Anex:Conceptes de la teoria de tensors

Este glossari de teoria de tensors arreplega el significat dels principals térmens utilisats en el camp dels tensorés. Per a més detalls sobre la teoria dels tensors des de diferents punts de vista, consulte's:

Per a conéixer una miqueta de l'història de la teoria abstracta, vore també àlgebra multilineal.

Notació clàssica

Càlcul de Ricci: És el fonament més antic de la teoria tensorial, i va introduir la notació tensorial en índexs.^[1]

Orde d'un tensor: Els components d'un tensor sobre una base són una matriu indexada. El orde d'un tensor és el número d'índexs necessaris. Alguns texts poden referir-se a l'orde dels tensors utilisant el terme grau o ranc.

Ranc d'un tensor: El ranc d'un tensor és el número mínim de tensors de ranc un que es deuen sumar per a obtindre el tensor. Un tensor de ranc un pot definir-se com a expressable per mig del producte extern del número de vectores distints de zero necessaris per a obtindre l'orde correcte.

Tensor diàdic: Un tensor diàdic és un tensor d'orde dos i pot representar-se com una matriu quadrada. Pel contrari, una díada és específicament un tensor diàdic de ranc un.

Conveni de suma d'Einstein: Esta notació es basa en l'enteniment de que sempre que una matriu multidimensional conté una lletra d'índex repetida, l'interpretació predeterminada és que el producte se sumixca a tots els valors permesos de l'índex. Per eixemple, si a_ij és una matriu, llavors, segons esta convenció, a_ii és el seu traça. La convenció d'Einstein s'usa àmpliament en texts de física i ingenieria, fins al punt de que si no es va a aplicar la suma, és normal senyalar-ho explícitament.

Delta de Kronecker

Símbol de Levi-Civita

Tensor covariant

Tensor contravariante: L'interpretació clàssica és per components. Per eixemple, en la forma diferencial a_idxⁱ les components a_i són un vector covariant. Això significa que tots els índexs són subíndexs; contravariante significa que tots els índexs són superíndexs.

Tensor mixt: Denominació de qualsevol tensor que tinga índexs tant inferiors com a superiors.

Tensor cartesiano: Els tensors cartesianos s'utilisen àmpliament en vàries branques de la mecànica de mijos continus, com la mecànica de decorreguts i l'elasticitat. En la mecànica de mijos continus clàssica, l'espai considerat sol ser l'espai euclídeo tridimensional, de la mateixa manera que l'espai tangente en cada punt. Si es restringixen les coordenades locals a coordenades cartesianas en la mateixa escala centrada en el punt d'interés, el tensor mètric és la delta de Kronecker. Açò significa que no hi ha necessitat de distinguir components covariants i contravariantes i, ademés, no hi ha necessitat de distinguir tensors i densitat tensoriales. Tots els índexs d'un tensor cartesiano figuren com a subíndexs. Els tensors cartesianos impliquen una simplificació computacional considerable a costa de la generalitat i de certa comprensió teòrica.

Contracció d'un tensor

Llei de pujar o baixar índexs (tensors)

Tensor simètric

Tensor antisimètric

Producte mixt

Notació algebraica

Açò evita l'us inicial de components i es distinguix per l'us explícit del símbol del producte tensorial.

Producte tensorial

Si v i w són vectores en els espais vectorials V i W respectivament, llavors

v \otimes w

és un tensor en

V \otimes W .

És dir, l'operació ⊗ és binaria, pero du valors a un espai nou (és en un sentit estricte extern). L'operació ⊗ és bilineal; pero no se li apliquen atres condicions.

Tensor pur: Un tensor pur de V ⊗ W és aquell que té la forma v ⊗ w.; Podria escriure's diádicamente aⁱb^j, o més exactament aⁱb^jii ⊗ f'_j, a on els i_i són una base de V i els f_j són una base de W. Per lo tant, a menos que V i W tinguen la mateixa dimensió, no és necessari que la matriu de components siga quadrada. Estos tensors purs no són genèrics: si tant V com a W tenen una dimensió major que 1, hi haurà tensors que no seran purs i deuran establir-se condicions no llineals per a que un tensor siga pur. Per a obtindre més informació, consulte's embebido de Segre.

Àlgebra tensorial: En l'àlgebra tensorial T(V) d'un espai vectorial V, l'operació $\otimes$ es convertix en una operació binaria normal (interna). Una conseqüència és que T(V) té dimensió infinita a menos que V tinga dimensió 0. l'àlgebra lliure en un conjunt X és, a efectes pràctics, igual que l'àlgebra tensorial en l'espai vectorial en X com a base.

Operador estrela de Hodge

Energia exterior

El producte exterior és la forma antisimètrica de l'operació ⊗. L'espai cocient de T(V) en el que es convertix en operació interna és el producte exterior de V; és un àlgebra graduada, i la peça graduada de pes k es denomina k-ésima potència exterior de V.

Potència simètrica, àlgebra simètrica: És la forma invariante per a construir un anell de polinomis.

Aplicacions

Tensor mètric

Tensor de deformació

Tensor d'energia-impulse

Teoria de camps tensoriales

Matriu i determinant jacobianos

Camp tensorial

Densitat tensorial

Derivada de Lie

Derivada covariant

Geometria diferencial

Àlgebra abstracta

Producte tensorial de camps: És una operació entre camps, que no sempre produïx un atre camp.

Producte tensorial de R-àlgebra

Representacions de àlgebra de Clifford: Representació d'un àlgebra de Clifford que permet una realisació d'un àlgebra de Clifford com un àlgebra matricial.