Introducció a les matemàtiques de la relativitat general
- Este artícul és una introducció no tècnica al tema. Per a consultar l'artícul principal de l'enciclopèdia, consulte's matemàtiques de la relativitat general
Les matemàtiques de la relativitat general són complicades. En les teories del moviment de Newton, la llongitut d'un objecte i la velocitat a la que passa el temps permaneixen constants mentres l'objecte es accelera, lo que significa que molts problemes en mecànica newtoniana poden resoldre's utilisant àlgebra únicament. En la relativitat, no obstant, la llongitut d'un objecte i la velocitat a la que passa el temps canvien apreciablement a mida que la velocitat de l'objecte s'acosta a la velocitat de la llum, lo que significa que es requerixen més variables i matemàtiques més complicades per a calcular el moviment de l'objecte. Com a resultat, la relativitat requerix l'us de conceptes com vectores, tensors, seudotensores i coordenades curvilíneas.
Per a una introducció basada en l'eixemple de partícules que seguixen òrbites circulares al voltant d'una massa molt gran, es donen tractaments relativistes i no relativistes en els artículs motivacions newtonianas de la relativitat general i motivacions teòriques per a la relativitat general, respectivament.
Vectores i tensors
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Vector.
Vectores
[editar | editar còdic]
En matemàtiques, física i ingenieria, un vector euclídeo (a voltes cridat geomètric[1] o vector espacial,[2] o, com ací, simplement un vector) és un objecte geomètric que té magnitut (o llongitut), direcció i sentit. Un vector és lo que es necessita per a "dur" el punt A al punt B. La paraula llatina vector significa "el que du".[3] La magnitut del vector és la distància entre els dos punts, la direcció es referix a la recta sobre la que es produïx el desplaçament de A a B, i el sentit fa referència a l'orde en el que es recorren els punts (primer A i després B). Moltes operacions algebraiques en número real, com l'adició, la resta, la multiplicació i la negació, tenen anàlecs quan es treballa en vectores. I ademés, estes operacions obedixen a les familiars lleis algebraiques de conmutativitat, asociativitat i distributivitat.
Tensors
[editar | editar còdic]
Un tensor estén el concepte de vector a direccions adicionals. Un escalar, és dir, un número simple sense direcció, es mostraria en un gràfic com un punt, un objecte de dimensió zero. Un vector, que té magnitut i direcció, apareixeria en un gràfic com un segment rectilíneo, que és un objecte unidimensional. Un vector és un tensor de primer orde, ya que té una direcció.
Un tensor de segon orde té dos magnituts i dos direccions, i apareixeria en un gràfic com dos llínees similars a les manetes d'un rellonge. El "orde" d'un tensor és el número de direccions contingudes en el seu interior, un concepte que està separat de les dimensions de les direccions individuals. Un tensor de segon orde en dos dimensions podria representar-se matemàticament per mig d'una matriu de 2 per 2 i en tres dimensions per mig d'una matriu de 3 per 3, pero en abdós casos la matriu és "quadrada" per a un tensor de segon orde. Un tensor de tercer orde té tres magnituts i direccions, i estaria representat per una gaveta de números, 3 per 3 per 3 per a direccions en tres dimensions, i aixina successivament per a dimensions superiors.
Aplicacions
[editar | editar còdic]Els vectores són fonamentals en les ciències físiques. Es poden utilisar per a representar qualsevol cantitat que tinga magnitut, direcció i sentit, com la velocitat, la magnitut de la qual és la celeritat. Per eixemple, una velocitat de "5 metros per segon cap a dalt" podria representar-se per mig del vector (0, 5) (en 2 dimensions en l'eix positiu i com "dalt"). Una atra cantitat representada per un vector és la força, ya que posseïx magnitut, direcció i sentit. Els vectores també descriuen moltes atres cantitats físiques, com desplaçaments, acceleració, cantitat de moviment i moment angular. Atres vectores físics, com el camp elèctric i el camp magnètic, es representen com un sistema de vectores en cada punt d'un espai físic; és dir, lo que es denomina un camp vectorial.
Els tensors també tenen àmplies aplicacions en física:
- El tensor de camp electromagnètic (o tensor de Faraday) en electromagnetisme
- Els tensors de deformació finita per a descriure deformacions i el tensor deformació para modelizar tensions en mecànica de mijos continus
- La permitivitat i la susceptibilitat elèctrica es representen per mig de tensors en mijos anisótropos
- El tensor d'energia-impulse en la relativitat general, usat per a representar fluixs de cantitat de moviment
- Els operadors tensoriales esfèrics són les funcions pròpies de l'operador quàntic moment angular en coordenades esfèriques
- Els tensors de difusió, base de les imàgens del tensor de difusió, que representen taxes de difusió en entorns biològics
Dimensions
[editar | editar còdic]En la relativitat general, es requerixen vectores de quatre dimensions, denominats cuadrivectorés. Estes quatre dimensions són llarc, alt, ample i temps. Un "punt" en este context seria un event, ya que està associat tant a un lloc com a un temps. De la mateixa manera que els vectores, els tensors en relativitat requerixen quatre dimensions. Un eixemple és el tensor de curvatura.
Transformació de coordenades
[editar | editar còdic]-
Es mostra un vector v en dos cuadrículas de coordenades, ix i ir. En l'espai, no existix una cuadrícula de coordenades preferent per a usar-la. Açò significa que el sistema de coordenades canvia segons l'ubicació i l'orientació de l'observador. Els observadors ix i ir en esta image miren en direccions diferents.
-
Ací s'observa que ix i ir veuen el vector de manera diferent. La direcció del vector és la mateixa. Pero per a ix, el vector es mou cap a la seua esquerra; i per a ir, el vector es mou cap a la seua dreta.
En física, aixina com en matemàtiques, un vector a sovint s'identifica en una tupla, o llista de números, que depenen d'un sistema de coordenades o sistema de referència. Si les coordenades es transformen, com quan per eixemple es produïx una rotació o un estiramiento del sistema de coordenades, les components del vector també es transformen. El vector en sí no canvia, pero el sistema de referència sí. Açò significa que les components del vector tenen que modificar-se per a compensar el canvi del sistema de referència.
El vector es diu covariant o contravariante depenent de cóm es relaciona la transformació de les components del vector en la transformació de coordenades.
- Els vectores contravariantes tenen unitats de distància (com un desplaçament) o una distància multiplicada per alguna atra unitat (com la velocitat o l'acceleració) i es transformen de manera oposta al sistema de coordenades. Per eixemple, en canviar unitats de metros a milímetros, les unitats de les coordenades es tornen més chicotetes, pero els números en un vector es fan més grans: 1 m es convertix en 1000 mm.
- Els vectores covariants, per un atre costat, tenen unitats relatives a la distància, com en el cas d'un gradient (en el que s'especifica la variació d'una magnitut per unitat de distància) i es transformen de la mateixa manera que el sistema de coordenades. Per eixemple, en canviar de metros a milímetros, les unitats de coordenades es tornen més chicotetes i el número que medix un gradient també es farà més chicotet: 1 Kelvin per m es convertix en 0,001 Kelvin per mm.
Segons el conveni de suma d'Einstein, els vectores contravariantes i les components contravariantes dels tensors s'especifiquen en superíndexs, com per eixemple xi; i els vectores covariants i les components covariants dels tensors s'especifiquen en subíndexs, com per eixemple xi. Els índexs es "pugen" o "baixen" per mig de la multiplicació per una matriu apropiada, a sovint la matriu d'identitat.
La transformació de coordenades és important perque la relativitat establix que no hi ha perspectiva o punt de referència que puga considerar-se universalment ventajós. En la Terra s'utilisen dimensions com llongitut, latitut i elevació, que s'ampren en tot el planeta. No existix tal sistema per a l'espai. Sense una cuadrícula de referència clara, resulta més precís descriure les quatre dimensions com cap a/llunt, esquerra/dreta, dalt/avall i passat/futur. Com a event d'eixemple, suponga's que la Terra és un objecte immòvil i considere's la firma de la Declaració d'Independència dels Estats Units. Per a un observador modern situat en el mont Rainier i que mire cap a l'est, l'event està alvance, a la dreta, avall i en el passat. No obstant, per a un observador de l'Anglaterra medieval que mire cap al nort, l'acontenyiment està darrere, a l'esquerra, ni dalt ni avall, i en el futur. L'acontenyiment en sí no ha canviat, pero l'ubicació de l'observador sí.
Eixos oblicuos
[editar | editar còdic]Un oblique coordinate system és aquell en el que els eixos no són necessàriament orthogonal entre sí; és dir, es troben en ànguls distints al àngul recte. Quan s'utilisen transformacions de coordenades com es descriu anteriorment, el nou sistema de coordenades a sovint semblarà tindre eixos oblicuos en comparació al sistema anterior.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Ivanov 2001
- ↑ Heinbockel 2001
- ↑ From Latin vectus, participi de vehere, "dur". Per a conéixer el desenroll històric de la paraula "vector", consulte Diccionario de la lengua española i Jeff Miller. «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics».
Bibliografia
[editar | editar còdic]- P. A. M. Dirac (1996). General Theory of Relativity, Princeton University Press. ISBN 0-691-01146-X.
- .
- Plantilla:Springer.
- (1973) Gravitation, San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
- (1975) Classical Theory of Fields, Fourth Revised English edició, Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
- (1995) Feynman Lectures on Gravitation, Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.
- Einstein, A. (1961). Relativity: The Special and General Theory, New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
- arXiv:gr-qc/9712019.
- 1-234. (en espanyol)
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Introducción a las matemáticas de la relatividad general» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.