Història de les transformacions de Lorentz

La història de les transformacions de Lorentz comprén el desenroll de les aplicacions llineals que formen el grup de Lorentz o grup de Poincaré preservant l'interval de Lorentz $-x_0^2+\cdots +x_n^2$ i el producte intern de Minkowski $-x_0{y}_0+\cdots +x_n{y}_n$.

En matemàtiques, les transformacions equivalents a lo que després es va conéixer com a transformacions de Lorentz en vàries dimensions varen ser discutides en el XIX en relació en la teoria de les formes quadràtiques, de la geometria hiperbòlica, de la geometria de Möbius i de la geometria de l'esfera, lo que està conectat en el fet de que el grup de moviments en l'espai hiperbòlic, la transformació de Möbius o grup llineal proyectivo especial, i el grup de Laguerre són isomorfos al grup de Lorentz.

En física, les transformacions de Lorentz es varen donar a conéixer a principis de el XX, quan es va descobrir que exhibien la simetria de les equacions de Maxwell. Posteriorment, es varen tornar fonamentals per a tota la física, perque varen formar la base de la teoria de la relativitat especial en la que mostren la simetria del espai-temps de Minkowski, fent que la velocitat de la llum siga invariante entre diferents sistemes inerciales. Relacionen les coordenades espai-temporals de dos marcs de referència inerciales arbitraris en velocitat relativa constant v. En un marc de referència, la posició d'un event està donada per x,i,z i el temps t, mentres que en l'atre el mateix event té coordenades x',i',z' i t'.

Antecedents matemàtics

Utilisant els coeficients d'una matriu simètrica A, la forma bilineal associada i una aplicació llineal en térmens d'una matriu de transformació g, es genera la transformació de Lorentz si es complixen les següents condicions:

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}-x_0^2+\cdots +x_n^2& =-x_0^{\prime 2}+\dots +x_n^{\prime 2}\\ -x_0{y}_0+\cdots +x_n{y}_n& =-x_0^{\prime }{y}_0^{\prime }+\cdots +x_n^{\prime }{y}_n^{\prime }\end{array}\\ \begin{array}{c}{𝐱}^{\prime }=𝐠\cdot 𝐱\\ 𝐱={𝐠}^{-1}\cdot {𝐱}^{\prime }\end{array}\\ \begin{array}{c}\begin{array}{cc}𝐀\cdot {𝐠}^{\mathrm{T}}\cdot 𝐀& ={𝐠}^{-1}\\ {𝐠}^{\mathrm{T}}\cdot 𝐀\cdot 𝐠& =𝐀\\ 𝐠\cdot 𝐀\cdot {𝐠}^{\mathrm{T}}& =𝐀\end{array}\end{array}\\ 𝐀=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(-1,1,\dots ,1)\\ \det 𝐠=\pm 1\end{array}$

Este conjunt forma un grup ortonormal generalisat cridat grup de Lorentz O(1,n), mentres que el cas det g=+1 forma el grup de Lorentz restringit SO(1,n). La forma quadràtica es convertix en l'interval de Lorentz en térmens d'un forma quadràtica indefinida del espai de Minkowski (sent un cas especial d'espai pseudoeuclídeo), i la forma bilineal associada es convertix en el producte intern de Minkowski. Molt abans del advenimiento de la relativitat especial s'usava en temes com la mètrica de Cayley-Klein, el modele hiperboloide i atres models de geometria hiperbòlica, càlcul de funcions elíptiques i integrals, transformació de formes quadràtiques indefinides, contracció de l'hipérbola, teoria de grups, transformació de Möbius, transformació d'ones esfèriques, transformació de l'equació de sine-Gordon, àlgebra de bicuaterniones, número complejo hiperbòlics, àlgebra de Clifford i uns atres.

Electrodinàmica i relativitat especial

Descripció general

En la teoria de la relativitat especial, les transformacions de Lorentz exhibixen la simetria del espai-temps de Minkowski per mig de l'us d'una constant c com la velocitat de la llum i un paràmetro v com la velocitat relativa entre dos sistemes de referència inerciales. Usant les condicions anteriors, la transformació de Lorentz en 3+1 dimensions assumix la forma:

$\begin{array}{c}-c^2{t}^2+x^2+y^2+z^2=-c^2{t}^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\\ \begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =\gamma (t-x\frac{v}{c^2})\\ x^{\prime }& =\gamma (x-vt)\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}|\begin{array}{cc}t& =\gamma (t^{\prime }+x\frac{v}{c^2})\\ x& =\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })\\ y& =y^{\prime }\\ z& =z^{\prime }\end{array}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{cc}(c{t}^{\prime }+x^{\prime })& =(ct+x)\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\\ (c{t}^{\prime }-x^{\prime })& =(ct-x)\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\end{array}$

En física, Voigt (1887) havia introduït transformacions anàlogues relacionades en un mig incompresible, i Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896) i Lorentz (1892, 1895), els qui varen analisar les equacions de Maxwell. Estos treballs varen ser completats per Larmor (1897, 1900) i Lorentz (1899, 1904); i Poincaré (1905) els va dur a la seua forma moderna, donant-li a la transformació el nom de Lorentz. Finalment, Einstein (1905) va demostrar en el seu desenroll de la teoria de la relativitat especial que les transformacions es deriven únicament del principi de relativitat i la velocitat constant de la llum modificant els conceptes tradicionals d'espai i temps, sense necessitat de recórrer al éter com a mig de transmissió de la llum, a diferència de lo que havien considerat en els seus treballs Lorentz i Poincaré. Minkowski (1907-1908) va usar estes transformacions per a argumentar que l'espai i el temps estan inseparablemente conectats en lo que va passar a denominar-se el espai-temps.

Sobre les representacions especials de les transformacions de Lorentz, Minkowski (1907-1908) i Sommerfeld (1909) varen usar funcions trigonométricas imaginàries, Frank (1909) i Varićak (1910) varen usar funcions hiperbòliques, Bateman i Cunningham (1909-1910) varen usar transformació d'ones esfèriques, Herglotz (1909-10) va usar transformacions de Möbius, Plummer (1910) i Gruner (1921) varen usar impulsos trigonométricos de Lorentz, Ignatowski (1910) va deduir les transformacions sense el postulat de la velocitat de la llum, Noether (1910) i Klein (1910) com també Conway (1911) i Silberstein (1911) varen usar bicuaterniones, Ignatowski (1910/11), Herglotz (1911), i uns atres varen usar transformacions vectorials vàlides en direccions arbitràries, i per últim, Borel (1913-14) va usar el paràmetro de Cayley-Hermite.

Plantilla:Anchor Voigt (1887)

Woldemar Voigt (1887) va desenrollar una transformació en relació en l'efecte Doppler i un mig incompresible, que en notació moderna pren la forma següent:

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}{\xi }_1& =x_1-\varkappa t\\ {\eta }_1& =y_{1}q\\ {\zeta }_1& =z_{1}q\\ \tau & =t-\frac{\varkappa x_1}{{\omega }^2}\\ q& =\sqrt{1-\frac{{\varkappa }^2}{{\omega }^2}}\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x-vt\\ y^{\prime }& =\frac{y}{\gamma }\\ z^{\prime }& =\frac{z}{\gamma }\\ t^{\prime }& =t-\frac{vx}{c^2}\\ \frac{1}{\gamma }& =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\end{array}\end{array}$

Si els costats drets de les seues equacions es multipliquen per γ, s'obté la transformació moderna de Lorentz. En la teoria de Voigt, la velocitat de la llum és invariante, pero les seues transformacions mesclen un impuls relativiste junt en una reescalación de l'espai-temps. Els fenomens òptics en l'espai lliure són escalables, conformes i invariantes de Lorentz, per lo que la seua combinació també és invariante. Per eixemple, les transformacions de Lorentz es poden ampliar usant el factor $l$:

$x^{\prime }=\gamma l(x-vt),y^{\prime }=ly,z^{\prime }=lz,t^{\prime }=\gamma l(t-x\frac{v}{c^2})$.

l=1/γ dona la transformació de Voigt, que quan l=1 dona la transformació de Lorentz. Pero les transformacions d'escala no són una simetria de totes les lleis de la naturalea, solament de l'electromagnetisme, per lo que estes transformacions no poden usar-se per a formular un principi de relativitat en general. Poincaré i Einstein varen demostrar que cal establir l=1 per a fer simètrica la transformació anterior i formar un grup com ho exigix el principi de relativitat, per lo que la transformació de Lorentz és l'única opció viable.

Voigt va enviar el seu artícul de 1887 a Lorentz en 1908, i va ser reconegut en 1909:

També Hermann Minkowski va dir en 1908 que les transformacions que eixerciten el paper principal en el principi de la relativitat varen ser examinades per primera volta per Voigt en 1887. Voigt va respondre en el mateix artícul dient que la seua teoria es basava en una teoria elàstica de la llum, no en una teoria electromagnètica. No obstant, va concloure que alguns resultats eren en realitat els mateixos.

Plantilla:Anchor Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896)

En 1888, Oliver Heaviside va investigar les propietats de les càrregues en moviment segons l'electrodinàmica de Maxwell. Va calcular, entre atres coses, les anisotropía en el camp elèctric dels cossos en moviment representats per esta fòrmula:

$\mathrm{E}=\left(\frac{q\mathrm{r}}{r^2}\right){(1-\frac{v^2{\sin }^2\theta }{c^2})}^{-3/2}$.

En conseqüència, Joseph John Thomson (1889) va trobar una manera de simplificar substancialment els càlculs relatius a càrregues en moviment per mig de l'us de la següent transformació matemàtica (de la mateixa manera que atres autors com Lorentz o Larmor, també Thomson va utilisar implícitament la transformació de Galileo z-vt en la seua equació):

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}z& ={\{1-\frac{{\omega }^2}{v^2}\}}^{\frac{1}{2}}{z}^{\prime }\end{array}|& \begin{array}{cc}{z}^{\ast }=z-vt& =\frac{z^{\prime }}{\gamma }\end{array}\end{array}$

D'esta manera, les equacions d'ona electromagnètica no homogénees es transformen en una equació de Poisson. Finalment, George Frederick Charles Searle va senyalar en (1896) que l'expressió de Heaviside conduïx a una deformació dels camps elèctrics a la que va cridar "Elipsoide de Heaviside" de raó axial:

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}& \sqrt{\alpha }:1:1\\ \alpha =& 1-\frac{u^2}{v^2}\end{array}|& \begin{array}{cc}& \frac{1}{\gamma }:1:1\\ \frac{1}{{\gamma }^2}& =1-\frac{v^2}{c^2}\end{array}\end{array}$

Plantilla:Anchor Lorentz (1892, 1895)

Per a explicar l'aberració de la llum i el resultat del experiment de Fizeau d'acort en les equacions de Maxwell, Lorentz va desenrollar en 1892 un model (conegut com teoria de l'éter de Lorentz) en el que l'éter està completament immòvil i la velocitat de la llum en l'éter és constant en totes les direccions. Per a calcular l'òptica dels cossos en moviment, Lorentz va introduir les següents cantitats per a transformar el sistema de l'éter en un sistema en moviment (es desconeix si va ser influenciat per Voigt, Heaviside i Thomson):

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}𝔵& =\frac{V}{\sqrt{V^2-p^2}}x\\ t^{\prime }& =t-\frac{\epsilon }{V}𝔵\\ \epsilon & =\frac{p}{\sqrt{V^2-p^2}}\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\ t^{\prime }& =t-\frac{{\gamma }^{2}v{x}^{\ast }}{c^2}={\gamma }^2(t-\frac{vx}{c^2})\\ \gamma \frac{v}{c}& =\frac{v}{\sqrt{c^2-v^2}}\end{array}\end{array}$

a on x^* és la transformació de Galileo x-vt. Llevat el γ adicional en la transformació del temps, esta és la transformació de Lorentz completa. Mentres que t és el temps "verdader" per als observadors que descansen en l'éter, t′ és una variable auxiliar solament per a calcular processos en els sistemes en moviment. També és important que Lorentz i més vesprada també Larmor formularen esta transformació en dos passos. Al principi una transformació galileana implícita i més vesprada l'ampliació al sistema electromagnètic "fictici" en ajuda de la transformació de Lorentz. Per a explicar el resultat negatiu del experiment de Michelson i Morley, (1892b) va introduir l'hipòtesis adicional de que també les forces intermoleculars es veuen afectades de manera similar i va introduir la contracció de Lorentz en la seua teoria (sense proves, com ell mateixa va admetre). La mateixa hipòtesis havia segut formulada prèviament per George FitzGerald en 1889 basant-se en el treball de Heaviside. Si ben para Lorentz la contracció de la llongitut era un efecte físic real, considerava la transformació del temps sol com una hipòtesis de treball heurística i una convenció matemàtica.

En 1895, Lorentz va desenrollar encara més la seua teoria i va introduir el "teorema dels estats corresponents". Esta teorema establix que un observador en moviment (en relació en l'éter) en el seu camp "fictici" fa les mateixes observacions que un observador en repòs en el seu camp "real" per a velocitats de primer orde en "v/c". Lorentz va demostrar que les dimensions dels sistemes electrostàtics en l'éter i en un marc mòvil estan conectades per esta transformació:

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}x& =x^{\prime }\sqrt{1-\frac{{𝔭}^2}{V^2}}\\ y& =y^{\prime }\\ z& =z^{\prime }\\ t& =t^{\prime }\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\ast }=x-vt& =\frac{x^{\prime }}{\gamma }\\ y& =y^{\prime }\\ z& =z^{\prime }\\ t& =t^{\prime }\end{array}\end{array}$

Per a resoldre problemes òptics, va utilisar la següent transformació, en la que va cridar a la variable de temps modificada "hora local" (en alemán: Ortszeit):

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}x& =\mathrm{x}-{𝔭}_{x}t\\ y& =\mathrm{y}-{𝔭}_{y}t\\ z& =\mathrm{z}-{𝔭}_{z}t\\ t^{\prime }& =t-\frac{{𝔭}_x}{V^2}x-\frac{{𝔭}_y}{V^2}y-\frac{{𝔭}_z}{V^2}z\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x-v_{x}t\\ y^{\prime }& =y-v_{y}t\\ z^{\prime }& =z-v_{z}t\\ t^{\prime }& =t-\frac{v_x}{c^2}{x}^{\prime }-\frac{v_y}{c^2}{y}^{\prime }-\frac{v_z}{c^2}{z}^{\prime }\end{array}\end{array}$

En este concepte Lorentz podria explicar l'efecte Doppler, l'aberració de la llum i l'experiment de Fizeau.

Plantilla:Anchor Larmor (1897, 1900)

En 1897, Larmor va ampliar el treball de Lorentz i va deduir la següent transformació:

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}{x}_1& =x{\epsilon }^{\frac{1}{2}}\\ y_1& =y\\ z_1& =z\\ t^{\prime }& =t-vx/c^2\\ d{t}_1& =d{t}^{\prime }{\epsilon }^{-\frac{1}{2}}\\ \epsilon & ={(1-v^2/c^2)}^{-1}\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}_1& =\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\ y_1& =y\\ z_1& =z\\ t^{\prime }& =t-\frac{v{x}^{\ast }}{c^2}=t-\frac{v(x-vt)}{c^2}\\ d{t}_1& =\frac{d{t}^{\prime }}{\gamma }\\ {\gamma }^2& =\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\end{array}\end{array}$

Va senyalar que si se supon que la constitució de les molècules és elèctrica, llavors la contracció de FitzGerald-Lorentz és una conseqüència d'esta transformació, explicant l'experiment de Michelson i Morley. És notable que Larmor va ser el primer en reconéixer que algun tipo de dilatació del temps també és una conseqüència d'esta transformació, perque "els electrons individuals descriuen parts corresponents de les seues òrbites en temps més curts per al sistema [restant] en la proporció 1/γ". Larmor va escriure les seues equacions i transformacions electrodinàmiques ignorant térmens d'orde superior a (v/c)². Quan el seu artícul de 1897 es reimprimió en 1929, Larmor va afegir el següent comentari en el que descrivia cóm es poden fer vàlits per a tots els órdens de v/c:

D'acort en eixe comentari, en el seu llibre Aether and Matter publicat en 1900, Larmor va utilisar una hora local modificada t″=t′-εvx′/c² en lloc de l'expressió de 1897 t′=t-vx/c² reemplaçant v/c² per εv/c², de modo que t′′ és ara idèntica a la donada per Lorentz en 1892, que va combinar en una transformació galileana per a les coordenades x′, i′, z′, t′:

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x-vt\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\\ t^{\prime }& =t\\ t^{\prime \prime }& =t^{\prime }-\epsilon v{x}^{\prime }/c^2\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x-vt\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\\ t^{\prime }& =t\\ t^{\prime \prime }=t^{\prime }-\frac{{\gamma }^{2}v{x}^{\prime }}{c^2}& ={\gamma }^2(t-\frac{vx}{c^2})\end{array}\end{array}$

Larmor sabia que l'experiment de Michelson i Morley era lo suficientment precís com per a detectar un efecte del moviment que depenia del factor (v/c)², per lo que va buscar transformacions que anaren "precises de segon orde" (com va dir ell). Aixina va escriure les transformacions finals (a on x′=x-vt i t″ com s'indica dalt) com:

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}{x}_1& ={\epsilon }^{\frac{1}{2}}{x}^{\prime }\\ y_1& =y^{\prime }\\ z_1& =z^{\prime }\\ d{t}_1& ={\epsilon }^{-\frac{1}{2}}d{t}^{\prime \prime }={\epsilon }^{-\frac{1}{2}}(d{t}^{\prime }-\frac{v}{c^2}\epsilon d{x}^{\prime })\\ t_1& ={\epsilon }^{-\frac{1}{2}}{t}^{\prime }-\frac{v}{c^2}{\epsilon }^{\frac{1}{2}}{x}^{\prime }\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}_1& =\gamma x^{\prime }=\gamma (x-vt)\\ y_1& =y^{\prime }=y\\ z_1& =z^{\prime }=z\\ d{t}_1& =\frac{d{t}^{\prime \prime }}{\gamma }=\frac{1}{\gamma }(d{t}^{\prime }-\frac{{\gamma }^{2}vd{x}^{\prime }}{c^2})=\gamma (dt-\frac{vdx}{c^2})\\ t_1& =\frac{t^{\prime }}{\gamma }-\frac{\gamma v{x}^{\prime }}{c^2}=\gamma (t-\frac{vx}{c^2})\end{array}\end{array}$

per lo que va aplegar a la transformació completa de Lorentz. Larmor va demostrar que les equacions de Maxwell eren invariantes baix esta transformació de dos passos, "de segon orde en v/c". Més vesprada, Lorentz (1904) i Poincaré (1905) varen demostrar que de fet són invariantes baix esta transformació respecte a tots els órdens de v/c.

Larmor va donar crèdit a Lorentz en dos artículs publicats en 1904, en els que va utilisar el terme "transformació de Lorentz" per a les transformacions de coordenades i configuracions de camp de primer orde de Lorentz:

Plantilla:Anchor Lorentz (1899, 1904)

També Lorentz va ampliar la seua teorema dels estats corresponents en 1899. Primer va escriure una transformació equivalent a la de 1892 (de nou, x* deu ser reemplaçada per x-vt):

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\frac{V}{\sqrt{V^2-{𝔭}_x^2}}x\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\\ t^{\prime }& =t-\frac{{𝔭}_x}{V^2-{𝔭}_x^2}x\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\\ t^{\prime }& =t-\frac{{\gamma }^{2}v{x}^{\ast }}{c^2}={\gamma }^2(t-\frac{vx}{c^2})\end{array}\end{array}$

Després va introduir un factor ε del com va dir que no tenia mijos per a determinar-ho, i va modificar la seua transformació de la següent manera (a on deu insertar-se el valor anterior de t′):

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}x& =\frac{\epsilon }{k}{x}^{\prime \prime }\\ y& =\epsilon y^{\prime \prime }\\ z& =\epsilon x^{\prime \prime }\\ t^{\prime }& =k\epsilon t^{\prime \prime }\\ k& =\frac{V}{\sqrt{V^2-{𝔭}_x^2}}\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\ast }=x-vt& =\frac{\epsilon }{\gamma }{x}^{\prime \prime }\\ y& =\epsilon y^{\prime \prime }\\ z& =\epsilon z^{\prime \prime }\\ t^{\prime }={\gamma }^2(t-\frac{vx}{c^2})& =\gamma \epsilon t^{\prime \prime }\\ \gamma & =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}\end{array}$

Açò equival a la transformació de Lorentz completa quan es resol per a x′′ i t′′ i en ε=1. De la mateixa manera que Larmor, Lorentz va notar en 1899 també una espècie d'efecte de dilatació del temps en relació en la freqüència dels electrons oscilantes "que en S el temps de les vibracions és kε voltes major que en S₀ ", a on S₀ és el sistema de referència de l'éter.

En 1904 va reescriure les equacions de la següent forma establint l=1/ε (novament, x* deu reemplaçar-se per x-vt):

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =klx\\ y^{\prime }& =ly\\ z^{\prime }& =lz\\ t^{\prime }& =\frac{l}{k}t-kl\frac{w}{c^2}x\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\gamma l{x}^{\ast }=\gamma l(x-vt)\\ y^{\prime }& =ly\\ z^{\prime }& =lz\\ t^{\prime }& =\frac{lt}{\gamma }-\frac{\gamma lv{x}^{\ast }}{c^2}=\gamma l(t-\frac{vx}{c^2})\end{array}\end{array}$

Baixe el supòsit de que l=1 quan v=0, va demostrar que l=1 deu ser el cas en totes les velocitats, per lo tant, la contracció de llongitut solament pot sorgir en la llínea de moviment. Llavors, en establir el factor l en l'unitat, les transformacions de Lorentz varen assumir llavors la mateixa forma que les de Larmor i varen quedar completades. A diferència de Larmor, que es va llimitar a mostrar la covarianza de les equacions de Maxwell fins al segon orde, Lorentz va intentar ampliar la seua covarianza a tots els órdens de v/c. També va deduir les fòrmules correctes per a la dependència de la velocitat de la massa electromagnètica i va concloure que les fòrmules de transformació deuen aplicar-se a totes les forces de la naturalea, no solament a les elèctriques. No obstant, no va conseguir la covarianza total de les equacions de transformació per a la densitat de càrrega i la velocitat. Quan l'artícul de 1904 es reimprimió en 1913, Lorentz va afegir la següent observació:

La transformació de Lorentz de 1904 va ser citada i utilisada per Alfred Bucherer en juliol de 1904:

$x^{\prime }=\sqrt{s}x,y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=\frac{t}{\sqrt{s}}-\sqrt{s}\frac{u}{v^2}x,s=1-\frac{u^2}{v^2}$

o per Wilhelm Wien en juliol de 1904:

$x=k{x}^{\prime },y=y^{\prime },z=z^{\prime },t^{\prime }=kt-\frac{v}{k{c}^2}x$

o per Emil Cohn en novembre de 1904 (establint la velocitat de la llum en l'unitat):

$x=\frac{x_0}{k},y=y_0,z=z_0,t=k{t}_0,t_1=t_0-w\cdot r_0,k^2=\frac{1}{1-w^2}$

o per Richard Gans en febrer de 1905:

$x^{\prime }=kx,y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=\frac{t}{k}-\frac{kwx}{c^2},k^2=\frac{c^2}{c^2-w^2}$

Plantilla:Anchor Poincaré (1900, 1905)

Hora local

Ni Lorentz ni Larmor varen donar una interpretació física clara de l'orige de l'hora local. No obstant, Henri Poincaré en 1900 va realisar un comentari sobre l'orige de la "maravellosa invenció" de l'hora local de Lorentz. Va remarcar que va sorgir quan els rellonges en un sistema de referència en moviment se sincronisen per mig de l'intercanvi de senyals que se supon viagen en la mateixa velocitat $c$ en abdós direccions, lo que du a lo que hui es diu relativitat de la simultaneidad, encara que el càlcul de Poincaré no implica contracció de la llongitut o dilatació del temps. Per a sincronisar els rellonges ací en la Terra (en el marc x*, t*), s'envia una senyal lluminosa d'un rellonge (en l'orige) a un atre (en x*), i es torna. Se supon que la Terra es mou en velocitat v en la direcció x (= x*-direcció) en algun sistema en repòs (x, t) (és dir, el sistema del éter per a Lorentz i Larmor). El temps de recorregut cap a l'exterior és

$\delta t_a=\frac{x^{\ast }}{(c-v)}$

i el temps de recorregut de tornada és

$\delta t_b=\frac{x^{\ast }}{(c+v)}$.

El temps transcorregut en el rellonge quan es torna la senyal és δt_a+δt_b i el temps t*=(δt_a+δt_b)/2 s'atribuïx al moment en que la senyal lluminosa va alcançar el rellonge distant. En el marc en repòs, el temps t=δt_a s'atribuïx a eixe mateix instant. Una miqueta d'àlgebra proporciona la relació entre les diferents coordenades de temps atribuïdes al moment en el que es torna la senyal. D'esta manera:

$t^{\ast }=t-\frac{{\gamma }^{2}v{x}^{*}}{c^2}$

expressió idèntica a la de Lorentz (1892). En eliminar el factor γ² baix el supòsit de que $\frac{v^2}{c^2}\ll 1$, Poincaré va donar el resultat t*=t-vx*/c², que és la forma utilisada per Lorentz en 1895.

Posteriorment, Emil Cohn (1904), i Max Abraham (1905) varen donar interpretacions físiques similars de l'hora local.

Transformació de Lorentz

El 5 de juny de 1905 (publicat el 9 de juny) Poincaré va formular equacions de transformació que són algebraicamente equivalents a les de Larmor i Lorentz i els va donar la forma moderna:

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =kl(x+\epsilon t)\\ y^{\prime }& =ly\\ z^{\prime }& =lz\\ t^{\prime }& =kl(t+\epsilon x)\\ k& =\frac{1}{\sqrt{1-{\epsilon }^2}}\end{array}$.

Segons pareix Poincaré desconeixia les aportacions de Larmor, perque solament va mencionar a Lorentz i per això va utilisar per primera volta el nom de "transformació de Lorentz". Va establir la velocitat de la llum en l'unitat, va senyalar les característiques del grup de la transformació establint l=1 i va modificar/va corregir la deducció de Lorentz de les equacions de l'electrodinàmica en alguns detalls per a satisfer completament el principi de relativitat, és dir, fent-les completament covariants de Lorentz.

En juliol de 1905 (publicat en giner de 1906) Poincaré va mostrar en detalle cóm les transformacions i equacions electrodinàmiques són conseqüència del principi de mínima acció. També va demostrar en més detalle les característiques del grup de la transformació, a la que va cridar grup de Lorentz, i va demostrar que la combinació x²+i²+z²-t² és invariante. Es va donar conte de que la transformació de Lorentz és simplement una rotació en un espai de quatre dimensions al voltant de l'orige en introduir $ct\sqrt{-1}$ com una quarta coordenada imaginària, una de les primeres aplicacions d'un cuadrivector. També va completar la fòrmula de la suma de velocitats, que ya havia deduït en cartes inèdites a Lorentz de maig de 1905:

${\xi }^{\prime }=\frac{\xi +\epsilon }{1+\xi \epsilon },{\eta }^{\prime }=\frac{\eta }{k(1+\xi \epsilon )}$.

Plantilla:Anchor Einstein (1905) - Relativitat especial

El 30 de juny de 1905 (publicat en setembre de 1905), Einstein va publicar lo que ara es diu la teoria de la relativitat especial i va donar una nova deducció de la transformació, que es basava únicament en el principi de la relativitat i el principi de la constància de la velocitat de la llum. Mentres que Lorentz considerava que la "hora local" era una convenció matemàtica per a explicar l'experiment de Michelson i Morley, Einstein va demostrar que les coordenades donades per la transformació de Lorentz eren de fet les coordenades inerciales de sistemes de referència mòvils entre sí. Per a cantitats de primer orde en v/c, Poincaré també va fer açò en 1900, mentres que Einstein va deduir la transformació completa per mig d'este método. A diferència de Lorentz i Poincaré, que encara distinguien entre el temps real en l'éter i el temps aparent per als observadors en moviment, Einstein va demostrar que les transformacions s'aplicaven a la cinemàtica dels sistemes de referència en moviment.

La notació per a esta transformació és equivalent a la de Poincaré de 1905, llevat en que Einstein no va establir la velocitat de la llum en l'unitat:

$\begin{array}{cc}\tau & =\beta (t-\frac{v}{V^2}x)\\ \xi & =\beta (x-vt)\\ \eta & =y\\ \zeta & =z\\ \beta & =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}}\end{array}$

Einstein també va definir la fòrmula de la suma de velocitats:

$\begin{array}{c}x=\frac{w_{\xi }+v}{1+\frac{v{w}_{\xi }}{V^2}}t,y=\frac{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}}{1+\frac{v{w}_{\xi }}{V^2}}{w}_{\eta }t\\ U^2={\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2,w^2=w_{\xi }^2+w_{\eta }^2,\alpha =\mathrm{arctg}\frac{w_y}{w_x}\\ U=\frac{\sqrt{(v^2+w^2+2vw\cos \alpha )-{\left(\frac{vw\sin \alpha }{V}\right)}^2}}{1+\frac{vw\cos \alpha }{V^2}}\end{array}|\begin{array}{c}\frac{u_x-v}{1-\frac{u_{x}v}{V^2}}=u_{\xi }\\ \frac{u_y}{\beta (1-\frac{u_{x}v}{V^2})}=u_{\eta }\\ \frac{u_z}{\beta (1-\frac{u_{x}v}{V^2})}=u_{\zeta }\end{array}$

i la fòrmula de l'aberració lluminosa:

$\cos {\phi }^{\prime }=\frac{\cos \phi -\frac{v}{V}}{1-\frac{v}{V}\cos \phi }$

Plantilla:Anchor Minkowski (1907-1908) - Espai-temps

El treball sobre el principi de la relativitat de Lorentz, Einstein i Planck, junt en l'enfocament cuatridimensional de Poincaré, varen ser elaborats encara més i combinats en el modele hiperboloide per Hermann Minkowski en 1907 i 1908. Minkowski va reformular particularment l'electrodinàmica en una forma cuatridimensional (denominada espai-temps de Minkowski ). Per eixemple, va escriure x, i, z, it en la forma x₁, x₂, x₃, x₄. En definir ψ com l'àngul de rotació al voltant de l'eix z, la transformació de Lorentz assumix la forma (en c=1):

$\begin{array}{cc}x{\text{'}}_1& =x_1\\ x{\text{'}}_2& =x_2\\ x{\text{'}}_3& =x_3\cos i\psi +x_4\sin i\psi \\ x{\text{'}}_4& =-x_3\sin i\psi +x_4\cos i\psi \\ \cos i\psi & =\frac{1}{\sqrt{1-q^2}}\end{array}$

Encara que Minkowski va usar l'número imaginario iψ, per una volta va usar directament tangentes hiperbòliques en l'equació de la velocitat:

$-i\tan i\psi =\frac{e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}=q$ en $\psi =\frac{1}{2}\ln \frac{1+q}{1-q}$.

L'expressió de Minkowski també es pot escriure com ψ=atanh(q) i més vesprada es va cridar rapidea. També va escriure la transformació de Lorentz en forma matricial:

$\begin{array}{c}{x}_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=x_1^{\prime 2}+x_2^{\prime 2}+x_3^{\prime 2}+x_4^{\prime 2}\\ (x_1^{\prime }=x^{\prime },x_2^{\prime }=y^{\prime },x_3^{\prime }=z^{\prime },x_4^{\prime }=i{t}^{\prime })\\ -x^2-y^2-z^2+t^2=-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}+t^{\prime 2}\\ x_h={\alpha }_{h1}{x}_1^{\prime }+{\alpha }_{h2}{x}_2^{\prime }+{\alpha }_{h3}{x}_3^{\prime }+{\alpha }_{h4}{x}_4^{\prime }\\ \mathrm{A}=\left|\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11},& {\alpha }_{12},& {\alpha }_{13},& {\alpha }_{14}\\ {\alpha }_{21},& {\alpha }_{22},& {\alpha }_{23},& {\alpha }_{24}\\ {\alpha }_{31},& {\alpha }_{32},& {\alpha }_{33},& {\alpha }_{34}\\ {\alpha }_{41},& {\alpha }_{42},& {\alpha }_{43},& {\alpha }_{44}\end{array}\right|,\begin{array}{cc}\overline{\mathrm{A}}\mathrm{A}& =1\\ {(\det \mathrm{A})}^2& =1\\ \det \mathrm{A}& =1\\ {\alpha }_{44}& >0\end{array}\end{array}$

Com a representació gràfica de la transformació de Lorentz, va introduir el diagrama de Minkowski, que es va convertir en una ferramenta estàndar en llibres de text i artículs d'investigació sobre la relativitat:

Diagrama espai-temporal original de Minkowski (1908)

Plantilla:Anchor Sommerfeld (1909) - Trigonometria

Utilisant una rapidea imaginària com la de Minkowski, Arnold Sommerfeld (1909) va formular l'impuls de Lorentz i la suma relativista de velocitats en térmens de funcions trigonométricas i la llei esfèrica dels cosenos:.

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }=& x\cos \phi +l\sin \phi ,& y^{\prime }=y\\ l^{\prime }=& -x\sin \phi +l\cos \phi ,& z^{\prime }=z\end{array}\}\\ (\mathrm{tg}\phi =i\beta ,\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}},\sin \phi =\frac{i\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}})\\ \beta =\frac{1}{i}\mathrm{tg}({\phi }_1+{\phi }_2)=\frac{1}{i}\frac{\mathrm{tg}{\phi }_1+\mathrm{tg}{\phi }_2}{1-\mathrm{tg}{\phi }_1\mathrm{tg}{\phi }_2}=\frac{{\beta }_1+{\beta }_2}{1+{\beta }_1{\beta }_2}\\ \cos \phi =\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2-\sin {\phi }_1\sin {\phi }_2\cos \alpha \\ v^2=\frac{v_1^2+v_2^2+2v_1{v}_2\cos \alpha -\frac{1}{c^2}{v}_1^2{v}_2^2{\sin }^2\alpha }{{(1+\frac{1}{c^2}{v}_1{v}_2\cos \alpha )}^2}\end{array}$

Plantilla:Anchor Frank (1909) - Funcions hiperbòliques

Philipp Frank (1909) va utilisar funcions hiperbòliques, deduint la transformació de Lorentz per mig de l'us de ψ com la rapidea:

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\phi (a)\mathrm{c}\mathrm{h}\psi +t\phi (a)\mathrm{s}\mathrm{h}\psi \\ t^{\prime }=-x\phi (a)\mathrm{s}\mathrm{h}\psi +t\phi (a)\mathrm{c}\mathrm{h}\psi \\ \mathrm{t}\mathrm{h}\psi =-a,\mathrm{s}\mathrm{h}\psi =\frac{a}{\sqrt{1-a^2}},\mathrm{c}\mathrm{h}\psi =\frac{1}{\sqrt{1-a^2}},\phi (a)=1\\ x^{\prime }=\frac{x-at}{\sqrt{1-a^2}},y^{\prime }=y,z^{\prime }=z,t^{\prime }=\frac{-ax+t}{\sqrt{1-a^2}}\end{array}$

Plantilla:Anchor Bateman i Cunningham (1909-1910) - Transformació d'ona esfèrica

En llínea en l'investigació de Sophus Lie (1871) sobre la relació entre les transformacions d'una esfera en una coordenada de radi imaginari i transformacions conformes 4D, Bateman i Cunningham (1909-1910) varen senyalar que en establir o=ict com a quartes coordenades imaginàries es poden produir transformacions conformes en l'espai-temps. No solament la forma quadràtica $\lambda (d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2+d{u}^2)$, sino també les equacions de Maxwell són covariants sobre estes transformacions, independentment de l'elecció de λ. Bateman va cridar transformació d'ona esfèrica a estes variants de transformacions conformes o de l'esfera de Lie. No obstant, esta covarianza està restringida a certes àrees com l'electrodinàmica, mentres que la totalitat de les lleis naturals en sistemes de referència inerciales és covariant baix el grup de Lorentz. En particular, en establir λ=1, el grup de Lorentz SO(1,3) pot vore's com un subgrup de 10 paràmetros del grup conforme de l'espai-temps En(1,3) de 15 paràmetros.

Bateman (1910-12) també va aludir a l'identitat entre les transformacions d'inversió de Laguerre i Lorentz. En general, l'isomorfisme entre el grup de Laguerre i el grup de Lorentz va ser senyalat per Élie Cartan (1912, 1915-55), Henri Poincaré (1912-21) i uns atres.

Plantilla:Anchor Herglotz (1909/10) - Transformació de Möbius

Seguint a Felix Klein (1889-1897) i Fricke i Klein (1897) sobre el moviment hiperbòlic absolut de Cayley i la seua transformació, Gustav Herglotz (1909-10) va classificar les transformacions de Lorentz d'un paràmetro com loxodrómicas, hiperbòliques, parabòliques i elíptiques. El cas general (a l'esquerra) i el cas hiperbòlic equivalent a transformacions de Lorentz o aplicacions de compressió són els següents:

$\begin{array}{c}{z}_1^2+z_2^2+z_3^2-z_4^2=0\\ z_1=x,z_2=y,z_3=z,z_4=t\\ Z=\frac{z_1+i{z}_2}{z_4-z_3}=\frac{x+iy}{t-z},Z^{\prime }=\frac{x^{\prime }+i{y}^{\prime }}{t^{\prime }-z^{\prime }}\\ Z=\frac{\alpha Z^{\prime }+\beta }{\gamma Z^{\prime }+\delta }\end{array}|\begin{array}{c}Z=Z^{\prime }{e}^{\vartheta }\\ \begin{array}{cccc}x& =x^{\prime },& t-z& =(t^{\prime }-z^{\prime })e^{\vartheta }\\ y& =y^{\prime },& t+z& =(t^{\prime }+z^{\prime })e^{-\vartheta }\end{array}\end{array}$

Plantilla:Anchor Varićak (1910) - Funcions hiperbòliques

Despuix de Sommerfeld (1909), Vladimir Varićak va utilisar funcions hiperbòliques en varis artículs a partir de 1910, que varen representar les equacions de la relativitat especial sobre la base de la geometria hiperbòlica en térmens de coordenades de Weierstrass. Per eixemple, en establir l=ct i v/c=tanh(o) en o com a rapidea, va escriure la transformació de Lorentz com:

$\begin{array}{cc}{l}^{\prime }& =-x\mathrm{sh}u+l\mathrm{ch}u,\\ x^{\prime }& =x\mathrm{ch}u-l\mathrm{sh}u,\\ y^{\prime }& =y,z^{\prime }=z,\\ \mathrm{ch}u& =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}\end{array}$

i va mostrar la relació de la rapidea en la funció de Gudermann i l'àngul de paralelisme:

$\frac{v}{c}=\mathrm{th}u=\mathrm{tg}\psi =\sin \mathrm{gd}(u)=\cos \Pi (u)$

També va relacionar l'adició de velocitat al teorema del coseno:

$\begin{array}{c}\mathrm{ch}u=\mathrm{ch}{u}_1\mathrm{c}h{u}_2+\mathrm{sh}{u}_1\mathrm{sh}{u}_2\cos \alpha \\ \mathrm{ch}{u}_i=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v_i}{c}\right)}^2}},\mathrm{sh}{u}_i=\frac{v_i}{\sqrt{1-{\left(\frac{v_i}{c}\right)}^2}}\\ v=\sqrt{v_1^2+v_2^2-{\left(\frac{v_1{v}_2}{c}\right)}^2}(a=\frac{\pi }{2})\end{array}$

Posteriorment, atres autors com Edmund Whittaker (1910) o Alfred Robb (1911, que va falcar el nom de rapidea) varen utilisar expressions similars, que encara s'utilisen en els llibres de text moderns.

Plantilla:Anchor Plummer (1910) - Impuls de Lorentz en térmens trigonométricos

Henry Crozier Keating Plummer (1910) va definir l'impuls de Lorentz en térmens de funcions trigonométricas

$\begin{array}{c}\tau =t\sec \beta -x\tan \beta /U\\ \xi =x\sec \beta -Ut\tan \beta \\ \eta =y,\zeta =z,\\ \sin \beta =v/U\end{array}$

Plantilla:Anchor Ignatowski (1910)

Mentres que les deduccions i formulació anteriors de la transformació de Lorentz es varen basar des del principi en l'òptica, l'electrodinàmica o la invariancia de la velocitat de la llum, Vladimir Ignatowski (1910) va demostrar que és possible utilisar únicament el principi de relativitat (i els principis de la teoria de grups relacionats), per a deduir la següent transformació entre dos marcs inerciales:

$\begin{array}{cc}d{x}^{\prime }& =pdx-pqdt\\ d{t}^{\prime }& =-pqndx+pdt\\ p& =\frac{1}{\sqrt{1-q^{2}n}}\end{array}$

La variable n pot vore's com una constant espai-temporal el valor del qual deu determinar-se per mig d'experiments o prendre's d'una llei física coneguda com l'electrodinàmica. Per a això, Ignatowski va utilisar l'elipsoide de Heaviside abans mencionat, que representa una contracció de camps electrostàtics per x/γ en la direcció del moviment. Es pot vore que açò solament és consistent en la transformació de Ignatowski quan n=1/c², lo que resulta en p=γ i la transformació de Lorentz. En n=0, no sorgixen canvis de llongitut i se seguix la transformació galileana. El método de Ignatowski va ser desenrollat i millorat per Philipp Frank i Hermann Rothe (1911, 1912), i varis autors varen desenrollar métodos similars en els anys següents.

Plantilla:Anchor Noether (1910), Klein (1910) - Cuaterniones

Felix Klein (1908) va descriure les multiplicacions de cuaterniones 4D de Cayley (1854) com "Drehstreckungen" (substitucions ortogonals en térmens de rotacions que deixen invariante una forma quadràtica fins a un factor), i va senyalar que el principi modern de la relativitat proporcionat per Minkowski és essencialment solament la consegüent aplicació de tals "Drehstreckungen", encara que no va proporcionar detalls.

En un apèndix de la "Teoria del cim" de Klein i Sommerfeld (1910), Fritz Noether va mostrar cóm formular rotacions hiperbòliques utilisant bicuaterniones en $\omega =\sqrt{-1}$, que també va relacionar en la velocitat de la llum establint ω²=-c². Va concloure que este és l'ingredient principal per a una representació racional del grup de transformacions de Lorentz:

$\begin{array}{c}V=\frac{Q_{1}v{Q}_2}{T_1{T}_2}\\ X^2+Y^2+Z^2+{\omega }^2{S}^2=x^2+y^2+z^2+{\omega }^2{s}^2\\ \begin{array}{cc}V& =Xi+Yj+Zk+\omega S\\ v& =xi+yj+zk+\omega s\\ Q_1& =(+Ai+Bj+Ck+D)+\omega (A^{\prime }i+B^{\prime }j+C^{\prime }k+D^{\prime })\\ Q_2& =(-Ai-Bj-Ck+D)+\omega (A^{\prime }i+B^{\prime }j+C^{\prime }k-D^{\prime })\\ T_1{T}_2& =T_1^2=T_2^2=A^2+B^2+C^2+D^2+{\omega }^2(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2})\end{array}\end{array}$

Ademés de citar obres estàndar relacionades en els cuaterniones d'Arthur Cayley (1854), Noether es va referir a les entrades de l'enciclopèdia de Klein d'Eduard Study (1899) i la versió francesa d'Élie Cartan (1908). La versió de Cartan conté una descripció dels números duals de l'estudi, els bicuaterniones de Clifford (inclosa l'elecció $\omega =\sqrt{-1}$ per a la geometria hiperbòlica) i l'àlgebra de Clifford, en referències a Stephanos (1883), Buchheim (1884-85), Vahlen (1901-02) i uns atres.

Citant a Noether, el propi Klein va publicar en agost de 1910 les següents substitucions de cuaterniones que formen el grup de transformacions de Lorentz:

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}& (i_1{x}^{\prime }+i_2{y}^{\prime }+i_3{z}^{\prime }+ic{t}^{\prime })\\ & -(i_1{x}_0+i_2{y}_0+i_3{z}_0+ic{t}_0)\end{array}=\frac{\left[\begin{array}{cc}& (i_1(A+i{A}^{\prime })+i_2(B+i{B}^{\prime })+i_3(C+i{C}^{\prime })+i_4(D+i{D}^{\prime }))\\ & \cdot (i_{1}x+i_{2}y+i_{3}z+ict)\\ & \cdot (i_1(A-i{A}^{\prime })+i_2(B-i{B}^{\prime })+i_3(C-i{C}^{\prime })-(D-i{D}^{\prime }))\end{array}\right]}{(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2})-(A^2+B^2+C^2+D^2)}\\ \text{where}\\ A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }+D{D}^{\prime }=0\\ A^2+B^2+C^2+D^2>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{array}$

o en març de 1911:

$\begin{array}{c}{g}^{\prime }=\frac{pg\pi }{M}\\ \begin{array}{cc}g& =\sqrt{-1}ct+ix+jy+kz\\ g^{\prime }& =\sqrt{-1}c{t}^{\prime }+i{x}^{\prime }+j{y}^{\prime }+k{z}^{\prime }\\ p& =(D+\sqrt{-1}{D}^{\prime })+i(A+\sqrt{-1}{A}^{\prime })+j(B+\sqrt{-1}{B}^{\prime })+k(C+\sqrt{-1}{C}^{\prime })\\ \pi & =(D-\sqrt{-1}{D}^{\prime })-i(A-\sqrt{-1}{A}^{\prime })-j(B-\sqrt{-1}{B}^{\prime })-k(C-\sqrt{-1}{C}^{\prime })\\ M& =(A^2+B^2+C^2+D^2)-(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2})\\ & A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }+D{D}^{\prime }=0\\ & A^2+B^2+C^2+D^2>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{array}\end{array}$

Plantilla:Anchor Conway (1911), Silberstein (1911) - Cuaterniones

Arthur W. Conway en febrer de 1911 va formular explícitament transformacions cuaterniónicas de Lorentz de vàries cantitats electromagnètiques en térmens de velocitat λ:

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}𝙳& ={𝐚}^{-1}{𝙳}^{\prime }{𝐚}^{-1}\\ \sigma & =𝐚{\sigma }^{\prime }{𝐚}^{-1}\end{array}\\ e={𝐚}^{-1}{e}^{\prime }{𝐚}^{-1}\\ a={(1-h{c}^{-1}\lambda )}^{\frac{1}{2}}{(1+c^{-2}{\lambda }^2)}^{-\frac{1}{4}}\end{array}$

També Ludwik Silberstein en novembre de 1911 aixina com en 1914, va formular la transformació de Lorentz en térmens de velocitat v:

$\begin{array}{c}{q}^{\prime }=QqQ\\ \begin{array}{cc}q& =𝐫+l=xi+yj+zk+\iota ct\\ q& \text{'}={𝐫}^{\prime }+l^{\prime }=x^{\prime }i+y^{\prime }j+z^{\prime }k+\iota c{t}^{\prime }\\ Q& =\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{1+\gamma }+\mathrm{u}\sqrt{1-\gamma })\\ & =\cos \alpha +\mathrm{u}\sin \alpha =e^{\alpha \mathrm{u}}\\ & \{\gamma ={(1-v^2/c^2)}^{-1/2},2\alpha =\mathrm{arctg}\left(\iota \frac{v}{c}\right)\}\end{array}\end{array}$

Silberstein cita a Cayley (1854, 1855) i l'entrada de l'enciclopèdia de Study (en la versió francesa ampliada de Cartan en 1908), aixina com l'apèndix del llibre de Klein i Sommerfeld.

Plantilla:Anchor Ignatowski (1910/11), Herglotz (1911) i atres - Transformació vectorial

Vladimir Ignatowski (1910, publicat en 1911) va mostrar cóm reformular la transformació de Lorentz per a permetre velocitats i coordenades arbitràries:

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}𝔳=\frac{{𝔳}^{\prime }+(p-1){𝔠}_0\cdot {𝔠}_0{𝔳}^{\prime }+pq{𝔠}_0}{p(1+nq{𝔠}_0{𝔳}^{\prime })}& |\begin{array}{cc}{𝔄}^{\prime }& =𝔄+(p-1){𝔠}_0\cdot {𝔠}_0𝔄-pqb{𝔠}_0\\ b^{\prime }& =pb-pqn𝔄{𝔠}_0\\ \\ 𝔄& ={𝔄}^{\prime }+(p-1){𝔠}_0\cdot {𝔠}_0{𝔄}^{\prime }+pq{b}^{\prime }{𝔠}_0\\ b& =p{b}^{\prime }+pqn{𝔄}^{\prime }{𝔠}_0\end{array}\end{array}\\ [𝔳=𝐮,𝔄=𝐱,b=t,{𝔠}_0=\frac{𝐯}{v},p=\gamma ,n=\frac{1}{c^2}]\end{array}$

Gustav Herglotz (1911) també va mostrar cóm formular la transformació per a permetre velocitats i coordenades arbitràries v=(v_x, v_i, v_z) i r=' '(x,i,z):

$\begin{array}{cc}\text{original}& \text{moderno}\\ \begin{array}{cc}{x}^0& =x+\alpha u(ux+vy+wz)-\beta ut\\ y^0& =y+\alpha v(ux+vy+wz)-\beta vt\\ z^0& =z+\alpha w(ux+vy+wz)-\beta wt\\ t^0& =-\beta (ux+vy+wz)+\beta t\\ & \alpha =\frac{1}{\sqrt{1-s^2}(1+\sqrt{1-s^2})},\beta =\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}\end{array}|& \begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x+\alpha v_x(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z)-\gamma v_{x}t\\ y^{\prime }& =y+\alpha v_y(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z)-\gamma v_{y}t\\ z^{\prime }& =z+\alpha v_z(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z)-\gamma v_{z}t\\ t^{\prime }& =-\gamma (v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z)+\gamma t\\ & \alpha =\frac{{\gamma }^2}{\gamma +1},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\end{array}\end{array}$

Açò va ser simplificat usant notació vectorial per Ludwik Silberstein (1911 a l'esquerra, 1914 a la dreta):

$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{𝐫}^{\prime }& =𝐫+(\gamma -1)(𝐫𝐮)𝐮+i\beta \gamma lu\\ l^{\prime }& =\gamma [l-i\beta (𝐫𝐮)]\end{array}& \begin{array}{cc}{𝐫}^{\prime }& =𝐫+[\frac{\gamma -1}{v^2}(𝐯𝐫)-\gamma t]𝐯\\ t^{\prime }& =\gamma [t-\frac{1}{c^2}(𝐯𝐫)]\end{array}\end{array}$

Wolfgang Pauli (1921) també va proporcionar fòrmules equivalents, i Erwin Madelung (1922) va proporcionar la forma matricial

$\begin{array}{ccccc}& x& y& z& t\\ x^{\prime }& 1-\frac{v_x^2}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& -\frac{v_x{v}_y}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& -\frac{v_x{v}_z}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& \frac{-v_x}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ y^{\prime }& -\frac{v_x{v}_y}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& 1-\frac{v_y^2}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& -\frac{v_y{v}_z}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& \frac{-v_y}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ z^{\prime }& -\frac{v_x{v}_z}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& -\frac{v_y{v}_z}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& 1-\frac{v_z^2}{v^2}(1-\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}})& \frac{-v_z}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ t^{\prime }& \frac{-v_x}{c^2\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{-v_y}{c^2\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{-v_z}{c^2\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\end{array}$

Estes fòrmules varen ser denominades "transformació general de Lorentz sense rotació" per Christian Møller (1952), qui ademés va donar una transformació de Lorentz encara més general en la que els eixos cartesianos tenen diferents orientacions, utilisant un operador de rotació $𝔇$. En este cas, v′=(v′_x, v′_i, v′_z) no és igual a -v=(-v_x, - v_i, -v_z), pero en el seu lloc es manté la relació ${𝐯}^{\prime }=-𝔇𝐯$, en el resultat

$\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{𝐱}^{\prime }& ={𝔇}^{-1}𝐱-{𝐯}^{\prime }\{(\gamma -1)(𝐱\mathbf{\cdot }𝐯)/v^2-\gamma t\}\\ t^{\prime }& =\gamma (t-(𝐯\cdot 𝐱)/c^2)\end{array}\end{array}$