Història de la teoria de grups

Archiu:Icosahedron.gif

Animació d'un icosaedre, eixemple d'un grup geomètric: el grup de Coxeter H₃ de les rotacions i reflexions d'un icosaedre regular

La història de la teoria de grups, un domini matemàtic en el que s'estudien els grups en les seues diverses formes, ha evolucionat en vàries llínees paraleles. Es poden considerar tres raïls històriques de la teoria de grups: la teoria de les equacions algebraiques, la teoria de números i la geometria. Joseph-Louis Lagrange, Niels Henrik Abel i Évariste Galois varen ser els primers investigadors en el camp de la teoria de grups.

Principis de el XIX

L'estudi més antic dels grups com a tals provablement es remonta al treball de Lagrange a finals de el XVIII. No obstant, este treball va ser alguna cosa aïllat, i les publicacions de 1846 d'Augustin Louis Cauchy i de Galois es coneixen més comunament com el començ de la teoria de grups. La teoria no es va desenrollar en el buit, i a continuació es repassen les tres llínees principals de la seua prehistòria.

Desenroll dels grups de permutació

Una raïl fonamental de la teoria de grups va ser la busca de solucions de les equacions algebraiques de grau superior a 4.

Una de les primeres fonts sorgix en el problema de formar una equació de grau m que tinga com a raïls m de les raïls d'una equació donada de grau $n>m$. Per a casos simples, el problema es remonta a Johann van Waveren Hudde (1659). Nicholas Saunderson (1740) va senyalar que la determinació dels factors quadràtics d'una expressió biquadràtica conduïx necessàriament a una equació séxtica, i Thomas Li Seur (1703-1770) (1748) i Edward Waring (1762 a 1782) varen elaborar encara més l'idea. El propi Waring va demostrar el polinomi simètric elemental i va considerar especialment la relació entre les raïls d'una equació cuártica i la seua resolutiva cúbica.

L'objectiu de Lagrange (1770, 1771) era comprendre per qué les equacions de tercer i quart grau admeten fòrmules per a trobar les seues solucions, i un objecte clau era el grup de permutació de les seues raïls. Sobre açò es va construir la teoria de les substitucions. Va descobrir que les raïls de tots els resolvents ("résolvantes, réduites") que va examinar són funcions racionals de les raïls de les respectives equacions. Per a estudiar les propietats d'estes funcions, va inventar un "Calcul dones Combinaisons". El treball contemporàneu d'Alexandre-Théophile Vandermonde (1770) va desenrollar la teoria de la funció simètrica i la solució del polinomi ciclotòmic. S'ha citat a Leopold Kronecker dient que un nou auge en l'àlgebra va començar en el primer artícul de Vandermonde. De manera similar, Cauchy va reconéixer tant a Lagrange com a Vandermonde per haver estudiat les funcions simètriques i les permutació de variables.

L'italià Paolo Ruffini (1799) va intentar demostrar l'impossibilitat de resoldre les equacions quínticas i superiors, sent el primer en explorar idees en la teoria del grup de permutació, com l'orde d'un element d'un grup, la conjugació i la descomposició cíclica d'elements de grups de permutació. Va distinguir lo que ara es diu grups intransitivos i transitivos, i imprimitivos i primitius (1801), i va utilisar el grup d'una equació baix el nom l'assieme delle permutazioni. També va publicar una carta que li havia dirigit Pietro Abbati, en la que l'idea del grup ocupa un lloc destacat. No obstant, mai va formalisar el concepte de grup, ni tan sols el de grup de permutació.

Archiu:Evariste galois.jpg

Galois als quinze anys d'edat, dibuixat per un companyer de classe

Évariste Galois és honrat com el primer matemàtic que vincula la teoria de grups i la teoria de cossos en la teoria que ara es diu teoria de Galois. També va contribuir a la teoria de les equacions modular i a la de les funcions elíptiques. La seua primera publicació sobre teoria de grups la va realisar a l'edat de díhuit anys (1829), pero les seues contribucions varen atraure poca atenció fins a la publicació pòstuma dels seus artículs complets en 1846 (Liouville, Vol. XI). Va considerar per primera volta lo que ara es diu la "propietat de tancament" d'un grup de permutació, que va expressar com

... si en tal grup es tenen les substitucions S i T, llavors es té la substitució ST.

Galois va descobrir que si $r_1,r_2,\dots ,r_n$ són les n raïls d'una equació, sempre hi ha un grup de permutació de les raïls tal que

Tota funció de les raïls invariable per les substitucions del grup és racionalment coneguda, i Pel contrari, tota funció racionalment determinable de les raïls és invariante baix les substitucions del grup.

En térmens moderns, la solubilidad del grup de Galois adjunt a l'equació determina la solubilidad de l'equació en radicals.

Galois va ser el primer en utilisar les paraules grup (groupe en francés) i primitiu en els seus significats moderns. No va utilisar "grup primitiu", sino que va cridar "equació primitiva" a una equació el grup de la qual de Galois és la seua primitiu. Va descobrir la noció de subgrup normal i va descobrir que un grup primitiu en solució pot identificar-se en un subgrup del grup afí d'un espai afí sobre un cos finito d'orde primer.

Els grups similars als grups de Galois es diuen (hui) grup de permutació. La teoria dels grups de permutació va rebre un major desenroll de gran alcanç en mans d'Augustin Louis Cauchy i de Camille Jordan, tant per mig de l'introducció de nous conceptes com, principalment, una gran riquea de resultats sobre classes especials de grups de permutació i inclús algunes teoremes generals. Entre atres coses, Jordan va definir una noció d'isomorfisme, encara que llimitada al context dels grups de permutació. També va ser Jordan qui va fer un ampli us del terme grup.

La noció abstracta d'un grup (finito) va aparéixer per primera volta en l'artícul d'Arthur Cayley de 1854 "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation" ${\theta }^n=1$. Va propondre que qualsevol grup finito és isomorfo a un subgrup d'un grup de permutació, resultat conegut hui com teorema de Cayley. En els anys següents, va investigar sistemàticament grups infinits i les propietats algebraiques de les matrius, com la asociatividad de la multiplicació, l'existència d'inversos i de polinomis característics.

Grups relacionats en la geometria

Archiu:Felix Klein.jpeg

Felix Klein

Archiu:Sophus Lie.jpg

Sophus Lie

En segon lloc, l'us sistemàtic de grups en geometria, principalment en forma de grups de simetria, va ser iniciat en el Programa de Erlangen, propost en 1872 per Felix Klein. L'estudi de lo que ara es diu grups de Lie va començar sistemàticament en 1884 en els treballs de Sophus Lie, seguits per les aportacions de Wilhelm Killing, Eduard Study, Issai Schur, Ludwig Maurer i Élie Cartan. La teoria discontínua (de grups discrets) va ser desenrollada per Klein, Lie, Henri Poincaré i Charles Émile Picard, en particular en relació en les formes modular i la monodromía.

Aparició de grups en la teoria de números

Archiu:ErnstKummer.jpg

Ernst Kummer

La tercera raïl de la teoria de grups va ser la teoria de números. Leonhard Euler va considerar operacions algebraiques en números mòdul d'un número entero (aritmètica modular) en la seua generalisació del Menuda teorema de Fermat. Estes investigacions varen ser dutes molt més allà per Carl Friedrich Gauss, qui va considerar l'estructura de grups multiplicativos de residus mod n i va establir moltes propietats dels grups abelianos i dels grups cíclicos més generals que sorgixen d'esta manera. En les seues investigacions sobre les formes quadràtiques binarias, va declarar explícitament la propietat associativa per a la composició de formes. En 1870, Leopold Kronecker va donar una definició de grup abeliano en el context del grup de classes d'ideals d'un cos numèric, generalisant el treball de Gauss. Els intents d'Ernst Kummer de provar l'última teorema de Fermat varen donar com resultat un treball que va introduir els grups que descriuen la factorización en número primo. En 1882, Heinrich Martin Weber es va donar conte de la conexió entre els grups de permutació i els grups abelianos i va donar una definició que incloïa una propietat de cancelació bilateral, pero que ometia l'existència del element simètric, que era suficient en el seu context (dels grups finitos).

Convergència

Archiu:Camille Jordan 4.jpg

Camille Jordan

La teoria de grups com a matèria cada volta més independent va ser popularisada per Serret, qui va dedicar la secció IV de la seua àlgebra a la teoria; per Camille Jordan, que el seu Traité dones substitutions et dones équations algébriques (1870) és un clàssic; i a Eugen Netto (1882), la Teoria del qual de les substitucions i les seues aplicacions a l'àlgebra va ser traduïda a l'anglés per Cole (1892). Atres teòrics de grups de el XIX varen ser Joseph Louis François Bertrand, Charles Hermite, Ferdinand Georg Frobenius, Leopold Kronecker i Émile Mathieu; aixina com William Burnside, Leonard Eugene Dickson, Otto Hölder, E. H. Moore, Ludwig Sylow i Heinrich Martin Weber.

La convergència de les tres fonts anteriors en una teoria uniforme va començar en el Traité de Jordan i en Walther von Dyck (1882), els qui varen anar els primers en definir un grup en el sentit modern complet. Els llibres de text de Weber i Burnside varen ajudar a establir la teoria de grups com a disciplina. La formulació abstracta de grups no es va aplicar a una gran part de la teoria de grups de el XIX, i es va donar un formalisme alternatiu en térmens del àlgebra de Lie.

Finals de el XIX

Els grups en el periodo 1870-1900 es varen descriure com a grups continus de Lie, grups discontinus, grups finitos de substitucions de raïls (que gradualment es varen denominar permutació) i grups finitos de substitucions llineals (generalment, de camps finitos). Durant el periodo 1880-1920, els grups descrits en les presentacions varen cobrar vida pròpia gràcies al treball de Cayley, Walther von Dyck, Max Dehn, Jakob Nielsen i d'Otto Schreier; i varen continuar en el periodo 1920-1940 en el treball de H. S. M. Coxeter, Wilhelm Magnus i uns atres, per a formar el camp de la teoria combinatòria de grups.

Els grups finitos en el periodo 1870-1900 varen vore aspectes destacats com els teoremes de Sylow, la classificació de Hölder de grups d'orde lliure quadrat i els inicis de la teoria de caràcters de Frobenius. Ya en 1860, els grups d'automorfismes dels plans proyectivos finitos havien segut estudiats (per Mathieu), i en la década de 1870 la visió teòrica de grups de la geometria de Klein s'estava realisant en la seua Programa de Erlangen. Jordan va estudiar els grups d'automorfisme d'espais proyectivos de dimensions superiors en la seua Traité, i va incloure séries de composició per a la majoria dels cridats grups clàssics, encara que va evitar els cossos no primers i va ometre els grups unitaris. L'estudi va ser continuat per Moore i Burnside, i Leonard Eugene Dickson ho va convertir en un llibre de text complet en 1901. Jordan va emfatisar el paper dels grups simples, i Hölder va desenrollar criteris de no simplicitat fins que va poder classificar els grups simples d'orde menor que 200. L'estudi va ser continuat per Frank Nelson Cole (fins a 660) i Burnside (fins a 1092), i finalment en un "proyecte de mileni" enjorn, fins a 2001 per Miller i Ling en 1900.

Els grups continus en el periodo 1870-1900 es varen desenrollar ràpidament. Es varen publicar els artículs fonamentals de Killing i Lie, aixina com la teorema de Hilbert en teoria de invariantes en 1882.

Principis de el XX

En el periodo 1900-1940 varen cobrar vida pròpia els grups "discontinus" infinits (ara cridats grups discrets). El famós problema de Burnside va marcar el començ de l'estudi de subgrups arbitraris de grups llineals de dimensió finita sobre cossos arbitraris i, de fet, dels grups arbitraris. El grup fonamental i el grup de reflexions varen encorajar els desenrolls de John A. Todd i Coxeter, com l'algoritme de Todd-Coxeter en teoria combinatòria de grups. Els grups algebraics, definits com a solucions d'equacions polinòmiques (en lloc d'actuar sobre elles, com en el sigle anterior), es varen beneficiar enormement de la teoria contínua de Lie. Bernard Neumann i Hanna Neumann varen produir el seu estudi sobre varietats de grup, grups definits per equacions teòriques de grup en lloc d'expressions polinòmiques.

Els grups continus també varen tindre un creiximent explosiu en el periodo de 1900-1940. Els grups topològics varen començar a estudiar-se com a tals, i es varen alcançar numerosos grans guanys en els grups continus, com la classificació de Cartan de àlgebra de Lie semisimples, la teoria de representacions de grups compactes d'Hermann Weyl, o el treball d'Alfréd Haar en el cas localment compacte.

Els grups finitos en els anys 1900-1940 varen créixer enormement. Este periodo va ser testic del naiximent de la teoria de caràcters gràcies al treball de Frobenius, Burnside i Schur, que va ajudar a respondre moltes de les preguntes de el XIX sobre grups de permutació i va obrir el camí a tècniques completament noves en grups finitos abstractes. Este periodo va vore l'aparició del treball de Philip Hall sobre una generalisació de la teorema de Sylow a conjunts arbitraris d'número primo, que va revolucionar l'estudi de grups finitos solubles, i sobre l'estructura del commutador de potència d'un p-grup, incloses les idees de p-grup regular i d'isoclinismo de grups, que varen revolucionar l'estudi de p-grups, sent el primer resultat important en esta àrea des de Sylow. També va supondre la publicació per Hans Zassenhaus del teorema de Schur-Zassenhaus sobre l'existència de complements a la generalisació de Hall dels subgrups de Sylow, aixina com el seu progrés en els grups de Frobenius i una classificació propenca dels grup de Zassenhaus.

Mediats de el XX

Posteriorment varen créixer tant la profunditat com l'amplitut i també l'impacte de la teoria de grups. El domini va començar a expandir-se en àrees com els grups algebraics, l'extensió de grups i la teoria de representació. A partir de la década de 1950, en un enorme esforç de colaboració, els teòrics de grups varen conseguir classificar tots els grups simples finitos en 1982. Completar i simplificar la prova de la classificació són àrees d'investigació activa.

Anatoli Máltsev també va fer importants contribucions a la teoria de grups durant esta época. Els seus primers treballs sobre llògica es remonten a la década de 1930, pero en la década de 1940 va demostrar importants propietats d'inclusió de semigrupos en grups, va estudiar el problema de l'isomorfisme dels anells de grup, va establir la correspondència de Malçev per a grups policíclics i en la década de 1960 va retornar a la llògica demostrant vàries teories dins de l'estudi de la indecidibilidad de la teoria de grups. Anteriorment, Alfred Tarski va demostrar l'indecidibilidad de la teoria de grups elemental.

El periodo 1960-1980 va ser de gran agitació en moltes àrees de la teoria de grups.

En grups finitos, es varen registrar moltes fites independents entre sí. Es tractava del descobriment de 22 nous grups esporàdics i de la finalisació de la primera generació del teorema de classificació de grups simples. Es va generar l'influent idea del subgrup de Carter, i la posterior creació de la teoria de la formació i la teoria de classes de grups. Es disponia de les notables extensions de la teoria de Clifford aplicada per Green als mòduls indescomponibles de les àlgebra de grups. Durant esta etapa, el camp de la teoria de grups computacional es va convertir en un camp d'estudi reconegut, degut en part al seu trement èxit durant la classificació de la primera generació de grups.

En grups discrets, els métodos geomètrics de Jacques Tits i la disponibilitat de la sobreyectividad de l'aplicació de Serge Lang varen permetre una revolució en els grups algebraics. La resolució del problema de Burnside va progressar considerablement, en millors contraeixemples construïts en els anys 1960 i principis dels 1980, pero els casos finals "per a tots menys un número finito" no es varen completar fins als anys 1990. El treball sobre el problema de Burnside va aumentar l'interés en les àlgebra de Lie en exponent p i els métodos de Michel Lazard varen començar a vore un impacte més ampli, especialment en l'estudi dels p-grups.

Els grups continus es varen ampliar considerablement i les preguntes analítiques p-ádicas varen adquirir importància. Durant este temps es varen fer moltes conjectura, incloses les conjectura de coclase.

Finals de el XX

Els últims vint anys de el XX varen gojar dels èxits de més de cent anys d'estudi de la teoria de grups.

En grups finitos, els resultats de la classificació posterior varen incloure el teorema d'O'Nan-Scott, la classificació de Aschbacher, la classificació de grups finitos transitivos múltiples, la determinació dels subgrups màxims dels grups simples i les classificacions corresponents de grups primitius. En geometria finita i combinatòria, ara es podrien resoldre molts problemes. La teoria de la representació modular va entrar en una nova era a mida que es axiomatizaron les tècniques de classificació, inclosos els sistemes de fusió, la teoria de parells de Luis Puig i els blocs nilpotents. La teoria dels grups finitos solubles també va ser transformada per l'influent llibre de Klaus Doerk i Trevor Hawkes, que va dur la teoria dels proyectores i injectors a una audiència més àmplia.

En grups discrets, vàries àrees de la geometria es varen unir per a produir camps nous i interessants. El treball sobre teoria de nucs, orbifolds, varietats hiperbòliques i grups que actuen sobre arbres (la teoria de Bass-Serre) va animar molt l'estudi dels grups hiperbòlics i dels grups automàtics. Qüestions com la formulada per William Thurston en 1982 en la seua conjectura de geometrización varen inspirar tècniques completament noves en teoria geomètrica de grups i topología de baixa dimensió, i varen participar en la solució d'un dels problemes del mileni, la hipòtesis de Poincaré.

Els grups continus varen vore la solució del problema de escoltar la forma d'un tambor en 1992, utilisant grups de simetria d'operadors laplacianos. Es varen aplicar tècniques contínues a molts aspectes de la teoria de grups utilisant espais funcionals i grups quàntics. Molts problemes dels sigles XVIII i XIX es revisen ara en este context més general, i moltes preguntes sobre la teoria de les representacions de grups varen obtindre resposta.

Periodo posterior

La teoria de grups seguix sent un tema intensament estudiat. La seua importància per a les matemàtiques contemporànees en el seu conjunt pot vore's en el Premi Abel de 2008, otorgat a John Griggs Thompson i Jacques Tits per les seues contribucions a la teoria de grups.

Bibliografia

• (2003).«Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer».American Mathematical Society.Providence, R.I.:
• (1908).«Manuscrits de Évariste Galois».Gauthier-Villars.Paris:
• (1986).«The evolution of group theory: a brief survey».Mathematics Magazine.59(4)

195–215.ISSN 0025-570X.doi:10.2307/2690312.

• A history of abstract algebra, Boston, Mass.: Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0-8176-4685-1.
• (1906).«History of Modern Mathematics».
• (2007).«The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory».Dover Publications.New York:
• (2008).«Finding Moonshine».Quart poder.London: