Anar al contingut

Matemàtiques i art

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Archiu:Dürer Melancholia I.jpg
Matemàtiques en l'art: gravat en placa de coure d'Alberto Durero Melancolia I, 1514. Les referències matemàtiques inclouen una brúixola per a la geometria, un quadrat màgic i un romboedro truncat, mentres que la medició està indicada per les escales i el rellonge d'arena.[1]
Archiu:Paolo uccello, studio di vaso in prospettiva 02.jpg
Dibuix alámbrico[2] d'un got com sòlit de revolució,[2] obra de Paolo Uccello. Sigle XV

Les matemàtiques i l'art estan relacionats de vàries maneres. De fet, és freqüent trobar les matemàtiques descrites com un art per la bellea o l'elegància de moltes de les seues formulació, i es pot trobar fàcilment la seua presència en manifestacions com la música, la dansa, la pintura, l'arquitectura, l'escultura i les arts textils.

Este artícul se centra en l'influència de les matemàtiques en les arts visuals.

Les matemàtiques i l'art tenen una llarga relació històrica. Està documentada l'existència d'artistes matemàtics des de el IV, quan l'escultor grec Policleto va escriure el seu "Cànon", prescrivint proporcions basades en la relació 1:Plantilla:Raïl per al nuet masculí ideal. Curiosament, cada volta són més freqüents presuntes evidències de l'us del número áureo en l'art i l'arquitectura antics, sense bases fiables que respalen estes teories. En el Renaixença italià, Luca Pacioli va escriure l'influent tractat De divina proportione (1509), ilustrat en gravats en fusta realisats per Leonardo dona Vinci, sobre l'us de la proporció áurea en l'art. Un atre pintor italià, Piero della Francesca, va desenrollar les idees d'Euclides sobre la perspectiva en tractats com De Prospectiva Pingendi i en les seues pròpies pintures. El gravador Alberto Durero va efectuar numeroses referències a les matemàtiques en la seua obra, en treballs com Melancolia I. En els temps moderns, l'artiste gràfic M. C. Escher va fer un us intensiu del teselado i de la geometria hiperbòlica en l'ajuda del matemàtic Harold Scott MacDonald Coxeter, mentres que el moviment De Stijl liderat per Theo van Doesburg i Piet Mondrian va comprendre explícitament les formes geomètriques. Les matemàtiques han inspirat les arts textils tals com el quilting, el punt, el punt de creu, el ganchillo, el brodat, la tejeduría, les estores i atres creacions com el kilim. En l'art islàmic, les simetria són evidents en formes tan variades com el girih persa i la rajoleta zellige marroquina, les pantalles mogolas jali de pedra perforada i les voltes decorades en mocárabe.

L'influix directe de les matemàtiques sobre l'art s'evidencia en l'us de ferramentes conceptuals com la perspectiva, l'anàlisis de la simetria i en la presència en diverses obres d'objectes matemàtics que han eixercit una especial atracció sobre artistes de distintes époques, com els poliedres o la banda de Möbius. Magnus Wenninger va crear poliedres estrelats colorits, originalment com a models per a l'ensenyança.


Conceptes matemàtics com recursión i paradoxes llògiques es poden vore en les pintures de René Magritte i en gravats de M. C. Escher. l'art computacional a sovint fa us de fractalés, inclós el conjunt de Mandelbrot, i, a voltes, explora atres objectes matemàtics com els autómates celulars. De forma controvertida, lligant l'òptica en la pintura, l'artiste David Hockney ha argumentat que des de la Renaixença en avant la majoria dels artistes varen utilisar la cambra lúcida per a dibuixar representacions precises d'escenes; i l'arquitecte Philip Steadman va argumentar de manera similar que Johannes Vermeer va usar la cámara oscura en la composició de les seues pintures.

Atres relacions inclouen l'anàlisis algorítmic de les obres d'art per mig de la fluorescència de rajos X, o la troballa de que els batik tradicionals de diferents regions de l'illa de Java tenen composicions fractales. L'art ha servit en ocasions com a estímul per a l'investigació matemàtica, especialment en el cas de la teoria de la perspectiva de Filippo Brunelleschi, que finalment va dur a Girard Desargues al desenroll de la geometria proyectiva. Una visió persistent, basada en última instància en la noció pitagórico d'harmonia en la música, sosté que l'univers està organisat segons relacions numèriques, que Deu és el geómetra del món i que, per lo tant, la geometria és sagrada, tal com queda reflectit en obres d'art com El vell dels dies de William Blake.

Orígens: des de l'antiga Grècia fins a la Renaixença

[editar | editar còdic]

Cànon i simetria de Policleto

[editar | editar còdic]
Archiu:Doryphoros MANNapoli Inv6011-2.jpg
Còpia romana en marbre del Doríforo, originalment un bronze obra de Policleto
Artícul principal → Policleto.


Policleto el major (c. 450–420 a. C.) va ser un escultor grec de l'escola d'Argos, contemporàneu de Fidias. La temàtica de les seues estàtues de bronze consistia principalment en atletes. Segons el filòsof i matemàtic Jenócrates, Policleto està classificat com un dels escultors més importants de l'antiguetat clàssica pel seu treball en el Doríforo i en l'estàtua d'Hera en el Hereo d'Argos.[3] Mentres que les seues escultures poden no ser tan famoses com les de Fidias, també són molt admirades. En el seu "Cànon", un tractat que va escriure per a documentar les proporcions "perfectes" de l'anatomia del nuet masculí, Policleto va introduir un enfocament matemàtic per a esculpir el cos humà.[3]


Utilisava la llongitut de la falangeta del garranchet de la mà com el mòdul bàsic per a determinar les proporcions del cos humà.[4] Policleto multiplicava la llongitut de la falangeta per la raïl quadrada de dos (Plantilla:Raïl) per a obtindre la distància de la segona falange (falangina) i multiplicava la llongitut novament per Plantilla:Raïl per a obtindre la llongitut de la tercera falange. A continuació, prenia la llongitut del garranchet i la multiplica per Plantilla:Raïl per a obtindre la llongitut de la palma des de la base del dit fins al cúbito. Esta série geomètrica de mides alvança fins a formar el braç, el tórax i el cos complet en totes les seues parts.[5]

L'influència de el "Cànon" de Policleto és immensa en l'escultura de l'antiga Grècia, Roma i el Renaixença, i numerosos escultors varen seguir les seues prescripcions. Si ben no es conserva cap de les obres originals de Policleto, les còpies romanes mostren el seu ideal de perfecció física i precisió matemàtica. Alguns estudiosos argumenten que el pensament pitagórico va influir en el "Cànon" de Policleto,[6] a on s'apliquen els conceptes matemàtics bàsics de la geometria grega, com la relació, la proporció i la simetria (en grec significa "harmonia en les proporcions") i els convertix en un sistema capaç de descriure la forma humana a través d'una série de progressions geomètriques contínues.[4]

Perspectiva i proporció

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Perspectiva.


Archiu:Brunelleschi's perspective experiment.jpg
Experiment de Brunelleschi sobre la perspectiva


En l'antiguetat clàssica, en lloc d'ajustar el tamany de les figures d'una composició d'acort en la seua distància a l'observador (segons les regles de la perspectiva), els pintors establien el tamany d'objectes i figures segons la seua importància temàtica. En l'Edat Mija, alguns artistes varen usar la perspectiva invertida per a donar un émfasis especial a determinats motius. El matemàtic musulmà Alhacén (Ibn al-Haytham) va descriure una teoria geomètrica de l'òptica en la seua "Llibre d'Òptica" en 1021, pero mai la va aplicar a l'art.[7] La Renaixença va vore el resorgir de les idees gregues i romanes clàssiques en la cultura, inclós l'estudi de les matemàtiques per a comprendre la naturalea i l'art. Dos motius principals varen dur als artistes de finals de l'Edat Mija i de la Renaixença cap a les matemàtiques: en primer lloc, els pintors necessitaven descobrir cóm representar escenes tridimensionals en un llenç bidimensional; i en segon lloc, tant els filòsofs com els artistes estaven convençuts de que les matemàtiques eren la verdadera essència del món físic i que tot l'univers, incloses les arts, podia explicar-se en térmens geomètrics.[8]

Els rudimentos de la perspectiva varen aplegar en Giotto (1266/7-1337), que va intentar dibuixar en perspectiva utilisant un método algebraic per a determinar l'ubicació de les llínees distants. En 1415, l'arquitecte italià Filippo Brunelleschi i el seu amic Leon Battista Alberti varen demostrar en Florencia el método geomètric necessari per a aplicar la perspectiva, utilisant el principi de semblança tal com ho va formular Euclides per a determinar l'altura aparent d'objectes distants.[9][10] Encara que s'han perdut les pintures en perspectiva de Brunelleschi, les fresca de Masaccio de la Santíssima Trinitat mostra els seus principis en funcionament.[7][11][12]

Archiu:San Romano Battle (Paolo Uccello, London) 01.jpg
Paolo Uccello va utilisar la perspectiva de forma innovadora en la Batalla de Sant Romà (c. 1435–1460)

El pintor italià Paolo Uccello (1397-1475) estava fascinat per la perspectiva, com es mostra en les seues pintures de la Batalla de Sant Romà (c. 1435–1460): les llances trencades convergixen convenientment segons llínees de perspectiva.[13][14]


El pintor Piero della Francesca (c. 1415–1492) ejemplificó este nou canvi en el pensament de la Renaixença italiana, aünant la seua condició d'artista en la d'expert matemàtic i geómetra, autor de llibres sobre la geometria de l'espai i la perspectiva, incloent De Prospectiva pingendi (Sobre la perspectiva per a pintar), Trattato d'Abaco (Tractat del Àbac), i De corporibus regularibus (Sobre els Sòlits Regulars).[15][16][17]

L'historiador Giorgio Vasari en la seua obra Les vides dels més excelents arquitectes, pintors i escultors italians flama a Piero el "geómetra més gran del seu temps, o potser de qualsevol época".[18] L'interés de Piero della Francesca per la perspectiva es pot vore en les seues pintures, incloent el Políptico de Sant Antonio,[19] el Retaule de Sant Agostino i Crist en la columna. El seu treball sobre geometria va influir en matemàtics i artistes posteriors, inclós Luca Pacioli en la seua obra De divina proportione i sobre Leonardo dona Vinci. Va estudiar matemàtiques clàssiques i els treballs d'Arquímedes,[20] i va deprendre aritmètica comercial en "escoles de l'àbac". El format dels seus escrits recorda al dels llibres de text de l'escola de l'àbac,[21] seguint molt possiblement l'estil de l'influent Liber abaci, publicat en 1202 per Leonardo de Pisa (Fibonacci). L'irrupció de la perspectiva llineal en el món artístic ya era un fet. Alberti va explicar en el seu tractat de 1435 De pictura que: "Els rajos de llum viagen en llínea recta des dels punts en l'escena observada fins a l'ull, formant una espècie de piràmide en l'ull com a vèrtiç". Una pintura construïda per mig de la perspectiva llineal és una secció travessera d'eixa piràmide.[22]


En "De Prospectiva Pingendi", Piero va transformar les seues observacions empíriques de la forma en que els aspectes d'una figura canvien en el punt de vista en proves matemàtiques. El seu tractat partix del treball de Euclides: definix el punt com "la cosa més chicoteta que és possible que l'ull comprenga".[23][8] Utilisa el raonament deductivo per a guiar al llector a la representació en perspectiva d'un cos tridimensional.[24]

L'artiste David Hockney va argumentar en el seu llibre Coneiximent secret: redescubriendo les tècniques perdudes dels antics mestres que els artistes varen començar a usar una cambra lúcida a partir de la década de 1420, lo que va donar com resultat un canvi repentí en la precisió i en el realisme, i que esta pràctica va ser continuada pels principals artistes, inclosos Ingres, Van Eyck i Caravaggio.[25] Els crítics no es posen d'acort en si la tesis de Hockney és correcta.[26][27] De la mateixa manera, l'arquitecte Philip Steadman va argumentar de manera controvertida[28] que Johannes Vermeer havia usat un dispositiu diferent, una cámara oscura, per a ajudar-li a crear les seues pintures en la seua distintiva forma d'observació dels motius representats.[29]

Archiu:De divina proportione - Vigintisex Basium Planum Vacuum.jpg
Rombicuboctaedro buit en perspectiva, obra de Leonardo


En 1509, Luca Pacioli (c. 1447-1517) va publicar De divina proportione sobre la relació de les matemàtiques i l'art a través de la proporció, abordant inclús per este método qüestiones com la representació del rostre humà. Leonardo dona Vinci (1452–1519) va ilustrar el text en gravats de sòlits regulars mentres estudiava en Pacioli en la década de 1490. Els dibuixos de Leonardo són provablement les primeres ilustracions realistes de sòlits geomètrics reduïts a un armassó de grosses arestes.[30] Figures com el rombicuboctaedro varen ser de les primeres en ser dibuixades d'esta manera per a demostrar la perspectiva, per mig de la superposició de les arestes situades en primer pla sobre les del fondo, que podien a la seua volta vore's pels buits de les cares. El treball discutix la perspectiva en els treballs de Piero della Francesca, Melozzo dona Forlì i Marque Palmezzano.[31]

Dona Vinci va estudiar la "Summa" de Pacioli, de la que va copiar les taules de proporcions.[32] En La Gioconda i en L'Últim Sopar, va incorporar una perspectiva llineal en un punt de fuga per a obtindre una apariència de profunditat.[33] L'Últim Sopar es va idear en una proporció estreta de 12:6:4:3, de la mateixa manera que la L'escola d'Atenes de Rafael, que inclou a Pitágoras en unes taules de proporcions ideals, sagrades per als pitagórico.[34][35] En el Home de Vitruvio, Leonardo va expressar les idees de l'arquitecte romà Vitruvio, mostrant de manera innovadora la figura masculina, centrant-la en un círcul i en un quadrat.[36]


Ya en el XV, la perspectiva curvilínea va trobar el seu camí en les pintures d'artistes interessats en les distorsió de l'image. El Retrat de Giovanni Arnolfini i la seua esposa, pintat per Jan van Eyck en 1434, conté un espill convexo en reflexos de les persones en l'escena,[37] mentres que Parmigianino, en el seu Autorretrato en un espill convexo (c. 1523–1524), mostra la cara casi sense distorsió de l'artiste en el centre, en un fondo molt curvat i la mà de l'artiste al voltant de la vora.[38]

L'espai tridimensional pot representar-se de manera convincent en l'art, com en el dibuix tècnic, per mijos distints a la perspectiva. Els sistemes de proyecció oblicua, inclosa la perspectiva caballera (utilisada per artistes militars francesos per a representar fortificacions en el XVIII), varen ser utilisats de forma contínua i ubiqua per artistes chinencs des del primer o segon sigle fins a el XVIII. Els chinencs varen adquirir la tècnica de l'Índia, que la va adquirir de l'Antiga Roma. La proyecció oblicua també apareix en l'art japonés, com en les pintures Ukiyo-i de Torii Kiyonaga (1752–1815).[39]

Relació d'or

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Secció áurea.


El número áureo (aproximadament igual a 1.618) ya era conegut per Euclides.[40] La proporció áurea ha segut reivindicada de forma persistent[41][42][43][44] en temps moderns per la seua presunta utilisació en l'art i especialment en l'arquitectura de l'antic Egipte, Grècia i atres cultures sense evidències fiables.[45]


Esta situació pot derivar en part de la confusió de la "relació áurea" en la "mija dorada", que per als grecs antics significava "evitar l'excés en qualsevol direcció", no una relació geomètrica.[45] Des de el XIX, numerosos experts i aficionats a la piramidología han argumentat utilisant dubtosos raonaments matemàtics per a trobar la proporció d'or en el disseny de les piràmides.[46][45][47][48] S'ha afirmat que Partenón, un temple de el V en Atenes, s'utilisa la proporció áurea en la seua frontera i en el seu pla de planta,[49][50][51] pero estes afirmacions també són refutadas per les mides reals del monument.[45]


La Gran Mesquita de Kairuán en Tunis també s'ha afirmat que va utilisar la proporció áurea en el seu disseny,[52] pero la citada proporció no apareix en les parts originals de la mesquita.[53] L'historiador de l'arquitectura Frederik Macody Lund va argumentar en 1919 que la Catedral de Chartres (XIII), la Catedral de Laon (1157-1205) i la Catedral de Notre Dona'm (París) (1160) estan dissenyats d'acort en el número áureo,[54] dibuixant llínees auxiliars per a demostrar la seua tesis. Atres estudiosos argumenten que fins al treball de Pacioli en 1509, la proporció d'or era desconeguda per als artistes i arquitectes.[55] Per eixemple, l'altura i l'ample de la part davantera de Notre-Dona'm de Laon tenen la proporció 8/5 o 1.6, no 1.618. Tals térmens de la successió de Fibonacci es convertixen ràpidament en difícils de distinguir de la proporció áurea.[56] Despuix de Pacioli, la proporció áurea és més perceptible en les obres d'art, inclosa La Gioconda de Leonardo.[57]


Un atre número morfològic del que s'ha escrit abundantment és el número plàstic,[58][59] ideat en 1928 per l'arquitecte holandés Hans van der Laan (originalment cridat en francés "li nomene radiant", el número radiant).[60] El seu valor és la solució de l'equació cúbica

x3=x+1,

un número irracional que és aproximadament 1.325. Segons l'arquitecte Richard Padovan, esta conectat en les fraccions característiques Plantilla:Sfrac i Plantilla:Sfrac, que governen els llímits de la percepció humana en relacionar un tamany físic en un atre. Van der Laan va usar estes proporcions en dissenyar l'iglésia de St. Benedictusberg Abbey (1967) en els Països Baixos.[60]

Archiu:Mathematical Pyramid.svg

[1]
Archiu:Laon Cathedral's regulator lines.jpg

[2]
Archiu:Mona Lisa Golden Ratio.jpg

[3]
Archiu:Interieur bovenkerk, zicht op de middenbeuk met koorbanken voor de monniken - Mamelis - 20536587 - RCE.jpg

[4]

Simetria planes

[editar | editar còdic]
Archiu:Carpet with Double Medallion.jpg
Presència poderosa:[61] estora en doble medallón. Anatolia Central (Konya-Karapınar), pas del sigle XVI a el XVII. Mesquita Alâeddin

Les simetria en el pla s'han utilisat durant milenis en obres d'art com estoras, celosías, textils i tot tipo d'adorns.[62][63][64][65]


Moltes estores tradicionals, ya siguen de pèl o del tipo kilim de teixit pla, es dividixen en un camp central i una vora d'enquadrament. Abdós poden presentar simetria, encara que en les estores teixides a mà a sovint estan llaugerament alterades per menuts detalls, variacions de patró i canvis de color introduïts pel tejedor.[62] En els kilims d'Anatolia, els motius utilisats són generalment simètrics. En el disseny general també sol estar present la simetria, en configuracions tals com a franges, franges alternes en files de motius, i apanys agrupats de motius aproximadament hexagonals. El camp es presenta comunament com un fondo assimilable a un patró del grup del paper pintat de configuració pmm, mentres que la vora pren la forma d'un friso del tipo pm11, pmm2 o pma2. Els kilims turcs i d'Àsia central a sovint tenen tres o més fronteres entre diferents grups de frisos. És obvi que els tejedores certament buscaven la simetria, sense el coneiximent explícit de les seues matemàtiques.[62]

El matemàtic i teòric de l'arquitectura Nikos Salingaros sugerix que la "poderosa presència"[61] (efecte estètic) d'una "gran estora",[61] com les millors estores de dos medallones Konya de el XVII, es creen per mig de tècniques matemàtiques relacionades en les teories de l'arquitecte Christopher Alexander. Estes tècniques inclouen introduir zones de color com a parells oposts; diferenciar àrees geomètricament, ya siga utilisant formes complementàries o equilibrant la direccionalidad dels ànguls aguts; utilisar la complexitat a chicoteta escala (des del nivell de nuc cap a dalt) i la simetria a chicoteta i a gran escala; i l'utilisació d'elements repetits en una jerarquia de diferents escales (en una relació d'aproximadament 2.7 de cada nivell al següent). Salingaros sosté que "totes les estores considerades artístiques satisfan a lo manco nou de les dèu regles anteriors", i sugerix que podria ser possible crear una mètrica a partir d'estes regles.[61]


Elaborats enreixats es troben en els treballs de l'Índia denominats jali, tallats en marbre per a adornar tombes i palaus.[63] Les celosías chinenques, sempre en certa simetria, existixen en 14 dels 17 grups de simetria planar; a sovint presenten simetria d'espill, de doble espill o simetria rotacional. Algunes presenten un medallón central i unes atres inclouen una vora en un friso.[66] Moltes celosías chinenques han segut analisades matemàticament per Daniel S. Dye, que ha identificat Sichuan com el centre d'este art.[67]

Archiu:Girih tiles.svg
Dovelas girih


Les simetria tenen un paper molt destacat en les arts textils, incloent el quilting,[64] el punt,[68] el punt de creu, el ganchillo,[69] els brodats[70][71] i els distints tipos de tejeduría,[72] a on estos patrons poden ser purament decoratius o poden indicar l'estatus del seu propietari.[73] La simetria rotacional es troba en estructures circulares tals com cúpulas, en ocasions elaboradamente decorades en patrons simètrics per dins i per fòra, com en la Mesquita del xeic Lotf Allah d'Isfahán (1619).[74] Els artículs de brodat i encaix com manteles i tapets de taula, fets en bobines o en bolillos, poden tindre una àmplia varietat de reflexions i rotacions simètriques, que han segut explorades matemàticament.[75]


En l'art islàmic, els patrons geomètrics estan presents en moltes de les seues formes d'art, especialment en els emmanisats girih. Estos teselados es formen utilisant un conjunt de cinc formes de taulells, a saber: un decágono regular, un hexàgon allargat, una pajarita, un rombo i un pentàgon regular. Tots els costats d'estes rajoletes tenen la mateixa llongitut; i tots els seus ànguls són múltiples de 36° (π/5 radianes), mostrant simetria de cinc i dèu mòduls. Els taulells estan decorats en llínees de lacería en relleu (girih), generalment més visibles que els llímits dels taulells. En 2007, els físics Peter Lu i Paul Steinhardt varen argumentar que el enlosado girih era similar al cuasicristal definit per la teselación de Penrose.[76] Els taulells geomètrics elaborats en chicotetes teselas (zellige) són un element distintiu en l'arquitectura de Marroc.[65] Les voltes decorades en mocárabe són tridimensionals, pero estan dissenyades en dos dimensions en dibuixos de celes geomètriques.[77]

Poliedres

[editar | editar còdic]
Archiu:Pacioli.jpg
Retrat de Luca Pacioli disertando sobre els poliedres, atribuït a Jacopo de'Barbari (1495)


Els sòlits platònics i uns atres poliedres són un tema recurrent en l'art occidental. Es troben, per eixemple, en un mosaic de marbre a on apareix un menut dodecaedre estrelat atribuït a Paolo Uccello i que forma part del sol de la Basílica de Sant Marcos en Venècia;[13] en els diagrames de poliedres regulars de Leonardo dona Vinci dibuixats com a ilustracions per al llibre 1509 de Luca Pacioli De Divina Proportione;[13] com un rombicuboctaedro de cristal en el retrat de Pacioli de Jacopo de' Barbari, pintat en 1495;[13] i en el poliedre truncat (i varis atres objectes matemàtics) que apareixen en el gravat d'Alberto Durero titulat Melancolia I.[13]

Alberto Durero (1471-1528) va ser un artiste alemà de la Renaixença, que va fer importants contribucions a l'estudi dels poliedres en el seu llibre de 1525, Underweysung der Messung (Educació sobre la medició), destinat a l'ensenyança de la perspectiva, la geometria en arquitectura, els sòlits platònics, i els polígons regulars. Durero provablement va estar influenciat pels treballs de Piero della Francesca i Luca Pacioli durant els seus viages a Itàlia.[78] Mentres que els eixemples de perspectiva en "Underweysung der Messung" estan poc desenrollats i contenen imprecisions, el text conté una discussió detallada sobre els poliedres. Durero és també el primer en introduir en el text l'idea del desenroll d'un poliedre,[79] incloent poliedres desplegats per a que queden plans per a la seua impressió. Durero va publicar en 1528 un atre llibre influent sobre les proporcions del cos humà,[80] titulat "Vier Bücher von Menschlicher Proportion (Quatre llibres sobre la proporció humana)".

El conegut gravat de Durero titulat Melancolia I, representa a un ser alado, assentat en actitut pensativa. L'image inclou un quadrat màgic i un trapezoedro triangular truncat.[1] Estos dos elements, i el gravat en el seu conjunt, han segut objecte de més interpretacions modernes que casi qualsevol atra obra comparable,[81][82][83] incloent un llibre de dos volums de Peter-Klaus Schuster, i un influent anàlisis contingut en la monografia d'Erwin Panofsky sobre Durero.[1][84]


Un atre famós pintor que va incloure poliedres en algunes de les seues pintures és l'espanyol Salvador Dalí. En el seu quadro titulat L'Últim Sopar, Crist i els seus discípuls estan representats dins d'un dodecaedre jagant. Una atra de les seues obres, la Crucifixió (1954),[85] mostra un hipercubo desplegat, que fa alusió a la perspectiva divina en quatre dimensions.[86][87]

Dimensions fractales

[editar | editar còdic]
Archiu:Batik pedalaman - parang klithik.JPG
Un batik, teixit tradicional procedent de Surakarta, Java, com este parang klithik en patró d'espases, té una dimensió fractal d'entre 1.2 i 1.5

Els dissenys tradicionals de batik, teñir en Indonèsia per mig del procediment de reserva en cera, combinen motius figuratius (com a elements florals i vegetals) en motius abstractes i alguna cosa caòtics, inclosa l'imprecisió derivada de l'aplicació de la reserva de cera, i la variació aleatòria introduïda pel agrietamiento de la pròpia cera. Els dissenys de batik tenen una dimensió fractal d'entre 1 i 2, que varia en diferents estils regionals. Per eixemple, el batik de Cirebon té una dimensió fractal d'1.1; els batiks de Yogyakarta i Surakarta (la ciutat de Sol) en el centre de Java tenen una dimensió fractal d'1.2 a 1.5; i els batiks de Lasem en la costa nort de Java i de Tasikmalaya en Java occidental, tenen una dimensió fractal d'entre 1.5 i 1.7.[88]

Les obres de dripping de l'artiste modern Jackson Pollock són igualment distintives per la seua dimensió fractal. La seua obra titulada número 14 de 1948 té una dimensió d'1.45, mentres que les seues pintures posteriors varen tindre dimensions fractales successivament més altes i, per tant, patrons més elaborats. Una de les seues últimes obres, Blue Poles, li va dur sis mesos de treball, i té una dimensió fractal d'1.72.[89]

Una relació complexa

[editar | editar còdic]

L'astrònom Galileo Galilei en la seua obra "El ensayador" va escriure que "[L'univers] està escrit en el llenguage de les matemàtiques, i els seus caràcters són triànguls, círculs i atres figures geomètriques". Els artistes[90] que s'esforcen i busquen estudiar la naturalea, segons Galileo, deuen primer vore i entendre completament les matemàtiques.


No obstant, els matemàtics han tractat d'interpretar i analisar l'art a través de la lent de la geometria i de la racionalitat. El matemàtic Felipe Cucker sugerix que les matemàtiques, i especialment la geometria, són una font de regles per a la "creació artística impulsada per regles", encara que no l'única.[91] Algunes de les moltes cadenes de la complexa relació resultant[92] es descriuen a continuació.

Archiu:Ghhardy@72.jpg
El matemàtic Godfrey Harold Hardy va definir un conjunt de criteris per a calificar la bellea matemàtica

Les matemàtiques com a art

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Bellea matemàtica.


El matemàtic Jerry P. King descriu les matemàtiques com un art, afirmant que "les claus de les matemàtiques són la bellea i l'elegància i no l'avorriment i els tecnicismos", i que la bellea és la força motivadora de l'investigació matemàtica.[93] King cita l'ensaig matemàtic publicat per Godfrey Harold Hardy en 1940, titulat Apologia d'un matemàtic. En este escrit, Hardy analisa per qué troba dos teoremes de l'antiguetat clàssica com de primera classe, a saber, la prova d'Euclides de que hi ha infinits número primo, i la prova de que la raïl quadrada de 2 és un número irracional. King evalua estes teoremes segons els criteris de Hardy per a estimar l'elegància matemàtica: "sobrietat, profunditat, generalitat, imprevisibilidad, inevitabilitat" i "economia" (les cursivas són de King), i descriu la prova com "estèticament agradable".[94] El matemàtic hongarés Paul Erdős va estar d'acort en que les matemàtiques posseïen bellea, pero va considerar les raons més allà de l'explicació: "¿Per qué són bells els números? És com preguntar per qué és bella la Novena Simfonia de Beethoven. Si no veus el perqué, ningú t'ho pot explicar. Yo sé que els números són bells".[95]

Ferramentes matemàtiques per a l'art

[editar | editar còdic]
Archiu:Octopod by syntopia.jpg
Octopod, obra de Mikael Hvidtfeldt Christensen. Art algorítmic produït en el programa Structure Synth

Les matemàtiques apareixen en el substrat de pràcticament totes les arts, com la música, la dansa,[96] la pintura, l'arquitectura i l'escultura.


Cada una està associat en les matemàtiques d'una manera particular.[97] Gràcies a la seua conexió en les arts visuals, les matemàtiques poden proporcionar ferramentes per als artistes, com les regles de la perspectiva descrites per Brook Taylor i Johann Heinrich Lambert, o els métodos de geometria descriptiva, posteriorment aplicats a la modelació de sòlits per ordenador, i els orígens teòrics del qual es remonten a Durero i a Gaspard Monge.[98]

Els artistes de l'Edat Mija i del Renaixença (com Luca Pacioli, Leonardo dona Vinci i Durero) han utilisat i desenrollat idees matemàtiques mentres investigaven noves formes de portar a terme el seu treball artístic.[97][99] L'us de la perspectiva va començar, a pesar d'alguns intents incipients en l'arquitectura de l'antiga Grècia, en els pintors italians com Giotto en el XIII; regles com la del punt de fuga varen ser formulades per primera volta per Filippo Brunelleschi al voltant de 1413,[7] i les seues teories varen influir definitivament en Leonardo i en Durero.

El treball d'Isaac Newton sobre l'espectre òptic va influir en la teoria dels colors d'un lliterat com Goethe i, a la seua volta, en artistes com Philipp Otto Runge, J. M. W. Turner,[100] els membres de la Germandat Prerrafaelita i sobre Vasili Kandinski.[101][102]


Els artistes també poden analisar la simetria d'una escena, i treballar sobre este concepte. Les mateixes ferramentes[103] poden ser aplicades per matemàtics que estan explorant l'art, o per artistes inspirats en les matemàtiques, com M. C. Escher (inspirat en Harold Scott MacDonald Coxeter) o l'arquitecte Frank Gehry, qui va argumentar que el disseny assistit per computadora li va permetre expressar-se d'una manera completament nova.[104]

L'artiste Richard Wright argumenta que els objectes matemàtics que poden construir-se poden vore's "com a processos per a simular fenomens" o com a obres de "art computacional". Considera la naturalea del pensament matemàtic, observant que els matemàtics coneixien els fractalés des d'un sigle ans que foren reconeguts com a tals. Wright conclou afirmant que és apropiat sometre els objectes matemàtics a qualsevol método utilisat per a "aplegar a un acort en conceptes culturals com l'art, la tensió entre objectivitat i subjetividad, els seus significats metafòrics i el caràcter dels sistemes de representació". Dona com a eixemples una image del conjunt de Mandelbrot, una image generada per un algoritme d'autómata celular i una image renderizada, i discutix, en referència al Test de Turing, si els productes d'un algoritme poden ser art.[105] Sasho Kalajdzievski, en la seua obra "Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics (Matemàtiques i Art: una introducció a les matemàtiques visuals) adopta un enfocament similar, analisant temes matemàtics visuals adequats, com teselados, fractales i geometria hiperbòlica.[106]


Algunes de les primeres obres d'art computacional varen ser creades per "Drawing Machine 1", un sistema ideat per Desmond Paul Henry, que consistia en una computadora analògica basada en un visor de bombarder, exhibida en 1962.[107][108] La màquina era capaç de crear dibuixos llineals complexos, abstractes, asimètrics o curvilíneos, pero repetitius.[107][109] Més recentment, Hamid Naderi Yeganeh ha creat formes sugerents d'objectes del món real, com a peixos i aus, utilisant fòrmules que són successivament variades per a dibuixar famílies de curves o llínees en àngul.[110][111][112] Artistes com Mikael Hvidtfeldt Christensen creen obres d'art algorítmic escrivint rutines per a un sistema de software com Structure Synth: l'artiste dirigix efectivament el sistema per a aplicar una combinació desijada d'operacions matemàtiques a un conjunt de senyes previajente elegit.[113][114]

De les matemàtiques a l'art

[editar | editar còdic]
Archiu:Theo van Doesburg 122.jpg
Theo van Doesburg: Sis Moments en el Desenroll del Pla a l'Espai, 1926 o 1929

El matemàtic i físic teòric Henri Poincaré, autor de Ciències i Hipòtesis, va ser llegit àmpliament pels cubistes, incloent a Pablo Picasso i a Jean Metzinger.[115][116] Poincaré vea la geometria euclidiana com una de les moltes configuracions possibles de l'espai, en lloc de com una veritat objectiva absoluta. Picasso, en la seua obra de 1907 Les senyoretes de Avignon va utilisar la proyecció en una quarta dimensió per a mostrar simultàneament les figures de front i de perfil.[117]

La possible existència d'una quarta dimensió va inspirar als artistes la possibilitat de qüestionar la perspectiva clàssica heretada de la Renaixença: la geometria no euclidiana es va convertir en una alternativa vàlida més.[118][119][120] El concepte de que la pintura podria expressar-se matemàticament, en color i forma, va contribuir al cubisme, el moviment artístic que va conduir al art abstracte.[121] Metzinger, en 1910, va escriure que "[Picasso] presenta una perspectiva mòvil i gratuïta, des de la que eixe ingeniós matemàtic, Maurice Princet, ha deduït tota una geometria".[122] Més alvance, va escriure en les seues memòries:


Maurice Princet nos reunia freqüentment ... era un artiste que conceptualizaba les matemàtiques, i invocava un continu n-dimensional en pretensions estètiques. Li encantava vore cóm els artistes es interedaban en les noves visions espacials desenrollades per Schlegel i atres matemàtics. Va tindre èxit en este comés.[123]

L'impuls de fer models d'ensenyança o investigació de formes matemàtiques crea naturalment objectes que tenen simetria i formes sorprenents o agradables. Alguns d'estos objectes han inspirat a artistes com els dadaistas Man Ray[124] Marcel Duchamp[125] i Max Ernst,[126][127] i despuix de Man Ray, a Hiroshi Sugimoto.[128]

Archiu:Museum Reina Sofia (4251493091).jpg
Retrate de Joella. Man Ray i Salvador Dalí (Museu Regna Sofia)


Man Ray va fotografiar alguns dels models matemàtics conservats en l'Institut Henri Poincaré en París, incloent "Objet Matemathique" (Objecte Matemàtic). Va senyalar que representava superfícies de Enneper en curvatura constant, derivades d'una pseudoesfera. Este fonament matemàtic era important per a ell, ya que li permetia negar que l'objecte era "abstracte", permetent-li afirmar que era tan real com el orinal que Duchamp va convertir en una obra d'art. Va admetre que la fòrmula de la superfície de Enneper que definia l'objecte "no significava res per a mi, pero les formes en sí mateixes eren tan variades i autèntiques com qualsevol atra en la naturalea". Va utilisar les seues fotografies dels models matemàtics com a figures de la seua série sobre les obres de William Shakespeare, com la seua pintura "Antony and Cleopatra" de 1934.[129] El reporter d'art Jonathan Keats, en un artícul de la revista "ForbesLife", sosté que Man Ray va fotografiar "els paraboloides elíptics i els punts cònics en la mateixa llum sensual que les seues imàgens d'Alice Prin", i "replanteja ingeniosamente els càlculs genials de les matemàtiques per a revelar la topología del desig".[130] varen prendre escultors de el XX com Henry Moore, Barbara Hepworth i Naum Gabo inspiració dels models matemàtics.[131] Moore va escriure sobre la seua Mare i fill en cordes de 1938: "Sense dubte, la font de les meues figures en cordes va ser el Museu de Ciències de Londres ... Em varen fascinar els models matemàtics que vaig vore allí ... "no va ser l'estudi científic d'estos models, sino la capacitat de mirar a través de les cuerdo com en una gàbia de pardals i de vore una forma dins d'una atra, lo que em va emocionar".[132]


Els artistes Theo van Doesburg i Piet Mondrian varen fundar el moviment De Stijl, que pretenia "establir un vocabulari visual de formes geomètriques elementals comprensibles per tots i adaptables a qualsevol disciplina".[133][134] Moltes de les seues obres d'art consistixen visiblement en quadrats i triànguls, a voltes també en círculs. Els artistes de De Stijl varen treballar en pintura, mobiliari, disseny d'interiors i arquitectura.[133] Despuix de la separació de De Stijl, Van Doesburg va fundar el moviment vanguardiste Art Concret, descrivint la seua obra de finals de la década de 1920 tituladaSis Moments en el Desenroll del Pla a l'Espai, com una série de quatre quadrats negres sobre la diagonal d'un fondo quadrat, com "una estructura que es pot controlar, una superfície definida sense elements aleatoris ni caprig individual", pero "No li falta esperit, no li falta lo universal i no ... buit, ya que posseïx un tot que s'ajusta al ritme intern". La crítica d'art Gladys Fabre va observar que hi ha dos progressions treballant en la pintura, a saber, els quadrats negres en creiximent i els fondos alterns.[135]


Les matemàtiques del teselado, els poliedres, la configuració de l'espai i la autorreferencia varen proporcionar a l'artiste gràfic M. C. Escher (1898-1972) material de per vida per als seus gravats en fusta.[136][137] En el Esbós de la Alhambra, Escher va demostrar que és possible crear art en polígons o formes regulars com a triànguls, quadrats i hexàgons. També va usar polígons irregulars per a teselar el pla i a sovint va utilisar reflexions i translacions per a obtindre patrons adicionals. Moltes de les seues obres contenen construccions impossibles, fetes en objectes geomètrics que configuren una contradicció entre la proyecció en perspectiva i les tres dimensions, pero són agradables a la vista humana. El seu gravat "Ascendent i Descendent" es basa en la "escala impossible" creada pel científic Lionel Sharples Penrose i el seu fill el matemàtic Roger Penrose.[138][139][140]

Alguns dels molts dibuixos de teselado de Escher es varen inspirar en conversacions en el matemàtic Harold Scott MacDonald Coxeter sobre la geometria hiperbòlica.[141] Escher estava especialment interessat en cinc poliedres específics, que apareixen moltes voltes en el seu treball. Els sòlits platònics (tetraedres, gavetes, octaedres, dodecaedres i icosaedres) apareixen especialment destacats en "Orde i Caos" i "Quatre Sòlits Regulars".[142] Estes figures a sovint se situen dins d'atres formes que distorsionen encara més l'àngul de visió i la conformació dels poliedres, proporcionant una obra d'art en perspectiva multifacética.[143]


La complexitat visual de les estructures matemàtiques, com les teselaciones i els poliedres, ha inspirat una gran varietat d'obres d'art matemàtiques. Stewart Coffin va dissenyar rompecabezas polièdrics en fustes rares i belles; George W. Hart va treballar en la teoria de poliedres i esculpió objectes inspirats en ells; Magnus Wenninger va realisar models "especialment bells" de poliedres estrelats complexos.[144]

Les perspectives distorsionades en efectes d'anamorfosis s'han explorat en l'art des de el XVI, quan Hans Holbein el Jove va incorporar un cràneu severament distorsionat en la seua pintura "Els embaixadors" de 1533. Molts artistes des de llavors, inclós Escher, han fet us de trucs anamórficos.[145]

Les matemàtiques pròpies de la topología han inspirat a varis artistes en els temps moderns. L'escultor John Robinson (1935-2007) va crear obres com Gordian Knot i Bands of Friendship, mostrant la teoria de nucs en bronze polit.[8]

Atres treballs de Robinson exploren la topología de figures toroidales. La seua obra Genesis es basa en un nuc borromeo, un conjunt de tres rogles entrellaçats.[146] L'escultor Helaman Ferguson va crear complexes superfícies i uns atres objectes topològics.[147] Les seues obres són representacions visuals d'objectes matemàtics; The Eightfold Way es basa en grup llineal especial proyectivo PSL(2,7), un grup finito de 168 elements.[148][149] L'escultora Bathsheba Grossman va basar el seu treball en estructures matemàtiques de manera similar.[150][151]


Un proyecte d'investigació sobre arts lliberals examina les conexions entre les matemàtiques i l'art a través de la banda de Möbius, flexágonos, origamis i fotografies panoràmiques.[152]

Els objectes matemàtics, inclosos l'Atractor de Lorenz i el pla hiperbòlic, s'han creat utilisant l'art del teixit, inclós el crochet.[153][154][155] El tejedor nortamericà Ada Dietz va escriure una monografia en 1949 titulada "Expressions algebraiques en textils teixits a mà", que definix patrons de teixit basats en l'expansió de polinomis de múltiples variables.[156]


El matemàtic J. C. P. Miller va usar l'autómata celular Rule 90 per a dissenyar tapissos que representaven tant arbres com a patrons abstractes de triànguls.[157] Els "mathekniticians"[158] Pat Ashforth i Steve Plummer varen usar versions teixides d'objectes matemàtics com flexágonos per a les seues classes, encara que la seua esponja de Menger va demostrar ser massa complexa per a teixir-se i es va confeccionar en lona plàstica en el seu lloc.[159][160] El seu proyecte "mathghans" (Afghanos en les Escoles) va introduir el punt en el currículum britànic de matemàtica i tecnologia.[161][162]

Ilustrant matemàtiques

[editar | editar còdic]
Archiu:Polittico stefaneschi, verso.jpg
Archiu:Polittico Stefaneschi, dettaglio.jpg
Tríptic Stefaneschi de Giotto (1320), eixemple de recursión. A la dreta, detall en la Moradura Stefaneschi subjectant el tríptic complet
Archiu:BRX-musée-magritte.2.JPG
Frontera del Museu Magritte: el llenç representa un escenari real envolt pel propi llenç
Archiu:Palacio de Gaviria Escher.jpg
Autorretrato de M. C. Escher (1935) reflectit sobre una esfera de cristal

La modelació està llunt de ser l'única manera possible d'ilustrar conceptes matemàtics. El Tríptic Stefaneschi de Giotto (1320), ilustra la recursión en la forma de mise en abyme. El panel central del tríptic conté en la seua part inferior esquerra la figura agenollada de la moradura Stefaneschi, sostenint el tríptic complet com a ofrena.[166] Les pintures metafísicas de Giorgio de Chirico, com la seua "Gran Interior metafísic" de 1917, exploren la qüestió dels nivells de representació en l'art per mig de l'inclusió de pintures dins de les seues pintures.[167]

L'art pot ejemplificar paradoxes llògiques, com algunes pintures del surrealiste René Magritte, que es poden llegir com a bromes de semiòtica sobre la confusió entre nivells de significat. En La condition humaine (1933), Magritte representa un caballete (sobre el llenç real), en el que apareix una vista a través d'una finestra que està emmarcada per cortines "reals" en la pintura. De manera similar, Print Gallery de Escher (1956), representa una ciutat distorsionada que conté una galeria en la que recursiónment apareix la pròpia image, i aixina ad infinitum.[168] Magritte va fer us d'esferes i cuboides per a distorsionar la realitat de forma diferent, pintant-les junt a distintes cases en la seua obra Aritmètica mental de 1931 com si foren blocs de construcció per a chiquets, pero del tamany d'una casa.[169] Un artícul de The Guardian senyalava que la "image misteriosa de la ciutat de joguet" profetizaba l'usurpació per part del modernisme de les "tradicionals formes acollidores", pero que també jugava en la tendència humana a buscar patrons en la naturalea.[170]


El quadro de Salvador Dalí, La coa d'oroneta (1983), va ser part d'una série inspirada en la teoria de les catàstrofe de René Thom.[171] El pintor i escultor espanyol Pablo Palazuelo (1916-2007) es va centrar en l'investigació de la forma. Va desenrollar un estil que va descriure com la geometria de la vida i la geometria de tota la naturalea, consistent en formes geomètriques simples en patrons i colors detallats, en obres com a Angular I i Automnes, Palazuelo es va expressar per mig de transformacions geomètriques.[8]

L'artiste Adrian Gray va idear l'equilibri de roques, jugant en les condicions de fricció i el centre de masses per a crear composicions sorprenents i aparentment impossibles.[172]

Els artistes, no obstant, no necessàriament assumixen lliteralment les propietats de la geometria com a ciència. Com Douglas Hofstadter va escriure en la seua reflexió de 1980 sobre el pensament humà, Gödel, Escher, Bach: un Etern i Grácil Bucle, a través de (entre atres coses) les matemàtiques de l'art: "La diferència entre un dibuix de Escher i la geometria no euclidiana és que en esta última, es poden trobar interpretacions comprensibles per als térmens indefinits, lo que resulta en un sistema total comprensible, mentres que per al primer, el resultat final no es pot reconciliar en la pròpia concepció del món, sense importar quànt es mire a les imàgens". Hofstadter discutix l'aparentment paradòxica litografia "Print Gallery" obra de M. C. Escher, que representa una ciutat costera que a la seua volta conté una galeria d'art que sembla contindre una pintura de la ciutat costera, en un "bucle estrany o jerarquia entramada" entre els distints nivells de realitat de l'image. El propi artiste, observa Hofstadter, no es veu; la seua realitat i la seua relació en la litografia no són paradòxiques.[173] El buit central de l'image també ha atret l'interés dels matemàtics Bart de Smit i Hendrik Lenstra, els qui proponen que podria contindre una còpia de sí mateixa, rotada i encollida per mig del efecte Droste; esta seria una ilustració més de la recursión més allà de lo senyalat per Hofstadter.[174][175]

Anàlisis de l'història de l'art

[editar | editar còdic]

L'anàlisis algorítmic d'imàgens d'obres d'art, per eixemple, utilisant fluorescència de rajos X, pot revelar informació sobre l'art. Tals tècniques poden descobrir imàgens en capes de pintura cobertes més vesprada per un artiste; ajudar als historiadors de l'art a visualisar una obra d'art ans que es bade o es desvanixca; ajudar a diferenciar una còpia d'un original, o distinguir l'estil de traç de pinzell d'un mestre del dels seus aprenents.[176][177]

Archiu:Lissajous figures 08079 nevit.jpg
Max Ernst va experimentar en curves de Lissajous en la década de 1940

L'estil denominat dripping ("goteig") ideat per Jackson Pollock posseïx una dimensió fractal definida;[178] entre els artistes que poden haver influït en el chaos controlat de Pollock,[179] Max Ernst va pintar curves de Lissajous directament fent balancejar-se una gaveta de pintura foradat penjat sobre un llenç.[180]


El científic informàtic Neil Dodgson va investigar si les pintures de ralles de Bridget Riley podien caracterisar-se matemàticament, concloent que si be la distància de separació podia "proporcionar certa caracterisació" i el concepte d'entropía global funcionava en algunes pintures, la correlació obtinguda no era concloent, perque els seus patrons eren irregulars. L'anàlisis de la entropía local va funcionar millor, i es correlacionó be en la descripció del crític d'art Robert Kudielka.[181]

La mida estètica del matemàtic nortamericà George David Birkhoff, publicada en 1933, propon una mètrica quantitativa de la calitat estètica d'una obra d'art. No intenta medir les connotacions d'una obra, com el significat d'una pintura, sino que es llimita als "elements d'orde" d'una figura poligonal. Per a això, combina (com suma) cinc d'estos paràmetros: si existix un eix vertical de simetria; si hi ha equilibri òptic; quantes simetria rotacionales té; cóm és el fondo de la figura; i si hi ha característiques insatisfactòries, com tindre dos vèrtiços massa junts. Esta mètrica, O, pren un valor entre −3 i 7. La segona mètrica, C, té en conte els elements de la figura, que per a un polígon és el número de diferents llínees rectes que contenen a lo manco un dels seus costats. A continuació, definix la seua mida estètica de la bellea d'un objecte com "O/C". Açò es pot interpretar com un equilibri entre el plaure de vore l'objecte donat i la cantitat d'esforç necessari per a assimilar-ho. La proposta de Birkhoff ha segut criticada de vàries maneres, no solament per tractar de reduir la bellea a una fòrmula, encara que sempre va negar haver-ho fet.[182]

Els estímuls a l'investigació matemàtica

[editar | editar còdic]
Archiu:Origami spring.jpg
Origami matemàtic: Moll en Acció, per Jeff Beynon, construït en un únic rectàngul de paper.[183]
Archiu:Della Pittura Alberti perspective circle to ellipse.jpg
Orige remot de la geometria proyectiva: diagrama d'Alberti mostrant un círcul en perspectiva vist com una elipse. Della Pittura, 1435–6

L'art a voltes ha estimulat el desenroll de les matemàtiques, com quan la teoria de Brunelleschi sobre l'arquitectura i la pintura va supondre l'inici d'un cicle d'investigació que va conduir al treball de Brook Taylor i Johann Heinrich Lambert sobre els fonaments matemàtics del dibuix en perspectiva,[184] i, en última instància, a les matemàtiques de la geometria proyectiva de Girard Desargues i Jean-Victor Poncelet.[185]


L'art japonés de plegat de paper, l'origami, ha segut revisat matemàticament per Tomoko Fuse. Partint de peces de paper congruents, com a quadrats, analisa les operacions necessàries per a convertir-les en poliedres o teselas.[186] Esta tècnica va ser utilisada en 1893 per T. Sundara Rao en les seues "Eixercicis geomètrics de plegat de paper" per a determinades demostracions geomètriques.[187] Les matemàtiques del origami han segut explorades en el teorema de Maekawa,[188] el teorema de Kawasaki,[189] i en els axioma de Huzita–Hatori.[190]

Ilusions òptiques i Op-art

[editar | editar còdic]
Artícul principal → Op-art.


Archiu:Fraser spiral.svg
Ilusió de l'espiral de Fraser, nomenada aixina per Sir James Fraser, que la va descobrir en 1908

Les ilusions òptiques com l'espiral de Fraser demostren sorprenentment les llimitacions en la percepció visual humana, creant lo que el historiador de l'art Ernst Gombrich va cridar un "truc desconcertante". Les llínees en blanc i negre que semblen formar espiralés són de fet concèntriques. L'estil de les pintures i els gràfics del moviment Op-art de mitan de el XX va aprofitar tals efectes per a crear l'impressió de moviment i patrons de vibració o centelleigs/centellejos, propis del treball d'artistes com Bridget Riley, Spyros Horemis,[191] i Victor Vasarely.[192]

Geometria sagrada

[editar | editar còdic]

Plantilla:Further


Una corrent de l'art des de l'antiga Grècia en avant veu Deu com el geómetra del món, i la geometria del món, per lo tant, com a sagrada. La creència de que Deu va crear l'univers d'acort en un pla geomètric té orígens antics. Plutarco va atribuir la creència a Platón, escrivint que "Platón va dir que Deu geometriza contínuament" (Convivialium disputationum, liber 8,2). Esta image ha influït en el pensament occidental des de llavors. El concepte platònic va derivar a la seua volta d'una noció d'harmonia pitagórico en la música, a on les notes estaven espayades en proporcions perfectes, corresponents a les llongituts de les cordes de la lira; de fet, els pitagórico sostenien que tot estava organisat pel Número. De la mateixa manera, en el pensament platònic, els sòlits platònics (els cinc poliedres regulars convexos) dicten les proporcions trobades en la naturalea i en l'art.[193][194] Una ilustració d'un manuscrit medieval pot referir-se a un vers de l'Antic Testament: "Quan va establir els cels, yo estava allí: quan va establir un compàs sobre la faç de lo profunt" (Proverbis 8:27), que mostra a Deu dibuixant l'univers en un parell de compassos.[195]

En 1596, l'astrònom i matemàtic Johannes Kepler va modelar l'univers com un conjunt de sòlits platònics anidados, determinant els tamanys relatius de les òrbites dels planetes. Dos pintures de William Blake, Ancient of Days[195] i Isaac Newton, intenten representar el contrast entre el món espiritual matemàticament perfecte i el món físic imperfecte.[196] Salvador Dalí, per la seua banda, en la seua obra de 1954 Crucifixió, visualisa la creu com un hipercubo, que representa la perspectiva divina en quatre dimensions en lloc de les tres habituals.[87] En una atra de les seues obres, L'Últim Sopar (1955), Crist i els seus discípuls estan representats en l'interior d'un gran dodecaedre.[197] jagant

Vore també

[editar | editar còdic]

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Dürer's polyhedron: 5 theories that explain Melencolia's crazy cube. Recuperate le 27 d'octubre de 2015.
  2. ↑ 2,0 2,1 “Metric 3D reconstruction and texture acquisition of surfaces of revolution from a single uncalibrated view” (2005). IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 27 (1): 99–114. doi:10.1109/TPAMI.2005.14. PMID 15628272.
  3. ↑ 3,0 3,1 “Polykleitos of Argos," One Hundred Greek Sculptors: Their Careers and Extant Works” . The Journal of Hellenic Studies 98: 122–131. doi:10.2307/630196.
  4. ↑ 4,0 4,1 Tobin, Richard. “The Cànon of Polykleitos”. American Journal of Archaeology 79 (4): 307–321. doi:10.2307/503064.
  5. ↑ “Pattern, Tradition and Innovation in Vernacular Architecture” . Past 36. Recuperate le 25 de juny de 2015. “La figura base és un quadrat de la llongitut i l'ample de la falange distal del dit garranchet. Les seues diagonals girades cap a un costat transformen el quadrat en un rectàngul de proporció 1:Plantilla:Raïl. En la Figura 5, esta figura rectangular marca l'ample i el llarc de la falange medial adjacent. Es gira en diagonal la llongitut de la falange medial per a obtindre la falange proximal i de manera similar des d'allí fins a la nina, des de la nina fins al colze i des del colze fins a la part superior del muscle. Cada nou pas alvança el punt de pivot de la diagonal.”
  6. ↑ “Polyclitus and Pythagoreanism” . Classical Quarterly 1 (3–4): 147–. doi:10.1017/s0009838800004122.
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 «Mathematics and art – perspective». University of St Andrews. Consultat el 1 de setembre de 2015.
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 (2005) Emmer, Michelle (ed.). The Visual Mind II, MIT Press. ISBN 978-0-262-05048-7.
  9. ↑ Vasari, Giorgio. Lives of the Artists, Torrentino, p. Chapter on Brunelleschi.
  10. ↑ On Painting, Yale University Press.
  11. ↑ The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852394-9.
  12. ↑ «Art History Resources». Consultat el 5 de setembre de 2015.
  13. ↑ 13,0 13,1 13,2 13,3 13,4 Hart, George W.. «Polyhedra in Art». Consultat el 24 de juny de 2015.
  14. ↑ Culture and Values: A Survey of the Western Humanities, Cengage Learning, p. 375. ISBN 978-1-285-44932-6. «que ilustren la fascinació de Uccello per la perspectiva. Els combatents es amoldan a un camp de batalla ple de llances trencades caigudes sobre una cuadrícula virtual propenca i apunten cap a un punt de fuga en algun lloc en la distància.»
  15. ↑ della Francesca, Piero (1942). G. Nicco Fasola (ed.). De Prospectiva Pingendi, Florence.
  16. ↑ della Francesca, Piero (1970). G. Arrighi (ed.). Trattato d'Abaco, Chafa.
  17. ↑ della Francesca, Piero (1916). G. Mancini (ed.). L'opera "De corporibus regularibus" vaig donar Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata dona Fra Luca Pacioli.
  18. ↑ Vasari, G.. G. Milanesi (ed.). Li Opere, volume 2, p. 490.
  19. ↑ Zuffi, Stefano (1991). Piero della Francesca, L'Unità – Mondadori Art, p. 53.
  20. ↑ Heath, T.L. (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Cambridge University Press, p. 97.
  21. ↑ Grendler, P. (1995). M.A. Lavin (ed.). What Piero Learned in School: Fifteenth-Century Vernacular Education, University Press of New England, pp. 161–176.
  22. ↑ Alberti, Leon Battista (1991). Kemp, Martin (ed.). On Painting, Penguin Classics.
  23. ↑ En l'italià de Piero della Francesca: "Una cosa tant picholina quanto i possible ad ochio comprendere"
  24. ↑ Peterson, Mark. «The Geometry of Piero della Francesca». Archivat des d'el original, el 1 de juliol de 2016. Consultat el 2 d'abril de 2019. «En el Llibre I, despuix d'algunes construccions elementals per a presentar l'idea de que el tamany aparent d'un objecte és en realitat el seu àngul subtendido en l'ull, i referint-se als Llibres dels Elements I i VI de Euclides, i a l'Òptica de Euclides, es convertix, en la Proposició 13, en la representació d'una plaça en el seu sol tendit davant de l'espectador. ¿Qué deu dibuixar realment l'artiste? Despuix d'açò, els objectes es construïxen a partir de quadrats (en diagonals, per eixemple, per a representar un pis de rajoletes), i els objectes corresponents es construïxen en perspectiva; en el Llibre II, els prismes s'erigixen sobre estos objectes plans, per a representar cases, columnes, etc.; pero la base del método és el quadrat original, del que seguix tot lo demés.»
  25. ↑ Hockney, David (2006). Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters, Thames and Hudson. ISBN 978-0-500-28638-8.
  26. ↑ «Hockney's 'Lluïu' Bomb At the Art Establishment». The Washington Post. Consultat el 4 de setembre de 2015.
  27. ↑ What the eye didn't see. Recuperate le 4 de setembre de 2015.
  28. ↑ «An Interview with Philip Steadman». Essential Vermeer. Consultat el 5 de setembre de 2015.
  29. ↑ Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Behind the Masterpieces, Oxford. ISBN 978-0-19-280302-3.
  30. ↑ Hart, George. «Luca Pacioli's Polyhedra». Consultat el 13 d'agost de 2009.
  31. ↑ Palmezzano's Renaissance:From shadows, painter emergixes. Recuperate le 22 de juliol de 2015.
  32. ↑ Calter, Paul. «Geometry and Art Unit 1». Dartmouth College. Archivat des d'el original, el 21 d'agost de 2009. Consultat el 13 d'agost de 2009.
  33. ↑ Brizio, Anna Maria (1980). Leonardo the Artist, McGraw-Hill.
  34. ↑ Ladwein, Michael (2006). Leonardo Dona Vinci, the Last Supper: A Cosmic Drama and an Act of Redemption, Temple Lodge Publishing, pp. 61–62. ISBN 978-1-902636-75-7.
  35. ↑ Turner, Richard A. (1992). Inventing Leonardo, Alfred A. Knopf.
  36. ↑ Wolchover, Natalie. «vore_b7msvuHg Did Leonardo dona Vinci copy his famous 'Vitruvian Man'?». NBC News. Consultat el 27 d'octubre de 2015.
  37. ↑ “Reflections of Reality in Jan van Eyck and Robert Campin” (2004). Historical Methods 37 (3): 109–121. doi:10.3200/hmts.37.3.109-122.
  38. ↑ Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, pp. 299–300, 306–307. ISBN 978-0-521-72876-8.
  39. ↑ Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, pp. 269–278. ISBN 978-0-521-72876-8.
  40. ↑ «Euclid's Elements, Book II, Proposition 11». Clark University. Consultat el 24 de setembre de 2015.
  41. ↑ “The Golden Proportion and Beauty” . Plastic and Reconstructive Surgery 34 (4): 382–386. doi:10.1097/00006534-196410000-00007.
  42. ↑ Mainzer, Klaus (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science, Walter de Gruyter, p. 118.
  43. ↑ «Mathematical properties in ancient theatres and amphitheatres». Archivat des d'el original, el 15 de juliol de 2017. Consultat el 29 de giner de 2014.
  44. ↑ «Architecture: Ellipse?». The-Colosseum.net. Archivat des d'el original, el 11 de decembre de 2013. Consultat el 29 de giner de 2014.
  45. ↑ 45,0 45,1 45,2 45,3 Markowsky, George. “Misconceptions about the Golden Ràtio”. The College Mathematics Journal 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193.
  46. ↑ Per eixemple, es troben afirmacions com: La relació del costat inclinat respecte a la mitat de la llongitut de la base és d'1.619, a menys del 1% sobre la proporció áurea, lo que implica l'us del triàngul de Kepler (àngul entre costats de 51°49'). És més provable que les piràmides es feren en triànguls 3-4-5 (àngul entre costats 53°8'), coneguts segons se sap pel Papir de Ahmes; o en el triàngul en relació base/hipotenusa 1:4/π (àngul de la cara 51°50').
  47. ↑ Taseos, Socrates G.. Back in Clave 3104 B.C. to the Great Pyramid, SOC Publishers.
  48. ↑ Gazale, Midhat (1999). Gnòmon: From Pharaohs to Fractals (vol. 20), Princeton University Press, pp. 523. ISBN 978-0-691-00514-0.
  49. ↑ Huntley, H.E. (1970). The Divine Proportion, Dover.
  50. ↑ Hemenway, Priya (2005). Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science, Sterling, p. 96.
  51. ↑ «Mathematics of the Parthenon». Mathematics Magazine. Consultat el 24 de juny de 2015.
  52. ↑ “The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan” . Nexus Network Journal 6 (1): 7–16. doi:10.1007/s00004-004-0002-i. “La tècnica geomètrica de construcció de la secció áurea sembla haver determinat les principals decisions de l'organisació espacial. La secció áurea apareix repetidament en algunes parts de les mides de l'edifici. Es troba en la proporció general de la planta i en el dimensionament de l'espai d'oració, el pati i el minaret. L'existència de la secció áurea en algunes parts de la mesquita de Kairouan indica que els elements dissenyats i generats en este principi poden haver-se realisat en el mateix periodo.”
  53. ↑ “The Plau of Mathematics” (2001). Australian Mathematics Teacher 57 (3).
  54. ↑ Chanfón Olmos, Carlos. Curse sobre Proporció. Procediments reguladors en construcció, Conveni d'intercanvi Unam–Uady. Mèxic – Mérica.
  55. ↑ Livio, Mario (2002). The Golden Ràtio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number.
  56. ↑ “Cathedral Studies: Engineering or History” . Transactions of the Newcomen Society 73: 95–137. doi:10.1179/tns.2001.005.
  57. ↑ Why golden ràtio pleases the eye: US academic says he knows art secret. Recuperate le 27 d'octubre de 2015.
  58. ↑ “Morphic numbers” (2001). Nieuw Arch. Wiskd. 2 (1): 56–58.
  59. ↑ 'Plàstic' fa referència a la capacitat de prendre una forma tridimensional elegida.
  60. ↑ 60,0 60,1 Padovan, Richard (2002). “Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number”. Nexus IV: Architecture and Mathematics: 181–193.
  61. ↑ 61,0 61,1 61,2 61,3 Salingaros, Nikos. “The 'life' of a carpet: an application of the Alexander rules”. 8th International Conference on Oriental Carpets. Reprinted in Oriental Carpet and Textile Studies V, Danville, CA: Conference on Oriental Carpets.
  62. ↑ 62,0 62,1 62,2 Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, pp. 89–102. ISBN 978-0-521-72876-8.
  63. ↑ 63,0 63,1 The flame and the lotus : Indian and Southeast Asian art from the Kronos collections, Exhibition Catalogue edició, Metropolitan Museum of Art.
  64. ↑ 64,0 64,1 (1999) Mathematical Quilts: No Sewing Required, Key Curriculum.
  65. ↑ 65,0 65,1 Arabesques. Decorative Art in Morocco, Art Creation Realisation. ISBN 978-2-86770-124-5.
  66. ↑ Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, pp. 103–106. ISBN 978-0-521-72876-8.
  67. ↑ Chinese Lattice Designs, Dover, pp. 30–39.
  68. ↑ “Adventures in Mathematical Knitting” . American Scientist 101 (2). doi:10.1511/2013.101.124.
  69. ↑ Taimina, Daina (2009). Crocheting Adventures with Hyperbolic Plans, A K Peters. ISBN 978-1-56881-452-0.
  70. ↑ Snook, Barbara. Florentine Embroidery. Scribner, Second edition 1967.
  71. ↑ Williams, Elsa S. Bargello: Florentine Canvas Work. Van Nostrand Reinhold, 1967.
  72. ↑ “Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics” . Mathematics Magazine 53 (3): 139–161. doi:10.2307/2690105. Bibcode: 1975MathM..48...12G.
  73. ↑ 73,0 73,1 Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, p. 423. ISBN 978-0-691-16528-8.
  74. ↑ (2009) Iran, 3 edició, Bradt Travel Guides, p. 107. ISBN 978-1-84162-289-7.
  75. ↑ “Developing a Mathematical Model for Bobbin Lace” . Journal of Mathematics and the Arts 8 (3–4): 95–110. doi:10.1080/17513472.2014.982938.
  76. ↑ “Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture” (2007). Science 315 (5815): 1106–1110. doi:10.1126/science.1135491. PMID 17322056. Bibcode: 2007Sci...315.1106L.
  77. ↑ «Muqarnas-Mathematics in Islamic Arts». Archivat des d'el original, el 27 de setembre de 2013. Consultat el 15 de giner de 2016.
  78. ↑ Panofsky, E. (1955). The Life and Art of Albrecht Durer, Princeton.
  79. ↑ Hart, George W.. «Dürer's Polyhedra». Consultat el 13 d'agost de 2009.
  80. ↑ Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion, Nurenberg. Consultat el 24 de juny de 2015.
  81. ↑ Schreiber, P.. “A New Hypothesis on Durer's Enigmatic Polyhedron in His Copper Engraving 'Melencolia I'”. Història Mathematica 26 (4): 369–377. doi:10.1006/hmat.1999.2245.
  82. ↑ Dodgson, Campbell (1926). Albrecht Dürer, London: Medici Society, p. 94.
  83. ↑ Schuster, Peter-Klaus (1991). Melencolia I: Dürers Denkbild, Berlin: Gebr. Mann Verlag, pp. 17–83.
  84. ↑ (1964) Saturn and melancholy, Basic Books.
  85. ↑ Oli sobre llenç, 194.3 × 123.8 cm del Museu Metropolità d'Art de Nova York
  86. ↑ Rudy Rucker, The Fourth Dimension: Toward a Geometry of Higher Reality, Courier Corporation, 2014, ISBN 0486798194
  87. ↑ 87,0 87,1 «Crucifixion (Corpus Hypercubus)». Metropolitan Museum of Art. Consultat el 5 de setembre de 2015.
  88. ↑ “Batik Fractal : Traditional Art to Modern Complexity” . Proceeding Generative Art X, Milan, Italy. Recuperate le 26 de setembre de 2016.
  89. ↑ Pollock's Fractals. Recuperate le 26 de setembre de 2016.
  90. ↑ Galilei, Galileo (1623). The Assayer., as translated in Drake, Stillman (1957). Discoveries and Opinions of Galileo, Doubleday, pp. 237–238. ISBN 978-0-385-09239-5.
  91. ↑ Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, p. 381. ISBN 978-0-521-72876-8.
  92. ↑ Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, p. 10. ISBN 978-0-521-72876-8.
  93. ↑ The Art of Mathematics, Fawcett Columbine, pp. 8–9. ISBN 978-0-449-90835-8.
  94. ↑ The Art of Mathematics, Fawcett Columbine, pp. 135–139. ISBN 978-0-449-90835-8.
  95. ↑ Devlin, Keith (2000). «Do Mathematicians Have Different Brains?», The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Llaure Like Gossip, Basic Books, p. 140. ISBN 978-0-465-01619-8.
  96. ↑ «Mathematics in the World of Danse». Bridges. Consultat el 1 de setembre de 2015.
  97. ↑ 97,0 97,1 «Mathematics and Art». American Mathematical Society. Consultat el 1 de setembre de 2015.
  98. ↑ «Mathematics and Art. 2. Mathematical tools for artists». American Mathematical Society. Consultat el 1 de setembre de 2015.
  99. ↑ «Math and Art: The Good, the Bad, and the Pretty». Mathematical Association of America. Archivat des d'el original, el 9 de setembre de 2015. Consultat el 2 de setembre de 2015.
  100. ↑ “How to spin the colour wheel, by Turner, Malevich and more” . Tate Gallery. Recuperate le 4 de setembre de 2015.
  101. ↑ The Science of Art: Optical Themes in Western Art from Brunelleschi to Seurat, Yale University Press. ISBN 978-968-867-185-6.
  102. ↑ Gage, John (1999). Color and Culture: Practice and Meaning from Antiquity to Abstraction, University of Califòrnia Press, p. 207. ISBN 978-0-520-22225-0.
  103. ↑ «Mathematics and Art. 3. Symmetry». American Mathematical Society. Consultat el 1 de setembre de 2015.
  104. ↑ «Mathematics and Art. 4. Mathematical artists and artist mathematicians». American Mathematical Society. Consultat el 1 de setembre de 2015.
  105. ↑ “Some Issues in the Development of Computer Art as a Mathematical Art Form” . Leonardo 1 (Electronic Art, supplemental issue): 103–110. doi:10.2307/1557919.
  106. ↑ Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics, Chapman and Hall. ISBN 978-1-58488-913-7.
  107. ↑ 107,0 107,1 «Computer art at the V&A». Victoria and Albert Museum. Consultat el 22 de setembre de 2015.
  108. ↑ Computer Does Drawings: Thousands of lines in each (17 de setembre de 1962). in Beddard, 2015.
  109. ↑ O'Hanrahan, Elaine (2005). Drawing Machines: The machine produced drawings of Dr. D. P. Henry in relation to conceptual and technological developments in machine-generated art (UK 1960–1968). Unpublished MPhil. Thesis., John Moores University, Liverpool. in Beddard, 2015.
  110. ↑ Bells, Alex. Catch of the day: mathematician nets weird, complex fish, The Guardian. Recuperate le 25 de setembre de 2015.
  111. ↑ «"A Bird in Flight (2016)," by Hamid Naderi Yeganeh». American Mathematical Society. Archivat des d'el original, el 29 de març de 2017. Consultat el 6 d'abril de 2017.
  112. ↑ Chung, Stephy. Next dona Vinci? Math genius using formules to create fantastical works of art, CNN.
  113. ↑ «Generative Artists». CMUEMS. Archivat des d'el original, el 21 de setembre de 2015. Consultat el 27 d'octubre de 2015. This includes a link to Hvidtfeldts Syntopia.
  114. ↑ «The Algorists». Consultat el 27 d'octubre de 2015.
  115. ↑ 115,0 115,1 Miller, Arthur I. (2001). Einstein, Picasso: Space, Clave, and the Beauty That Causes Havoc, New York: Basic Books, p. 171. ISBN 978-0-465-01860-4.
  116. ↑ Miller, Arthur I. (2012). Insights of Genius: Imagery and Creativity in Science and Art, Springer. ISBN 978-1-4612-2388-7.
  117. ↑ Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, pp. 315–317. ISBN 978-0-521-72876-8.
  118. ↑ Henderson, Lindo D. (1983). The Fourth Dimension and Senar-Euclidean geometry in Modern Art, Princeton University Press.
  119. ↑ (2001) Cubism and Culture, Thames & Hudson. (enllaç trencat)
  120. ↑ Everdell, William R. (1997). The First Moderns: Profiles in the Origins of Twentieth-Century Thought, University of Chicago Press, p. 312. ISBN 978-0-226-22480-0.
  121. ↑ Green, Christopher (1987). Cubism and its Enemies, Modern Movements and Reaction in French Art, 1916–1928, Yale University Press, pp. 13–47.
  122. ↑ Metzinger, Jean. “Note sur la peinture”. Pa. in Miller (2001). Einstein, Picasso, Basic Books, p. 167.
  123. ↑ Metzinger, Jean (1972). Li cubisme était né, Éditions Présence, pp. 43–44. in Ferry, Luc (1993). Homo Aestheticus: The Invention of Taste in the Democratic Age, Robert De Loaiza, trans., University of Chicago Press, p. 215. ISBN 978-0-226-24459-4.
  124. ↑ «Man Ray–Human Equations A Journey from Mathematics to Shakespeare. February 7 – May 10, 2015». Phillips Collection. Consultat el 5 de setembre de 2015.
  125. ↑ “Duchamp's Eroticism: A Mathematical Analysis” . Iowa Research Online 16 (1): 149–167.
  126. ↑ Elder, R. Bruce (2013). DADA, Surrealism, and the Cinematic Effect, Wilfrid Laurier University Press, p. 602. ISBN 978-1-55458-641-7.
  127. ↑ Tubbs, Robert (2014). Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning, JHU Press, p. 118. ISBN 978-1-4214-1402-7.
  128. ↑ «Hiroshi Sugimoto Conceptual Forms and Mathematical Models February 7 – May 10, 2015». Phillips Collection. Consultat el 5 de setembre de 2015.
  129. ↑ Mathematics in 20th-Century Literature and Art, Johns Hopkins, pp. 8–10. ISBN 978-1-4214-1380-8.
  130. ↑ «See How Man Ray Made Elliptic Paraboloids Erotic At This Phillips Collection Photography Exhibit». Forbes. Consultat el 10 de setembre de 2015.
  131. ↑ Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, pp. 311–312. ISBN 978-0-691-16528-8.
  132. ↑ (1968) Henry Moore: Text on His Sculpture, Simon and Schuster, p. 105.
  133. ↑ 133,0 133,1 «De Stijl». Tate Glossary. The Tate. Consultat el 11 de setembre de 2015.
  134. ↑ Curl, James Stevens (2006). A Dictionary of Architecture and Landscape Architecture, Second edició, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-860678-9.
  135. ↑ Tubbs, Robert (2014). Mathematics in Twentieth-Century Literature and Art: Content, Form, Meaning, JHU Press, pp. 44–47. ISBN 978-1-4214-1402-7.
  136. ↑ «Tour: M.C. Escher – Life and Work». NGA. Archivat des d'el original, el 3 d'agost de 2009. Consultat el 13 d'agost de 2009.
  137. ↑ «MC Escher». Mathacademy.com. Archivat des d'el original, el 11 d'octubre de 2007. Consultat el 13 d'agost de 2009.
  138. ↑ “Impossible objects: A special type of visual illusion” (1958). British Journal of Psychology 49 (1): 31–33. doi:10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x. PMID 13536303.
  139. ↑ (1985) The complexity of recognizing polyhedral scenes, pp. 175–185. doi:10.1109/sfcs.1985.59. ISBN 978-0-8186-0644-1. «10.1.1.100.4844»
  140. ↑ Cooper, Martin (2008). Line Drawing Interpretation, Springer-Verlag, pp. 217–230. doi:10.1007/978-1-84800-229-6_9. ISBN 978-1-84800-229-6.
  141. ↑ Roberts, Siobhan (2006). 'Coxetering' with M.C. Escher, Walker, p. Chapter 11.
  142. ↑ Escher, M.C.. The World of MC Escher, Random House.
  143. ↑ (1989) Escher on Escher: Exploring the Infinite, HN Abrams.
  144. ↑ «Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections». American Mathematical Society. Consultat el 1 de setembre de 2015.
  145. ↑ Marcolli, Matilde. The notion of Space in Mathematics through the lens of Modern Art, Century Books, pp. 23–26.
  146. ↑ «John Robinson». Bradshaw Foundation. Consultat el 13 d'agost de 2009.
  147. ↑ «Helaman Ferguson web site». Helasculpt.com. Archivat des d'el original, el 11 d'abril de 2009. Consultat el 13 d'agost de 2009.
  148. ↑ Thurston, William P. (1999). Levy, Silvio (ed.). The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture by Helaman Ferguson, MSRI Publications, pp. 1–7.
  149. ↑ «MAA book review of The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve». Maa.org. Archivat des d'el original, el 21 de decembre de 2009. Consultat el 13 d'agost de 2009.
  150. ↑ «The Math Geek Holiday Gift Guide». Scientific American. Consultat el 7 de juny de 2015.
  151. ↑ «Gallery: Bathsheba Grossman». Symmetry Magazine. Consultat el 7 de juny de 2015.
  152. ↑ Art and Sculpture: Mathematical Inquiry in the Lliberal Arts, 2nd edició, Discovering the Art of Mathematics project.
  153. ↑ Les imàgens i videos de la varietat de Lorenz realisades per Hinke Osinga en ganchillo varen aplegar als notícies de televisió internacionalment, com es pot vore en el lloc web vinculat:«Crocheting the Lorenz manifold». University of Auckland. Archivat des d'el original, el 10 d'abril de 2015. Consultat el 12 d'octubre de 2015.
  154. ↑ “Crocheting the hyperbolic plane” (2001). The Mathematical Intelligencer 23 (2): 17–28. doi:10.1007/BF03026623..
  155. ↑ “Crocheting the Lorenz manifold” (2004). The Mathematical Intelligencer 26 (4): 25–37. doi:10.1007/BF02985416.
  156. ↑ (1949).«Algebraic Expressions in Handwoven Textils».The Little Loomhouse.Louisville, Kentucky:Consultat el 2 d'abril de 2019.
  157. ↑ Miller, J. C. P. (1970). “Periodic forests of stunted trees”. Philosophical Transactions of the Royal Society 266 (1172): 63–111. doi:10.1098/rsta.1970.0003. Bibcode: 1970RSPTA.266...63M.
  158. ↑ «Pat Ashforth & Steve Plummer – Mathekniticians». Consultat el 4 d'octubre de 2015.
  159. ↑ Knitting reinvented: Mathematics, feminism and metal, BBC News, BBC. Recuperate le 23 de setembre de 2015.
  160. ↑ «Menger Sponge». Consultat el 23 de setembre de 2015.
  161. ↑ «Afghans for Schools». Consultat el 23 de setembre de 2015.
  162. ↑ “Mathghans with a Difference” . Simply Knitting Magazine. Recuperate le 23 de setembre de 2015.
  163. ↑ Jouffret, Esprit (1903). Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions (en francés), Paris: Gauthier-Villars. OCLC 1445172. Consultat el 26 de setembre de 2015.
  164. ↑ Maurice Princet li va donar una còpia a Pablo Picasso, els quaderns de la qual de dibuix per a Les senyoretes de Avignon ilustren l'influència de Jouffret.
  165. ↑ Seckel, Hélène (1994). «Anthology of Early Commentary on Els Demoiselles d'Avignon», William Rubin (ed.). Els Demoiselles d'Avignon, New York: Museum of Modern Art, p. 264. ISBN 978-0-87070-162-7.
  166. ↑ «Giotto vaig donar Bondone and assistants: Stefaneschi triptych». The Vatican. Consultat el 16 de setembre de 2015.
  167. ↑ Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, pp. 337–338. ISBN 978-0-691-16528-8.
  168. ↑ «Art and Mathematics». Consultat el 5 de setembre de 2015.
  169. ↑ Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Penguin, p. 627. ISBN 978-0-14-028920-6.
  170. ↑ René Magritte: The Pleasure Principle – exhibition. Recuperate le 5 de setembre de 2015.
  171. ↑ Dali, Milan: Bompiani Art, pp. 418–421.
  172. ↑ “Stone balancing” . Monthly Maths (29). Recuperate le 10 de juny de 2017.
  173. ↑ Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Penguin, pp. 98–99, 690–717. ISBN 978-0-394-74502-2.
  174. ↑ de Smit, B. (2003). “The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery”. Notices of the American Mathematical Society 50 (4): 446–451.
  175. ↑ «Applying mathematics to Escher's Print Gallery». Leiden University. Archivat des d'el original, el 14 de giner de 2018. Consultat el 10 de novembre de 2015.
  176. ↑ «Van Gogh and the Algorithm: How Math Ca Save Art». Clave Magazine. Consultat el 4 de setembre de 2015.
  177. ↑ «The Van Gogh Project: Art Meets Mathematics in Ongoing International Study». Society for Industrial and Applied Mathematics. Archivat des d'el original, el 7 de setembre de 2015. Consultat el 4 de setembre de 2015.
  178. ↑ “Fractal analysis of Pollock's drip paintings” . Nature 399 (6735). doi:10.1038/20833. Bibcode: 1999Natur.399..422T.
  179. ↑ “Fractal Expressionism: Ca Science Be Used To Further Our Understanding Of Art?” . Physics World. doi:10.1088/2058-7058/12/10/21. “Pollock va morir en 1956, ans que es descobriren la teoria del caos i els fractales. Per lo tant, és molt poc provable que haguera entés conscientment els fractales que estava pintant. No obstant, la seua introducció de fractales va ser delliberada. Per eixemple, el color de la capa de anclaje es va elegir per a produir el contrast més nítit en el fondo del llenç i esta capa també ocupa més espai en el llenç que les atres capes, lo que sugerix que Pollock volia que esta capa altament fractal dominara visualment la pintura. Ademés, una volta que es varen completar les pintures, va retallar els llenços per a eliminar regions prop de la vora a on la densitat del patró era menys uniforme.”
  180. ↑ King, M.. «From Max Ernst to Ernst Mach: epistemology in art and science.». Consultat el 17 de setembre de 2015.
  181. ↑ “Mathematical characterisation of Bridget Riley's stripe paintings” . Journal of Mathematics and the Arts 5 (2–3): 89–106. doi:10.1080/17513472.2012.679468. “over the course [of] the early 1980s, Riley's patterns mogau from more regular to more random (as characterised by global entropy), without losing their rhythmic structure (as characterised by local entropy). This reflects Kudielka's description of her artistic development.”
  182. ↑ Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, pp. 116–120. ISBN 978-0-521-72876-8.
  183. ↑ The World of Geometric Toys, Origami Spring, August, 2007.
  184. ↑ «The Geometry of Perspective Drawing on the Computer». University of Utah. Consultat el 5 de setembre de 2015.
  185. ↑ Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, p. xviii. ISBN 978-0-691-16528-8.
  186. ↑ «Mathematics and Art. 6. Origami». American Mathematical Society. Consultat el 1 de setembre de 2015.
  187. ↑ T. Sundara Rao (1893). Geometric Exercises in Paper Folding, Addison.
  188. ↑ Justin, J.. “Mathematics of Origami, part 9”. British Origami: 28–30..
  189. ↑ (2010) meuT5-BN_L0oC&pg=PA57 Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics (vol. 42), Mathematical Association of America, p. 57. ISBN 978-0-88385-348-1.
  190. ↑ “One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms” (2009). 4OSME.
  191. ↑ Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics, Cambridge University Press, pp. 163–166. ISBN 978-0-521-72876-8.
  192. ↑ Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, pp. 406–410. ISBN 978-0-691-16528-8.
  193. ↑ (2003) The Geometry of Art and Life, Dover, pp. ix–xi. ISBN 978-0-486-23542-4.
  194. ↑ Sacred Geometry: Philosophy and Practice, Thames & Hudson. ISBN 978-0-500-81030-9.
  195. ↑ 195,0 195,1 «Celestial Themes in Art & Architecture». Dartmouth College. Archivat des d'el original, el 23 de juny de 2015. Consultat el 5 de setembre de 2015.
  196. ↑ «The Thought of a Thought – Edgar Allan Poe». MathPages. Consultat el 5 de setembre de 2015.
  197. ↑ «The golden ràtio and aesthetics». Consultat el 26 de juny de 2015.


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Matemàtiques_i_art&oldid=904544»