacions, és dir, les isometría que desplacen tot l'espai $V$ sense rotarlo ni reflectir-ho. Per abús de notació, el símbol $\Lambda$ s'usa en este artícul per als tres conjunts següents: els vectores sancers en $V$, les permutació afins la permutació subjacent de les quals és l'identitat i les translacions. En els tres contexts, l'operació natural de grup convertix a $\Lambda$ en un grup abeliano, generat lliurement pels $n-1$ vectores $\{(1,-1,0,\dots ,0),(0,1,-1,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1,-1)\}$.

Conexió entre les definicions geomètrica i combinatòria

Archiu:Alcoves labeled by affine permutations-inverse.svg

Alcoves per a ${\tilde{S}}_3$ etiquetades per permutació afins. Una alcova $A$ està etiquetada en la notació de finestra d'una permutació $u$ si $u$ envia l'alcova fonamental (sombreada) a $A$. Els números negatius es denoten en una barra superior.

El grup simètric afí ${\tilde{S}}_n$ té a $\Lambda$ com un subgrup normal i és isomorfo al producte semidirecto $${\tilde{S}}_n\cong S_n⋉\Lambda$$d'este subgrup en el grup simètric finito $S_n$, a on l'acció de $S_n$ sobre $\Lambda$ és per mig de permutació de coordenades. En conseqüència, cada element $u$ de ${\tilde{S}}_n$ té una realisació única com un producte $u=r\cdot t$, a on $r$ és una permutació en la còpia estàndar de $S_n$ dins de ${\tilde{S}}_n$ i $t$ és una translació en $\Lambda$.

Este punt de vista permet una translació directa entre les definicions combinatòria i geomètrica de ${\tilde{S}}_n$: si s'escriu $[u(1),\dots ,u(n)]=[r_1-a_1\cdot n,\dots ,r_n-a_n\cdot n]$ a on $r=[r_1,\dots ,r_n]=\pi (u)$ i $(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in \Lambda$, llavors la permutació afí $u$ correspon al moviment rígit de $V$ definit per$$(x_1,\dots ,x_n)\cdot u=(x_{r(1)}+a_1,\dots ,x_{r(n)}+a_n).$$Ademés, com ocorre en tot grup de Coxeter afí, el grup simètric afí actua transitiva i lliurement sobre el conjunt d'alcoves: per a cada parell d'alcoves, existix un únic element del grup que du una alcova a l'atra. Per lo tant, en fer una elecció arbitrària d'una alcova $A_0$, s'establix una correspondència un a un entre el grup i les alcoves: l'element identitat correspon a $A_0$ i cada atre element del grup $g$ correspon a l'alcova $A=A_0\cdot g$, que és l'image de $A_0$ baix l'acció de $g$.

Eixemple: $n=2$

Archiu:Infinite dihedral group.File:Infinite dihedral group.svg

El grup simètric afí ${\tilde{S}}_2$ actua sobre la llínea $V$ en el pla euclidiano. Les reflexions es realisen a través de les llínees punteadas. Es marquen els vectores de la retícula de raïls $\Lambda$.

Algebraicament, ${\tilde{S}}_2$ és el grup diedral infinit, generat per dos generadors $s_0,s_1$ subjectes a les relacions $s_0^2=s_1^2=1$. Qualsevol atre element del grup es pot escriure com un producte alternante de còpies de $s_0$ i $s_1$.

Combinatoriament, la permutació afí $s_1$ té notació de finestra $[2,1]$, corresponent a la biyección $2k\mapsto 2k-1,2k-1\mapsto 2k$ per a qualsevol número entero $k$. La permutació afí $s_0$ té notació de finestra $[0,3]$, corresponent a la biyección $2k\mapsto 2k+1,2k+1\mapsto 2k$ per a qualsevol número entero $k$. Atres elements tenen les següents notacions de finestra:

$\begin{array}{cc}\stackrel{2k\text{ factors}}{\overbrace{s_0{s}_1\cdots s_0{s}_1}}& =[1+2k,2-2k],\\ \stackrel{2k\text{ factors}}{\overbrace{s_1{s}_0\cdots s_1{s}_0}}& =[1-2k,2+2k],\\ \stackrel{2k+1\text{ factors}}{\overbrace{s_0{s}_1\cdots s_0}}& =[2+2k,1-2k],\\ \stackrel{2k+1\text{ factors}}{\overbrace{s_1{s}_0\cdots s_1}}& =[2-2(k+1),1+2(k+1)].\end{array}$

Geomètricament, l'espai $V$ sobre el que actua ${\tilde{S}}_2$ és una llínea, en infinites reflexions equidistants. És natural identificar la llínea $V$ en la recta real ${ℝ}^1$, $s_0$ en la reflexió al voltant del punt 0, i $s_1$ en la reflexió al voltant del punt 1. En este cas, la reflexió $(s_0{s}_1{)}^k{s}_0$ reflectix a través del punt $-k$ per a qualsevol número entero $k$, la composició $s_0{s}_1$ trasllada la llínea en $-2$, i la composició $s_1{s}_0$ trasllada la llínea en $2$.

Referències

Este artícul va ser adaptat de la següent font baix una llicència CC BY 4.0 (2021) (informes de revisió): Joel B. Lewis (21 d'abril de 2021), "Affine symmetric group" (PDF), WikiJournal of Science, 4 (1): 3, doi:10.15347/WJS/2021.003, ISSN 2470-6345, Wikidata Q100400684.

Bibliografia

• Trans. Amer. Math. Soc..354(9)

3455–3474.doi:10.1090/S0002-9947-02-02944-6.

• J. Algebr. Comb..41(4)

911–948.doi:10.1007/s10801-014-0559-9.

• (2009).«A bijection on core partitions and a parabolic quotient of the affine symmetric group».J. Combin. Theory Ser. A.116(8)

1344–1360.doi:10.1016/j.jcta.2009.03.013.

• (1993).«Some Combinatorial Properties of Schubert Polynomials».J. Algebr. Comb..2(4)

345–374.doi:10.1023/A:1022419800503.

• (1996).«Affine permutations of type A».Electron. J. Combin..3(2)

R18.doi:10.37236/1276.

• (2005).«Combinatorics of Coxeter groups».Springer.doi:10.1007/3-540-27596-7.

• (1994).«Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms».Cambridge University Press.doi:10.1017/CBO9780511803888.

• (2003).«The $K(\pi ,1)$-conjecture for the affine briad groups».Comment. Math. Helv..78(3)

584–600.doi:10.1007/S00014-003-0764-Y.

• (2022).«An affine generalization of evacuation».Selecta Math..28(4)

Paper 67.doi:10.1007/s00029-022-00779-x.

• (2022).«Monodromy in Kazhdan-Lusztig cells in affine type A».Math. Annalen.386(3–4)

1891–1949.doi:10.1007/s00208-022-02434-4.

• (2018).«Matrix-ball construction of affine Robinson-Schensted correspondence».Selecta Math..24(2)

667–750.doi:10.1007/s00029-018-0402-6.

• (2011).«Excedances of affine permutations».Advances in Applied Mathematics.46(1–4)

175–191.doi:10.1016/j.aam.2009.12.006.

• (1973).«Regular Polytopes».Dover.

• (2010).«Enumerating pattern avoidance for affine permutations».Electron. J. Combin..17(1)

R127.doi:10.37236/399.

• (1996).«Juggling and applications to q-analogues».Discrete Math..157(1–3)

107–125.doi:10.1016/S0012-365X(96)83010-X.

• (1998).«Affine Weyl groups as infinite permutations».Electron. J. Combin..5

R18.doi:10.37236/1356.

• (2013).«Contemporary Abstract Algebra».Brooks/Cole.

• (2002).«On 321-Avoiding Permutations in Affine Weyl Groups».J. Algebr. Comb..15(3)

241–252.doi:10.1023/A:1015012524524.

• (2010).«The enumeration of fully commutative affine permutations».Eur. J. Comb..31(5)

1342–1359.doi:10.1016/j.ejc.2009.11.010.

• (2012).«Abacus models for parabolic quotients of affine Weyl groups».J. Algebra.361

134–162.doi:10.1016/j.jalgebra.2012.03.029.

• (1990).«Reflection groups and Coxeter groups».Cambridge University Press.doi:10.1017/CBO9780511623646.

• (1990).«Infinite-dimensional Lie algebras».Cambridge University Press.doi:10.1017/CBO9780511626234.

• (2001).«Reflection groups and invariant theory».Springer-Verlag.doi:10.1007/978-1-4757-3542-0.

• (2002).«A geometric and algebraic description of annular braid groups».Internat. J. Algebra Comput..12(1–2)

85–97.doi:10.1142/S0218196702000997.

• (2013).«Positroid varieties: juggling and geometry».Compositio Mathematica.149(10)

1710–1752.doi:10.1112/S0010437X13007240.

• (2015).«The shape of a random affine Weyl group element and random core partitions».Ann. Probab..43(4)

1643–1662.doi:10.1214/14-AOP915.

• (2005).«Tableaux on $k+1$-cores, reduced words for affine permutations, and $k$-Schur expansions».J. Combin. Theory Ser. A.112(1)

44–81.doi:10.1016/j.jcta.2005.01.003.

• (2009).«Unitary reflection groups».Cambridge University Press.20

• (2020).«A note on the Hurwitz action on reflection factorizations of Coxeter elements in complex reflection groups».Electron. J. Combin..27(2)

P2.54.doi:10.37236/9351.

• (2019).«Computing reflection length in an affine Coxeter group».Trans. Amer. Math. Soc..371(6)

4097–4127.doi:10.1090/tran/7472.

• (2016).«Circuits and Hurwitz action in finite root systems».The New York Journal of Mathematics.22

1457–1486.

• (1983).«Some examples of square integrable representations of semisimple p-adic groups».Trans. Amer. Math. Soc..277

623–653.doi:10.1090/S0002-9947-1983-0694380-4.

• (2017).«The mysterious geometry of Artin groups».Winter Braids Lect. Notes.4(Winter Braids VII (Cauen, 2017))

Exp. No. 1, 30.doi:10.5802/wbln.17.

• (2017).«Artin groups of Euclidean type».Invent. Math..210(1)

231–282.doi:10.1007/s00222-017-0728-2.

• (2021).«Proof of the $K(\pi ,1)$ conjecture for affine Artin groups».Invent. Math..224(2)

487–572.doi:10.1007/s00222-020-01016-i.

• (2015).«Eulerian Numbers».Birkhauser.doi:10.1007/978-1-4939-3091-3.

• (2003).«The Mathematics of Juggling».Springer.doi:10.1007/b98883.

• (1995).«The distribution of descents and length in a Coxeter group».Electron. J. Combin..2

R25.doi:10.37236/1219.

• (1954).«Finite unitary reflection groups».Canad. J. Math..6

274–304.doi:10.4153/CJM-1954-028-3.

• (1986).«The Kazhdan-Lusztig Cells in Certain Affine Weyl Groups».Springer.1179doi:10.1007/bfb0074968.

• (1987).«Alcoves corresponding to an affine Weyl group».J. London Math. Soc..35(1)

42–55.doi:10.1112/jlms/s2-35.1.42.

• (1991).«The generalized Robinson–Schensted algorithm on the affine Weyl group of type A_n−1».J. Algebra.139(2)

364–394.doi:10.1016/0021-8693(91)90300-W.

• (2002).«Certain imprimitive reflection groups and their generic versions».Trans. Amer. Math. Soc..354(5)

2115–2129.doi:10.1090/S0002-9947-02-02941-0.

• (1996).«On the Fully Commutative Elements of Coxeter Groups».J. Algebr. Comb..5(4)

353–385.doi:10.1007/BF00193185.

• (1977).«Combinatoire et Représentation du Groupe Symétrique».Springer.579

29–58.doi:10.1007/BFb0090011.